CC BY
8
УДК 539.374
АНИЗОТРОПНАЯ ЭКСЦЕНТРИЧНАЯ ТРУБА С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ И НЕСЖИМАЕМОСТИ МАТЕРИАЛА
ANISOTROPIC ECCENTRIC TUBE OF COMPRESSIBLE OR INCOMPRESSIBLE MATERIAL
Т. А. Кульпина T. A. Kulpina
ГОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары
Аннотация. Проведен сравнительный анализ упругопластического состояния анизотропных эксцентричных труб из сжимаемого и несжимаемого материала.
Abstract. A comparative analysis of the elastoplastic condition of anisotropic eccentric tubes from compressible and incompressible materials is carried out.
Ключевые слова: упругость, пластичность, пластина, деформация, напряжение.
Keywords: elasticity, plasticity, plate, deformation, effort.
Актуальность исследуемой проблемы. Определение напряженного и деформированного упругопластического состояния тел вблизи отверстий, полостей и других концентраторов напряжений принадлежит к числу актуальных проблем в машиностроении, строительной механике, горном деле, расчете элементов конструкций, работающих в условиях предельных нагрузок.
Материал и методика исследований. В работе используется фундаментальный материал по теории идеальной пластичности и метод малого параметра.
Результаты исследований и их обсуждение. Рассмотрим анизотропную эксцентричную трубу из сжимаемого материала под действием внутреннего давления p и напряженное состояние анизотропной эксцентричной трубы под действием внутреннего давления Р
и при действии на внутренней поверхности трубы касательного усилия TPz) ^ 0 ■
В дальнейшем все величины, имеющие размерность напряжений, отнесем к величине k - пределу текучести на сдвиг, величины, имеющие размерность длины, - к величине rs0 - радиусу пластической зоны при равномерном растяжении: S = 0 [1].
В результате получим безразмерные величины:
° Ч = ° Ч / k, p = p / k, q = q / k, T j = T j / k, G = G / k,
s ^ = e y / rs0 , u = u / rs0 , v = v / rs° , w = w / r ° , a = a / rs0 ,
где ° a - компоненты тензора напряжений, s ч - компоненты скоростей деформации, u, v, w - компоненты скоростей перемещений вдоль осей р , 9 , z соответственно.
Для решения задачи в цилиндрической системе координат используем уравнения равновесия [2]:
дар 1 дтРв дт а р - ав
— +---------— + —— + —-----------= 0,
др р дв dz р
дтРв 1 дар дт ez 2трв п
—— +---------— + —— +—— = 0, (1)
др р дв дz р ' '
дт Pz + 1 дт ez + да z + т Pz = 0
др р дв дz р
Пусть радиусы стенок трубы — а и b (a < b ), эксцентриситет - с. Уравнение внешнего контура трубы имеет вид [4]
(X - с)2 + у2 = b2 . (2)
Полагая X = r cos в , у = r sin в , перепишем (2) в виде
р2 - 28р cos в + (82 - р 2) = 0, (3)
где
с _ с r _ b _ a
8 r 0 ; р r 0 ; P r 0 > a r 0 , (4)
s s s s
rf - радиус упругопластической зоны в невозмущенном состоянии.
Из (3) найдем
р = S cos в + л/32 - S2 sin2 в = 3 + Scos в - sin2 в - sin4 в + . ^ 23 83
(5)
Для трубы из сжимаемого материала предполагается, что на внутренней поверхности трубы не действуют касательные усилия; тогда в нулевом приближении будем иметь
т (°) _ -(О) _ г(0) _ 0 , ч
% рв ~ 1 рг ~ 1 вг ~ 0 . (6)
Все остальные компоненты тензора напряжений зависят только от р .
