ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Кулжанов У.Н.1, Уралова О.Б.2, Каримов И.Т.3

1Кулжанов Уткир Неъматович - доцент, доктор философии по физико-математическим наукам, кафедра теории вероятностей и математической статистики, математический факультет, Самаркандский государственный университет; 2Уралова Озода Бурибоевна - преподаватель, кафедра точных наук, академический лицей Самаркандский ветеринарно-медицинский институт; 3Каримов Ислом Тоштемирович - магистрант, кафедра теории вероятностей и математической статистики, математический факультет, Самаркандский государственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в этой статье рассматривается характеристическая функция случайной величины и случайного вектора. Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). Приводятся три теоремы и их доказательства. Характеристические функции очень удобны для исследования свойства сумм случайных величин. Перечислены важнейшие свойства характеристических функций. Кроме того, приведен пример на нахождения характеристической функции дискретной случайной величины данным законом распределения.

Ключевые слова: дискретная случайная величина, характеристическая функция случайной величины и случайного вектора, комплекснозначная функция действительного аргумента.

CHARACTERISTIC FUNCTION OF RANDOM VALUE Kulzhanov U.N.1, Uralova O.B.2, Karimov I.T.3

1Kulzhanov Utkir Nematovich - Associate Professor, Doctor of Philosophy in Physics and Mathematics, DEPARTMENT OF PROBABILITY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF MATHEMATICS,

SAMARKAND STATE UNIVERSITY; 2Uralova Ozoda Buriboevna - Lecturer, DEPARTMENT OF EXACT SCIENCES, ACADEMIC LYCEUM SAMARKAND VETERINARY MEDICAL INSTITUTE; 3Karimov Islom Toshtemirovich - Master's Student, DEPARTMENT OF PROBABILITY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF MATHEMATICS,

SAMARKAND STATE UNIVERSITY, SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: this article discusses the characteristic function of a random variable and a random vector. The characteristic function of a random variable is one of the ways to define a distribution. Characteristic functions can be more convenient in cases where, for example, the density or distribution function has a very complex form. Also, characteristic functions are a convenient tool for studying issues of weak convergence (convergence in distribution). Three theorems and their proofs are presented. Characteristic functions are very convenient for studying the properties of sums of random variables. The most important properties of the characteristic functions are listed. In addition, an example is given of finding the characteristic function of a discrete random variable by a given distribution law.

Keywords: discrete random variable, characteristic function of a random variable and a random vector, complex-valued function of a real argument.

Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению).

Определение. Характеристической функцией вещественной случайной величины X называется комплекснозначная функция действительного аргумента t Е Ш:

ад

ср(t) = Meitx = J eitxdP(x)= J eitxdFx(x),

а -ж

где интеграл справа называется интегралом Стилтьеса.

Замечание 1. Заметим, что характеристическая функция существует для любой случайной величины X,

т.е.

ш

I

е11хйРх(х)

<

1^^(х) = I йРх(х) = 1.

Замечание 2. Если случайная величина X имеет дискретное распределение, то

Рх(1) = ^еих*Р(Х = хк) = ^еих*рк, (1)

где х1,х2,... -не более чем счётный набор значений, которые принимает случайная величина X. Замечание 3. Если случайная величина X имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью р(х), то

Рх(0= I

еихр(х)йх,

(2)

то есть характеристическая функция есть (обратное) преобразование Фурье функция р(х).

Из определения характеристической функции случайной величины видно, что она однозначно определяется функцией распределения случайной величины. Оказывается, верно и обратное.

Теорема 1. (Теорема единственности). Характеристическая функция р(х) случайной величины X однозначно определяет её функцию распределения Рх(х). Кроме того, верна формула обращения: для любых точек непрерывности х и у функции Рх (х) выполняется

1 "

Рх (У)-Рх (х) = —^ I

а -Их -Иу

е - е у

и

Ух (

Доказательство. Доказательство теоремы 1 приведено в [1].

Характеристические функции очень удобны для исследования свойства сумм случайных величин. Перечислим важнейшие свойства характеристических функций.

1. р(0) = 1 и |р(0| < 1 для всех С е К.

2. р„х+а(1) = еиарх(Ы),где а,Ь е К.

3. Если X1,X2, ...^п —независимые случайные величины, то характеристическая функция суммы Бп = X1+... +Xп равна

Рб,

( С) = ПРхк(1).

4. Характеристическая функция равномерно непрерывна на всей прямой.

5. рх(Р) = Рх(—) = Р-х(Ь).

Теорема 2 (Теорема Бохнера-Хинчина). Для того чтобы непрерывная функция р(ь), обладающая свойством р(0) = 1, была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определённой, т.е. чтобы для любого п еШ для любых действительных Ь1, ...,Ьп и любых комплексных чиселЛ1, ...,Лп выполнялось

£ р(1к — ^)ХкХ]>0.

> 0.

к,¡=1

Доказательство. Необходимость этого условия доказывается быстро:

п { п Л п 2

£р(1к — Ъ)ХкЬ, = м] £ еК*к-])х^ } = к,] = 1 к,] = 1 ) к = 1

Доказательство достаточности можно прочитать в [2].

Теорема 3 (теорема непрерывности). Пусть рп&) = йРп(х) есть последовательность

характеристических функций и рп(0 ^ р(0 при п ^ <х и при каждом Ь. Тогда следующие условия эквивалаентны:

a) р (ь) является характеристической функцией,

b) р (О непрерывна в точке Ь = 0,

c) существует такая функция распределения Р(х), что во всех её точках непрерывности Рп(х) ^ Р(х) при п^ <х причём р(Ь) = е 1 Ьх йР(х).

Рассмотрим примеры. Следующие примеры даны для нахождения характеристической функции дискретной и непрерывной случайной величины

Пример 1. Дан закон распределения дискретной случайной величины X:

Найти

характеристическую

X -4 0 4

р 0,25 0, 5 0, 25

функцию X.

к

к

а

1

п

Решение. При решении этого примера используем формулу (1):

1 + cos4t

(p(t) = Meltx = 0,25e-4lt + 0,5e-4l° + 0,25e4lt =---.

Пример 2. Дана плотная функция непрерывной случайной величины X:

мХ) = \1ХЕ[-11].

1о,х £ [-1,1]

Найти характеристическую функцию X.

Решение. При решении этого примера можно использовать формулу (2), так как данная случайная величина является непрерывной:

i

(eltx 1 ., „ 1 ., sint mx(t)= I -dx = —eLtxl1-1 =—(elt-e-lt) =-.

J 2 2it 1 1 2ity 1 t

-1

Список литературы /References

1. Боровков A.A. Курс теории вероятностей. М.: «Наука». Главное издательство Физико-математической литературы, 1972. 288 с. 4-е изд. М., 1999.

2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: «Наука». Главное издательство Физико-математической литературы, 1988. 6-е изд. М.

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник и практикум для академического бакалавриата / Н.Ш. Кремер.5-е изд., перераб. и доп. Москва Издательство Юрайт, 2019. 538 с.

4. Мятлев В.Д. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели: учебник для академического бакалавриата / В.Д. Мятлев, Л.А. Панченко, Г.Ю. Ризниченко, А.Т. Терехин. 2-е изд., испр. и доп. Москва: Издательство Юрайт, 2019. 321 с.

5. Малугин В.А. Теория вероятностей: учебное пособие для бакалавриата и магистратуры / В.А. Малугин. Москва Издательство Юрайт, 2019. 266 с.