CC BY
22
PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES
RANDOM VALUES AND DISTRIBUTION FUNCTIONS Kulzhanov U.N.1, Adilov AA.2, Ibrokhimova Yo.E.3 (Republic of Uzbekistan) Email: [email protected]
1Kulzhanov Utkir Nematovich - PhD, Associate Professor, DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF MATHEMATICS, SAMARKAND STATE UNIVERSITY; 2Adilov Akhror Ablakul oglu - Assistant, DEPARTMENT OF DIGITAL ECONOMY, ACCOUNTING AND INFORMATION TECHNOLOGIES,
FACULTY OF ECONOMICS, SAMARKAND BRANCH TASHKENT STATE ECONOMIC UNIVERSITY; 3Ibrokhimova Yorkinoy Erkinovna - Master Student, DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF MATHEMATICS, SAMARKAND STATE UNIVERSITY, SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in many probabilistic problems, it is necessary not only to calculate the probabilities of any specific events, but also to investigate the numerical characteristics of random experiments, the exact values of which are unknown in advance and depend on which of the elementary outcomes of a random experiment will be realized. For discrete random variables, instead of a distribution function, it is convenient to specify a distribution series. It consists of two lines (end or endless). The first line indicates the possible values of random variables, in the second the corresponding probabilities with which these values can be taken. The distribution series defines the distribution law for a discrete random variable.
Keywords: random variable, distribution function of random variable, properties of distribution functions, integral and differential functions.
СЛУЧAЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ФУНКЦИИ РAСПРЕДЕЛЕНИЯ
1 2 3
Кулжaнов У.Н. , Aдилов AA , Иброхимовл Е.Э. (Республика Узбекистан)
1Кулжонов Уткир Немптович - PhD, доцент, кафедра теории вероятностей и математической статистики, математический факультет, Самаркандский государственный университет; 2Aдилов Aхрор Аблакул оглы - (Ассистент, кафедра цифровой экономики, бухгалтерского учёта и информационных технологий,
факультет экономики, Соморкондский филшл Тошкентский госудaрственный экономический университет; 3Иброхимовa Ёркиной Эркиновш - мaгистрaнт, кафедра теории вероятностей и математической статистики, математический факультет, Сaмaркaндский госудaрственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: во многих вероятностных задачах приходится не только вычислять вероятности каких-либо конкретных событий, но и исследовать числовые
характеристики случайных экспериментов, точные значения которых заранее не известны и зависят от того, какой из элементарных исходов случайного эксперимента будет реализован. Для дискретных случайных величин вместо функции распределения удобно задавать ряд распределения. Он состоит из двух строчек (конечных или бесконечных). В первой строке указаны возможные значения случайных величин, во второй - соответствующие вероятности, с которыми могут приниматься эти значения. Ряд распределения задаёт закон распределения дискретной случайной величины.
Ключевые слова: случaйная величина функция рaспределения случaйной величины,свойствa функцийрaспределения, интегрольные и дифференциaльные функции.
1. Понятие функции рaспределения.
Определение 1. Случайной величиной называется величина, значение которой определяется случайным образом из опыта и случайные величины обозначаются буквами X,Y,Z и т. д. или буквами ^,^£[1]
С каждой случайной величиной связана функция распределения. Функцию распределения случайной величины X будем обозначать y=F(x). Пусть задана случайная величина X. Определим для произвольного неслучайного значения Х вероятность события, что значение случайной величины X примет значение меньшее, чем x. т. е. определим вероятность события P(X<x). Когда x изменяется в некотором интервале, вероятности событий P(X<x) задают некоторую функцию, возможные значения которой находятся на интервале [0;1]. Ради общности считаем, что область определения этой функции есть интервал (-го;+го). Реально область определения может быть уже. Тогда при необходимости мы искусственно доопределяем ее нулем слева и единицей справа на весь интервал (-го;+то).
Определение 2. Функцией распределения случайной величины X называется функция y=F(x) с областью определения (-да;+да) заданная по правилу: F(x)=P(X<x).
2. Свойства функции рaспределения[2].
1. Вероятность попадания на интервал [xbx2) равна:
P(X!<X<X2)=F(X2)-F(X!). (1)
2. Функция распределения является неубывающей функцией. Это значит, что при движении вдоль оси OX слева направо ее значения возрастают или (по крайней мере) остаются постоянными.
