Эксцентричная труба под действием нагружений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374

ЭКСЦЕНТРИЧНАЯ ТРУБА ПОД ДЕЙСТВИЕМ НАГРУЖЕНИЙ ECCENTRIC TUBE UNDER LOAD Т. А. Кульпина T. A. Kulpina

ФГБОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары

Аннотация. В настоящей работе исследуется напряженное состояние эксцентричной трубы под действием внутреннего давления и при воздействии одного касательного усилия.

Abstract. The article gives the research of the stress state of an eccentric tube under internal pressure and under tangential force.

Ключевые слова: упругость, пластичность, труба, деформация, напряжение.

Keywords: elasticity, plasticity, tube, deformation, tension.

Актуальность исследуемой проблемы. Определение напряженного и деформированного упругопластического состояния тел вблизи отверстий, полостей и других концентраторов напряжений является актуальным в машиностроении, строительной механике, горном деле, при расчете элементов конструкций, работающих в условиях предельных нагрузок.

Материал и методика исследований. В работе используется фундаментальный материал по теории идеальной пластичности и метод малого параметра.

Результаты исследований и их обсуждение. Рассмотрим напряженное состояние анизотропной эксцентричной трубы под действием внутреннего давления p и при действии на внутренней поверхности трубы касательного усилия ^ Ф 0 [1].

В дальнейшем все величины, имеющие размерность напряжений, отнесем к величине k - пределу текучести на сдвиг, величины, имеющие размерность длины, - к величине r° - радиусу пластической зоны при равномерном растяжении: 8 = 0 .

В результате получим безразмерные величины:

uij = uij /k,p = p/k,q = q/k,ri = ri /k,G = G/k, siJ = siJ /r°,u = u /rs0,v = v/rs0,w = w/rs0, a = a/rs0,

где <Jij - компоненты тензора напряжений, sij - компоненты скоростей деформации, u,v, w - компоненты скоростей перемещений вдоль осей р,в, z соответственно.

Для решения задачи в цилиндрической системе координат p,e, z используем уравнения равновесия:

^p 1 ^pe дт(Я ap - ав „

+----------------— + —— + —------= О,

дp p дв дz p

fope 1 ^p дтв 2*pe _

—— +----------- + —eL + —— = О, (1)

дp p дв дz p

fopz 1 дт& да z TpZ

—— +----------eL +--- + -?- = О.

дp p дв дz p

Пусть радиусы стенок трубы - а и b(a < b), эксцентриситет - c . В нулевом приближении будем иметь

Tp * О, =в = О. (2)

Все остальные компоненты тензора напряжений зависят только от p , а на внутренней поверхности трубы к граничному условию

ap =-p при p = a, p = const (3)

T('pz> = Tj при p = a, t1 = const. (4)

добавляется условие

'• р

Условие пластичности Мизеса примем в виде [2]

р - °в )2 + В{ае - °z )2 + C (<Jz - ° р)2 + 6FlPe + 6GtPz + 6Hj& = 6k 2, (5)

где A, B, C, F, G, H - постоянные величины, имеющие вид:

A = 1 + 8a,

B = 1 + 8b,

C = 1 + 8c,

F = 1 + 8f,

G = 1 + 8g,

H = 1 + 8h; a, b, c, f, g, h - const.

Пусть

<JP + ав

=-P4rL, (7)

тогда условие пластичности (5) с учетом условий (2), (7) примет вид

(б)

f 4A + B + C Л/ ъ r2 г /о\

I—4— hp- ав)+ 6Grpz =б. (8)

Уравнения равновесия и линеаризованное условие пластичности (8) с учетом выражений (6) в нулевом приближении примут вид

dст(0) ^ -<г™ dг(0) 2г(0)

----р— + -р-------— = 0, —р- +—р- = 0, (9)

dp р dp р

(г™ -) + 4,™ = 4, „Г = т<0> + 3. (10)

Решение первого уравнения системы (9) согласно условию полной пластичности

[3], [4]

/Т2 „,2 2 „ I ГГг „ 2_2

д/р - а тг р +у]р

„и, = 1„р-<р -а ^ +1„р +/р -а *[ -р,

^1 + ^ 1 -т1 ^

р а р а 11 + Л/1 -

, I 2 2 2 ____________

■(0) р = |„ р + |„ р +/р - а Т' +1 + ,/Г, - р,

а а 11 + л 11 —'

где

_(0) = а,1

р?

р

В первом приближении линеаризованное условие пластичности (8) с учетом выражений (6) примет вид

- 7в0) 2

)2 + 12(ст|р0) --7(в1)) + 24gгP0)2 + 48г^)г^) = 0, (12)

где т = 4а + Ь + с.

Из (12), (11) получим:

.(I) ^(1) _ 4т1атрр\ т(1 + s)2

КУ р КУ в -- I I .

р(р + s) р + s 12р(р + s)

I 2 2 2

5 = у]р - а ,1 .

В первом приближении уравнения равновесия запишутся в следующем виде:

с1о? „р - 7®

----р— + -р--------— = 0,

ёр р

2г(1) р + р = 0 ёр р

Решая второе уравнение системы (14), используя граничные условия

ё„(-р) ёР, ёР

(13)

(14)

7 рр) +—~ г = —~ г, ,(р в - („ е0) - „р0 )М =

р ёр 1 ёр 1 рв У в р г1 ёр

\ • ёР

М =~тГ1 при р = р , (15)

получим

где t = -20^ 1 -г2.

Из (13), (16) получим

та) =

Р

т т 2рт,2а2 4та sin в т(1 + 5)2

<7{р} - иУ-1 =^—1----------+ —1--------+ — -------- —.

Р(Р + s) Р (Р + s) 12р(р + s)

18ІП в

Р2

(16)

2

(17)

Подставляя выражение (17) в первое уравнение системы (14), получим решение задачи в первом приближении:

_(1), = Р + 5 Р пл2

12с;

л/р - С1 + т 1 ------;------1-----1п

Р

48

1—4 г<2 2

л/Р - С1 - Р

+

+

.т*в- Р+^а" -С' -т 1П

л!р4 - С1 + р

т]а4 - С12 - а"

ал 1 -Т

12С,2

а

Л1)р _ гв

■ +

+ -

р2^р - 2С12 т) 24^р4 - С? ' 24С27р4 - С

Р + 5

48

т

+ — 1п 2 48

д/а4 -С12 + а"

а1 -т12

Г 008 в -

у/а4 - С1 т

--------7-------------1П

24р а2 48

■[с

Vа

ЛІР4 - с2 - р

л1р4 - С2 +Р

- С12 -а

21 С1 і +а

+

(18)

2

2

4

4

С1 = ^т1а1-

Резюме. Решена задача о напряженном состоянии анизотропной эксцентричной трубы при действии внутреннего давления и одного из касательных усилий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ивлев, Д. Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. - Воронеж : Колос, 2005. - 205 с.

2. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. -М. : Наука, 1978. - 208 с.

3. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев. - М. : Физматлит, 2001. - С. 33-185.

4. Михайлова, М. В. О влиянии сдвигов на упругоидеальнопластическое состояние пластины с круговым отверстием при двуосном растяжении / М. В. Михайлова, Л. И. Афанасьева // Проблемы механики неупругих деформаций. - М. : Физматлит, 2001. - С. 211-228.