О преобразованиях Лукача характеристических функций случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 3 (2), с. 42-46

УДК 519.21

О ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ЛУКАЧА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

© 2011 г. В.А. Зорин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 23.05.2011

Рассмотрены некоторые интегральные преобразования характеристических функций, обобщающие известные преобразования Лукача.

Ключевые слова: случайная величина, функция распределения, характеристическая функция, смесь распределений, преобразования Лукача.

Введение

Хорошо известны применения характеристических функций для случайных величин в доказательстве центральной предельной теоремы, ее обобщений и в анализе свойств различных случайных величин.

В работе используем обозначения: ф.р. -функция распределения, с.в. - случайная величина, х.ф. - характеристическая функция.

Предположим, что на некотором вероятностном пространстве (0,3, Р) задана с.в. £, . Пусть даны ф.р. ^(х) = Р(£, < х), х.ф.

ГО

/() = Е(еи^) = |еих^(х), t е (-да, да).

-ГО

При изучении х.ф. /(), соответствующей унимодальному распределению, в работе [1] Хинчин ввел преобразование

- Т

ё () = - { / (и¥и- (1)

^ о

В последующих работах Жиро [2] и Леффель [3] обобщили преобразование Хинчина, введя в рассмотрение преобразование

полосе - а < Іт ґ < Ь , для которых д^') =

/ )

Для получения такого результата Лукач ввел два преобразования х.ф. / () следующего вида:

Ті (г) -ЛО^т ТГ (і) -Ш

( г/ "(0) ’ / "(0)

В монографии [5] Е. Лукач доказал, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть операторы Тк , к = 1,2,3,4 определены равенствами:

Г V) - Г ' (0)

Тг/(і) = Т/(і) = Г3/(*) =

т/ {() =

Г''(0) П0 / "(0)’

/V)

/ "(0)

2

і2/"(0)

(3)

(4)

(5)

(/(і) -1 - /"(0)). (6)

(2)

которое при д > 0 преобразует х.ф. /(?) в новую х.ф g (?). Дальнейшее обобщение преобразования х.ф. / () рассмотрел Е. Лукач [4]. Он, анализируя проблему Д. ван Данцига, указал класс х.ф. /(), аналитических в некоторой

1

оказываются характеристическими функциями.

Если в равенствах (3), (4), (6) функции / () соответствуют распределениям, имеющим конечные вторые моменты, а в равенстве (5) функция /(?) соответствует распределению ^(х) с конечным первым моментом, и Г(0) = 0, тогда эти операторы переводят х.ф. / () в новые х.ф.

В главе 12 монографии [5] (см. дополнительно [6, 7]) дано определение и рассмотрены некоторые свойства понятия смеси вероятностных распределений.

Определение. Пусть даны: 1) семейство 0(х,и) = Р(^м < х) ф.р. случайных величин при всех и е I для некоторого множества I с В1 , 2) случайная величина т с множеством значений I, имеющая ф.р. Н(х) = Р(т < х),

х е Я1. Тогда

ад

^ (х) = 10( х, и) СИ (и), х

є Я1

(7)

называется смесью ф.р. О(х,и) .

Оказывается при этом, что Г (х) = Р(^ < х), где новая случайная величина £, = принимает значения случайной величины при выполнении события {т = и} . Применяя оператор Е для обозначения математического ожидания, равенство (7) можно записать в виде ^ (х) = Е (в( х, т)).

Важно для дальнейшего отметить свойство смеси (7), состоящее в том, что при выполнении равенства

го

ё (Л у) = | е1Ы х, у)

будет выполнено равенство

го

/ (*) = | ё (Л _у¥н (У),

ад

¥(?) = Е(е^) = | ейх ^ (х),

ф(?) = ■

которая будет ф.р. в силу монотонного возрастания Н (х) и условия Н (+<») = 1. Из свойств интегралов Стилтьеса имеем равенство

dн(х) = а(у) Ар; (у).

