ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Кулжанов У.Н.1, Сайдуллаев А.Ж.2, Эшмухамедов А.Ё.3 Em ail: Kulzhanov17161 @scientifictext.ru

'Кулжанов Уткир Нематович - PhD, доцент, кафедра теория вероятностей и математической статистики, математический факультет, Самаркандский государственный университет; 2Сайдуллаев Азамат Журакулович — ассистент, кафедра математики, экономический факультет, Самаркандский филиал Ташкентский государственный экономический университет; 3Эшмухамедов Абдулла Ёрмаматович — магистр, кафедра теория вероятностей и математической статистики, математический факультет, Самаркандский государственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: случайная величина полностью определяется её законом распределения, но для многих задач эта информация излишне полна и в то же время на практике часто закон распределения не известен и приходится довольствоваться меньшими сведениями. В таких случаях пользуются некоторыми суммарными характеристиками случайной величины. Для понимания очень полезна механическая аналогия. Трактуя возможные значения случайной величины как координаты точек на оси, а соответствующие им вероятности - как некоторые (вероятностные) массы, можно заметить, что математическое ожидание является аналогом понятия центра масс, то есть является «средним», «центральным» значением.

Ключевые слова: математическое ожидание, дисперсия, функция плотности непрерывной случайной величины, среднее квадратическое отклонение.

NUMERICAL CHARACTERISTICS OF RANDOM VALUE Kulzhanov U.N.1, Saidullaev A.Zh.2, Eshmukhamedov A.Ye.3

'Kulzhanov Utkir Nematovich - PhD, Associate Professor, DEPARTMENT OF PROBABILITY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF MATHEMATICS,

SAMARKAND STATE UNIVERSITY; 2Saidullaev Azamat Zhurakulovich - Assistant, DEPARTMENT OF MATHEMATICS, FACULTY OF ECONOMICS, SAMARKAND BRANCH TASHKENT STATE UNIVERSITY OF ECONOMICS; 3Eshmukhamedov Abdulla Yermamatovich - Magister, DEPARTMENT OF PROBABILITY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF MATHEMATICS,

SAMARKAND STATE UNIVERSITY, SAMARKAND, REPUBLIC OFUZBEKISTAN

Abstract: а random variable is completely determined by its distribution law, but for many problems this information is too complete and at the same time, in practice, the distribution law is often not known and one has to be content with less information. In such cases, some summary characteristics of the random variable are used. A mechanical analogy is very useful for understanding. Treating the possible values of a random variable as the coordinates ofpoints on the axis, and the corresponding probabilities as some (probabilistic) masses, one can notice that the mathematical expectation is an analogue of the concept of the center of mass, that is, it is the "average ", "central" value. Keywords: mathematical expectation, variance, density function of a continuous random variable, standard deviation.

УДК 5'9.2''

Прежде всего план изучения числовых характеристик включает в себя следующие вопросы: определение математического ожидания и его свойства; дисперсия и ее свойства; среднеквадратическое отклонение и его свойства. Сначала учащиеся знакомятся с определением понятия математического ожидания [1], которое определяется как сумма произведений всех значений хк дискретной случайной величины Х на их соответствующие

вероятности рк. Здесь сумма вероятностей должно быть равна 1. Выясняется сущность понятия: математическое ожидание случайной величины - постоянное число [2]. Существенные признаки понятия: число, сумма произведения чисел, дискретная случайная величина. Далее учащимся предлагается найти математическое ожидание случайной величины Х заданной в виде таблицы 1.

Таблица 1. Закон распределения случайной величины Х

Х 0 10 20

P 0,5 0,2 0,3

При этом предлагается им ответить на следующие вопросы:

1 .Что такая случайная величина?

2. Какая величина называется дискретной?

3. Какими способами она задаётся?

4. Что понимаете под законом распределения?

После этого по определению найдут

М(Х)= хф!+ х2р2+...+ хпрп= 0-0,5+10-0,2+20-0,3=8.

Затем учащимся предлагается установить аналогию: значения случайной величины Х -координаты точек на числовой оси, вероятности - массы, математическое ожидание - аналог-центр масс материальных точек. Переходя к изучению свойств, обсуждается вопросы:

1. Чему равно математическое ожидание постоянной С (случайной) величины? (Ответ: равно самой себе (Указание: рассматривать постоянную X как дискретная случайная величина, со значением X с вероятностью 1,

2. Каково математическое ожидание случайной величины СХ? (Ответ: М(СХ)= СМ(Х). Указание: использовать определение и свойство 1.

3. Чему равно математическое ожидание суммы случайных величин (Ответ: математическое ожидание суммы конечного числа независимых в совокупности случайных величин X!, Х2,...,Хп равно сумме математических ожиданий этих случайных величин? (Указание: использовать определение и свойство независимых в совокупности случайных величин). После изучения этих свойств, у учащихся должно сформироваться представления о том, что математическое ожидание - это такое значение случайной величины Х, около которого распределены все другие его значения. Кроме того, надо подчеркнуть, что в процессе решения практических задач, знание только математического ожидания случайной величины недостаточно, поэтому возникает необходимость на ещё одну числовую характеристику: хараетеристика разброса возможных значений случайной величины относительно математического ожидания, т.е. называемой дисперсией, которая определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от её математического ожидания М(Х) : D(X) = М((Х - М(Х))2). Учащимся предлагается преобразовать и найти другой вид формулы, используя свойства математического ожидания

(Ответ: D(X) = М((Х - М(Х)2) = М(Х2 - 2ХМ(Х) + М2(Х)) =

=М(Х2) - 2М(Х)М(Х) + М(М(Х)) = М(Х2) - М2(Х). Указание: здесь можно использовать формулу сокращенного умножения, М(Х)М(Х) = М2(Х), М(М(Х) = М2(Х).