3. Так как событие (X<+ro)=U и (X<-ro)=V, то
lim F(x) = 1; lim F(x) = 0. (2)
4. Если функция распределения непрерывна, то вероятность события P(X=x)=0, где x - произвольное значение.
5. Функция распределения непрерывна справа, т. е.
lim F(x) = F(x0).
x^xo ^0
6. Функция распределения может иметь конечное или счетное число точек разрыва первого рода.
Схематический вид графика функции распределения:
У 1 *
О X
Рис. 1. Схематический график функции распределения
Функция распределения дает самую полную информацию о случайной величине.
Определение 3. Случайная величина называется дискретной, если она может принимать конечное или счетное число значений, которые можно расположить в ряд в порядке возрастания и пронумеровать с помощью членов натурального ряда чисел. Функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной.
Определение 4. Случайная величина называется непрерывной, если она имеет непрерывную функцию распределения и может принимать любое значение из некоторого интервала (а,Ь) открытого или замкнутого. Случаи а=-ю и Ь=+да не исключаются.
Случайная величина является смешанной, если она обладает свойствами дискретной и непрерывной случайной величины [3].
3. Ряд рaспределения.
Для дискретных случайных величин вместо функции распределения удобно задавать ряд распределения. Он состоит из двух строчек (конечных или бесконечных). В первой строке указаны возможные значения случайных величин, во второй соответствующие вероятности, с которыми могут приниматься эти значения. Ряд распределения задает закон распределения дискретной случайной величины. Он имеет вид: _
X Х1 Х2 хп
Р(х) Р1 Р2 Рп
Так как в результате испытания случайная величина обязательно принимает одно из указанных значений, то сумма вероятностей в строке равна 1. т. е.
Р1+Р2+ ... +р„+...=1.
Функция распределения дискретной случайной величины однозначно определяется по ряду распределения следующим образом. Пусть значения дискретной случайной величины записаны в порядке возрастания. Тогда функция
0 , х < хх;
F (х) =
Р1 , х1 < х < х2; Р1 + Р2 , Х2 < х < хз;
Р1 + Р2 +... + рп-^ х„-1 < х < х„; 1 , хп < х
4. Плотность рaспределения.
Если функция у=¥(х) имеет производную у'=¥'(х)=р(х), то функция р(х) называется плотностью распределения[4]. По формуле Ньютона- Лейбница имеем:
■
Jp(x)dx = F(x)\ba = F(b) — F(a) = P(a < x < b).
(3)
Тaк кaк
F(x) = P(X < x) = Р(—да < X < x),
то
x x
F (x) = J p(t )dt = J p( x)dx
(4)
По свойству (4) функция F(x) называется также интегральной функцией, а p(x) -дифференциальной функцией распределения.
5. Свойствa плотности рaспределения:
1. Функция p(x) неотрицательна p(x)>0. Это следует из того факта, что производная неубывающей функции неотрицательна.
2. Интеграл по области определения от плотности распределения равен 1.
ж
jp(x)dx = lim F(x) = 1.
-ж
Из геометрических свойств интеграла и равенства (4) следует, что геометрически вероятность попадания на интервал [a;b] равна площади трапеции, ограниченной снизу осью Ox с боков прямыми x=a; x=b и сверху кривой p(x).[5] Иллюстрация дана на рис. 2.
Рис. 2. Вероятность попадания на интервал [a;b]
Именно с помощью плотности распределения чаще всего задаются законы распределения непрерывных случайных величин.
Список литературы /References
b
—да
—да
1. Гнеденко Б.В. «Курс теории вероятностей». Москва. «Наука», 1987.
2. Боровков A.A. «Теория вероятностей». Москва. «Наука», 1987.
3. Севастьянов Б.А. «Курс теории вероятностей и математической статистики». Москва. «Наука», 1982 .
4. Останов К., Назаров О.У., Баротова М.А. Случайные величины и их законы распределения // Вестник науки и образования, 2019. № 8-2 (62).
5. Останов К., Шукруллоев Б.Р.О., Азимов А.А. & Ахмадий А.А. Некоторые особенности изучения теорем сложения и умножения вероятностей в школе. Academy, 2019. №11 (50).