1 7 Е(а(п)) ^ У

Преобразуем (6), применяя стандартные свойства математического ожидания и затем используя соотношение (7). В результате получаем равенства

Е(д(п)ей§п) _ Е^КпУ^1 | п)) _

ф(?) = -

Е(а(п))

Е(а(п))

Е

(а(Ц)Е(еіґяп | П)) = ) а(У)

(8)

(9)

Е(а(П)) а( у)

Е(а(П))

¥(^П)

т.е. / () оказывается х.ф. (см. [5], с. 365).

При доказательстве сформулированной выше теоремы 1 были использованы смеси некоторых распределений. Продолжая использование смесей распределений, в настоящей работе получим новые преобразования для х.ф. Эти преобразования назовем обобщенными преобразованиями Лукача.

2. Определение и свойства обобщенных преобразований Лукача

Теорема 2. Пусть даны:

1) ф.р. ^ (х) = Р(£, < х) и ^ (х) = Р(п < х),

ГО

2) х.ф. /() = Е(в^) = | (х) ,

=і Е(а (П)) ^((у)^^1 (,у)=|^((у)^н (у).

Значит, ф(?) должна быть х.ф. (являясь смесью семейства х.ф.), что требовалось доказать.

Для получения более конкретных результатов наложим дополнительные условия на функцию а(п).

Следствие 1. Пусть: 1) дана с. в. п с конечными моментами Е(п”) Ф 0 и с заданной х.ф.

) = Е(еЙТ1), 2) функция а(г), в некотором круге < г, г > 1, представимая рядом а(г) = ^ апгп с коэффициентами ап > 0,

п>о

У и = 0,1,__

Пусть с = Е(а(п)) < * . Тогда х.ф. ф(?) из равенства (10) будет иметь вид

ап

а (%у

(11)

3) дана с.в. ^ = а(п) как суперпозиция боре-левской функции а(у) и с.в. п. Предположим, что конечно математическое ожидание Е(а(п)) < *. Тогда функция

Е(а(пУ^)

„'е(иУ у ~ >='^

Доказательство. Отметим, что из условия 1) следствия 1 следует существование всех производных функции ). Далее, применяя свойства математического ожидания, получаем цепочку равенств

1

(10)

Е(а(П)) будет х.ф. некоторой с.в. .

Доказательство. Следуя идеям гл. 12 работы [5], определим функцию

н(х) = [ а(у) (у),

( ) I Е(а(п)) п (У)

= (ЇІ )-п Е

(И )

і п

(— е у )|у=*„

V 1

(І,) - Е(у « (у) у=<!).

(12)

Применяя левую и правую части в соотношениях (12) к равенству (11), получим

-ад

ад

ад

го

го

—го

-ад

)=EEn^=z *EW,«)= E(a(n)) „ с

= Y-^l_e(¥W (y) ).

VC(it)n v !y=*>

Поэтому выполняется утверждение следствия І.

Теорема 3. На множестве х.ф. y(t) = E(eitn ) с конечным вторым моментом оператор Т5, определенный равенством

TsV(0 =

v'(t) -V (-t)

9(t) =

(it)2 ¥"(0)

Е(

'■( у) „,5 )•

9(t) =

1

2(it)2 V(0) -

j V"(ty)dy -

V '(t) -W '(-t)

= T5V(t).

го ожидания:

Ts¥(() =

V'(() -y'(-()

2(y''(0)

itn — e-itn

-----1------е(лі(Є

2ty ''(0) 1 ^ E(<

eitn - e-it^

2¥"(0)

Е

ПI eltu du V -n У

і Г *

---------ЕІ n Iei,ul(u\ <п)и

2¥"(0) V I

то

_2^77(0) fE^netul(U <л)

-то

то

2^' (0)

преобразует х.ф. у(^) в новую х.ф. некоторой непрерывной случайной величины Пх с плотностью распределения

/п1 (х) = с1Е(п11(Л> (13)

где обозначено с1 = (2Е(п2 ))-1, а 1(А) есть индикаторная функция события А.