Свойства дисперсии целесообразно изучать с помощью постановки следующей учебной проблемы: самостоятельно вывести и доказать ее свойства, сравнивая с аналогичными свойствами математического ожидания, при этом обсуждается вопросы (подпроблемы).

1. Чему равна дисперсия постоянной? (Ответ: дисперсия постоянной равна нулю Указание: использовать вторую формулу дисперсии);

2. Сформулируйте свойство аналогичной второму свойству математического ожидания (Ответ: постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии возводя его в квадрат: D(СX) = С2 D(X). Указание: применять второе свойство математического ожидания и вторую формулу дисперсии

D(СX) = М((СХ)2) - М2(СХ) = С2(М(Х2) - М2(Х)) = С^(Х));

3. Как можно сформулировать третье свойство дисперсии, аналогичной свойству математического ожидания? (Ответ: дисперсия суммы конечного числа независимых в совокупности случайных величин X!, Х2 (Хь Х2,...,Хп) равна сумме дисперсий случайных величин

(Б(Х1+Х2) = М((Х!+Х2)2 - М2(Х!+Х2)) = М((Х02 - 2ХД2+ +(Х2)2) -

(М2((Х0-М(2Х! Х2)+М2(Х2)) = М((Х02 - М2((Х0 + М((Х2)2 - М2(Х2) = = D(X1)+D(X2)).

Разъясняя учащимся в математике многие изучаемые объекты характеризуется своей мерой, ставится вопрос: как вы считаете чему равна мера (размерность) дисперсии? (Ответ: мера дисперсии равна двум, так как дисперсии равна квадрату меры случайной величины Х). Учитывая это для практических целях (вычислениях) удобно использовать характеристика размерностью единицы, т.е. корень из дисперсии, называемый среднеквадратическим отклонением ст(Х) имеющей меру равной мере случайной величины Х. После этого учащимся предлагается самостоятельно доказать свойства среднеквадратического отклонения: ст(С)=0, ct(CX)=|C|CT(X) .

В заключение, обобщая, можно сказать: эти вероятностные характеристики и их компьютерные реализации широко используется в определении достоверности экспериментальных исследований. Например, с помощью Excel, программ Python, C+ и т.д.

Список литературы / References

1. Останов К., Шукруллоев Б.Р., Азимов А.А., Азимзода А.А. Некоторые особенности изучения теорем сложения и умножения вероятностей в школе. Academy. № 11 (50), 2019. Научно-методический журнал. С. 27-29.

2. Останов К., Назаров О.У., Баротова М.А. Случайные величины и их законы распределения. // Вестник науки и образования. Научно-методический журнал, 2019. № 8 (62). Часть 2. Москва, 2019. С. 41-45.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. ЧАСТЬ 1. ПРИРОДА СИЛ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ. НОЫЙ ВЗГЛЯД: ЛОРЕНЦ ИЛИ

ЛАРМОР? Ильченко Д.В.1, Ильченко Л.И.2 Email: [email protected]

'Ильченко Дмитрий Владиславович — студент, специальность — электротехника, факультет электротехники и компьютерной техники, Иллинойсский Университет, г. Урбан-Шампейн, Соединенные Штаты Америки 2Ильченко Леонид Иванович — кандидат технических наук, доцент, независимый исследователь,

г. Владивосток

Аннотация: на основе предложенной модели орбитального вращения электрона показана несостоятельность современного представления об электромагнитной индукции (ЭМИ) и электрическом токе, предлагается его новая модель. Новая модель объясняет закономерность взаимосвязи вихревого магнитного поля и проходящего по проводнику тока. Раскрывая природу сил Лоренца, Ампера, разрешается их парадокс: «работа не совершается, но энергия увеличивается». Уточняется ошибочность принятой формулы прецессии Лармора и предлагается новая. Показано, что процесс ЭМИ может быть разделен на два этапа, причем, на первом этапе за счет прецессии Лармора под влиянием внешнего магнитного поля происходит увеличение кинетической энергии электронов проводимости. Показано, что электрический ток возникает на втором этапе при пересечении проводником силовых линий внешнего магнитного поля за счет кинетической энергии, накопленной на первом этапе. Сила Лоренца при этом приписываемую ей роль не выполняет. Предложено дополнить уравнение Максвелла-Фарадея значением исходного магнитного поля, что более точно отражает закономерности ЭМИ.

Ключевые слова: магнитное поле, электромагнетизм, вихрь всепроникающей среды, законы Ампера, Лоренца, Ларморовская прецессия, спин, заряд, орбиталь, модель электрона, эфир, подъемная сила, дуализм частиц, индукция, магнитный поток, кинетическая энергия потока, электрический ток.