Условие пластичности Мизеса в анизотропном состоянии в условиях сжимаемости имеет вид [3]
А (°р - °в )2 + В (а в - аг )2 + С (а 2 -&р )2 _6(1 + /а)2, (7)
где А , В , С - постоянные величины, имеющие вид
А _ 1 + За ,
В _ 1 + ЗЬ,
С _ 1 + Зс. (8)
В результате сравнительного анализа определено, что в нулевом приближении компоненты напряжения для анизотропной эксцентричной трубы из несжимаемого материала имеют вид
7 2 2 2 / 2 2 2”
р_-о_г^ + 1п р Чр - а - + 11--Г - р,
" ар а П + ^ 1 - - 1
Г-inр+in р +, + ^—7; _ p, (9)
a - (i ) (9)
a | i + \I i — T
где
_(0) _
рг р
А компоненты напряженного состояния для трубы из сжимаемого материала следующие:
_ (0) р _ 1 - р/ ( р ) -м/ 1
ар _ —7—(_-> -~7,
/ а /
(0) р 3 + 2 / 1 - р/ ( р Xм 1 м 6
ав’р_ Т~/ , (.р] - / • где м_- ^ . (10)
В первом приближении для анизотропной трубы из несжимаемого материала линеаризованное условие пластичности примет вид
т(а^Э) - а(в>) )2 + 12(ар0) - ав°))(а(р1} - ав1}) + 24gT%)2 + 4—0^ _0, (11)
где т _ 4а + Ь + с.
Из (11) получим
,,, _ д,.,_ 2 иг;а'- + 4т,«г'р • + т (1 + »)2 . р р(р + s) р + s 12 р(р + 5)
V2 2 2
р — a Ti .
В первом приближении уравнения равновесия запишутся в виде
daPp ) а?) — а*)
+ -р------— -0,
dр р
dт(1) 2т(1)
рг + рг _ 0
dр р
Решая второе уравнение системы (13), используя граничные условия
(13)
ар) + ri-ddpfi' тр_а'”_а<’’Ri-dpri "р" p-f• (14)
t sin в
T (1) - ________ ní4
получим 1 pz ~ p 2 ’ (i5)
где t - — 20tJi — Ti2.
Из (i2), (i5) получим
(T) (T) 2gTi2a2 4Tiat sin в m(i + s)2
ар — а в i-----+ —i------+ — -------- —. (i6)
p в p(p + s) p2(p + s) i2p(p + s) ( )
Подставляя выражение (i6) в первое уравнение системы (i3), получим решение задачи в первом приближении
и
р _
р + Яд/ РА - С1
т .
+— 1п
+
2
Т1
2
а
(і) р _
ал/1 - Т
р + Я
Р
cosв -
48
Ур - Сі - р
+
р + Я
УІа4 - Сі
12С2
1 - т іп
а
48
д/а4 - С12 - а"
р2(tр- 2С12т) т,
+ ,- 1 +— 1п
24рр4 - С2 24С2д/р4 - С2 48
гС08 в -
р + Я
р
Vа 4 - С12
д/а4 - С12 + а" л/р4 -С12 - р
л/р4 - С12 + р
а
т ,
------1п
48
ад/1 - Г)2 24р
С! = ^Г!«!.
Для анизотропной трубы из сжимаемого материала
^ Я4Л
д/а4 - С2 -а
д/а4 - С2 +а
(17)
а
(I)е _
р4
р +
3р +
1
р4 -1 1
(
ЛI)е _
'рв
РА
р +
р4 -1
р4 -1
р4
3р + 3“
р у
р4
р-^
р у
решение задачи имеет вид соэб,
cos0,
(18)
sm 0.
Радиус упругопластической зоны имеет вид
Ъп
Ри - ~^Т- 1
С08 0,
(19)
где
А _
(3 - 4/)2
-а
- м/
3(1 - /7/ )(3 - /)
Резюме. Для данных труб приведены значения напряжений до первого приближения включительно и радиусы упрогупластических зон.
ЛИТЕРАТУРА
+
2
г
п
1. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. -М. : Наука, 1978. - 208 с.
2. Ивлев, Д. Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. - Воронеж : Колос, 2005. - 205 с.
3. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев. - М. : Физматлит, 2001. - С. 33-185.
4. Михайлова, М. В. О влиянии сдвигов на упругоидеальнопластическое состояние пластины с круговым отверстием при двуосном растяжении / М. В. Михайлова, Л. И. Афанасьева // Проблемы механики неупругих деформаций. - М. : Физматлит, 2001. - С. 211-228.