Доказательство. В равенстве (11) положим а2 = а, ап = 0, п Ф 2. Равенство (11) принимает вид

1

(14)

в котором выбираем с.в. £, с равномерным распределением на интервале (-1,1). Тогда для функции ф(?) получим следующие равенства:

=-----1— [в“ие(г|1(|и| < п)).

2^''(0) ^ V И 1 !Г

Из полученного выражения для Г5у(?) в виде интеграла Фурье от функции

Л,(х) = -Е ^(0)1( > И) = с1е((П > N)),

поскольку простое вычисление дает равенство у"(0) = —Е(п2 ) . Значит, верным является соотношение (10).

Пример 1. Для с.в. п, имеющей стандартное нормальное распределение, покажем, что равенство (10) определяет плотность стандартного нормального распределения, т.е.

1 Х2

Л(х)=-/^ехР(- -т).

Ы2п 2

В самом деле, в формуле (10) проведем стандартные преобразования

(х) = с1Е(л1(П > И)) =

“ у2

2

= j У1(У > И) exP(- —)dy.

2 і ''(0)

Поэтому на основании теоремы 2 и следствия 1 приходим к выводу, что Г5у(?) есть снова х.ф.

Для доказательства равенства (10) проведем преобразование выражение для оператора Т5 с помощью стандартных свойств математическо-

л/2тс

Поскольку получается четная функция, то при х > 0 имеем соотношения

да 2

Л,(х) = ~7= 1 У1(У > х)ехР(-^Т^У =

»2п -да 2

да 2 2

=тк 1У =ткехр(-т)-

Поскольку легко заметить, что аг = Е(п2) = 1, то приходим к нужному выводу. Значит, стандартное нормальное распределение есть инвариант преобразования Т5. Следующая ниже

теорема показывает единственность такого инварианта.

Теорема 4. Единственной х.ф., удовлетворяющей уравнению Т) = у(?), является

X 2

функция ф0 (X) = ехр(——) , т.е. х.ф. стандартного нормального распределения.

l

Доказательство. Уравнение Г5у(?) = )

перепишем в виде

ф'О) - ф'(—) = 2їф"(0)ф(ї). (15)

Поскольку из примера 1 видим, что решение уравнения (15) существует, для доказательства единственности решения проведем следующие ниже рассуждения. Решение уравнения (15) в классе х.ф. должно иметь вид

в обосновании заключения теоремы 4. При этом дополнительно необходимо исследовать вопрос об условиях на функцию г (), обеспечивающих принадлежность решения к множеству х.ф.

Пример 2. Применение оператора Т5 к разным х.ф. может давать одну и ту же х.ф.

Рассматриваем с.в. , имеющую дискретное

распределение Р(пх = 0) = 1 - р , Р(Пх = 1) = Р при Ур е (0,1]. Стандартные вычисления приво-

ф(?) = I eitx dF (x)

(1б) дят к равенствам

с некоторой ф.р. F (х). Производные имеют вид

'(t) = i I xeitxdF(x), ф'(-1) = i I xe ltxdF(x) .

Ф

Подставим эти равенства в (ІЗ), приходим к цепочке соотношений

^ ipeiat - ipe iat .. sin t

TsWiit) = ~ -----=¥ о (t) =— •

2 tp t

Пример 3. Для с.в. n с дискретным распределением P(n = а) = Р(п = -а) = -2 х.ф. имеет

вид E(e,ni) = 0.5eita + G.5e ita = cos at. Поэтому

Ф' (t) — ф'(—t) = i I x(eitx — e itx )dF(x) = T5 cos(at) -

itn ) _ і sin at

at

= 2i21x sin(tx)dF(x) =2tф''(0) |eitxdF(x).

-то -то

Значит, при всех t є (-да, да) имеем равен-

ство

| x sin (tx)dF (x) =

Пример 4. Пусть с.в. т имеет пуассоновское распределение с параметром X > 0 .

у (t) = E(eitT) = exp(-X(e!t -1)) . Непосредственное вычисление приводит к равенству T5y(t) = Т5 exp(-Це“ -1)) =

= sin(t + Х Sin t) X(C0S г-i)

(i+x)t e '

Обратим внимание на то, что g(t) = gX(cost-1) = = E(exp(#Q), причем с.в. Z представляется суммой случайного числа т, не зависимой от последовательности {^^,...} взаимно независимых одинаково распределенных с.в.

Легко проверить, что при Е(в'^1) = cos t

Т

выполнится равенство Z = X , поскольку

k=1

e

^(cost-1) ____

X Xn (n!)Vx (cos t)n

w

= ?ф"(0) I (cos(tx) + i sin (tx))dF (x).

-w

Поскольку левая часть этого равенства вещественна, то таким же должно быть выражение в правой части. Поэтому необходимо условие при всех действительных t е (-да, да) :

ГО

J sin(tx)dF(x) = 0 , откуда ф(?) = ф(—).

-ГО

Уравнение (14) в таком случае принимает вид 2ф'(?) = 2?ф"(0)ф(?). Общее решение этого уравнения дается формулой

1 2

ф(?) = exp(21 ф"(0)) .

Поскольку ф”(0) =-Е(п2), то получаем требуемое доказательство теоремы 4.

Замечание 1. Уравнение T5y(t) = r (t )y(t) с условием у(?), у (0) = 1, r (t) = r (—t), при всех t в классе х.ф. представляется формулой

( ^ ^ 2

y(t) = exp - cJ ur(u)du , c =-E(n ). Доказа-

V о )

тельство проводится аналогично рассуждениям зависимые и одинаково распределенные с вели-

= Е[^ ехр(її |

Пример 5. Для с.в. п, подчиняющейся показательному распределению с ф.р. Е (х) = = 1 - ехр(-Ах) при х > 0, х.ф. имеет вид у(?) = Х(Х- И)-1. Применяя оператор Т5 к функции у (?), получим равенство Г5у(?) = = Х4 (X2 + ?2)-2, которое дает х.ф. величины ^ , где все величины - не-

—го

—го

—го

то

-то

то

то

то

чиной п, т.е. подчиняются ф.р. указанной в начале примера функции Г(х).

Замечание 2. Полагая в выражении (11) с.в. ^ непрерывной с плотностью распределения

I7 х7-1

(х) =-------------е~Хх при X > 0 и / (х) = 0 при

4 Г(у) 4

X < 0, легко проверить, что

T6¥(t) =

tr(Y)¥'(0)

«•а

-[ Уу~V(y)e ' dy -tJ0

Xy

Xy

0 ----------

0 yY- ¥(y)e ' dy)

Значит, для х.ф. у(t) получаем новую х.ф. при условии у'(0) Ф 0.

Список литературы

1. Хинчин А.Я. Об унимодальных распределениях // Труды НИИММ при Томском гос. универс., 1938. Т. 2. С. 1-6.

2. Girault M. Les fonctions caracteristiques et leurs transformations // Publ. Inst. Statist. Univ. Paris. 1954. V. 4. P. 223-239.

3. Loeffel H. Beitrage zur Theorie der characteristi-schen Funktionen // Mitt. Verein. Schweiz. Versich. Math. 1956. V. 56. Р. 337-381.

4. Lukacs E. Contributions to a problem of D. van Dantzig // ТВП. 1968. Т. XIII. Вып. 1. С. 114-125.

5. Лукач Е. Характеристические функции. М.: Наука, 1979. 424 с.

6. Robbins H. Mixture of distributions // Ann. Math. Stat. 1948. V. 19. P. 360-369.

7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1984. 738 с.

ON LUKACS TRANSFORMS OF CHARACTERISTIC FUNCTIONS OF RANDOM VARIABLES

V.A. Zorin

Some integral transforms of characteristic functions are considered which generalize known Lukacs transforms.

Keywords: random variable, distribution function, characteristic function, distribution mixture, Lukacs transforms.