CC BY
13УДК 517.958:5
Фирсов Андрей Николаевич,
д-р техн. наук, профессор
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА В ДВУХ ЧАСТНЫХ
СЛУЧАЯХ
Россия, г. Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, [email protected]
Аннотация. В статье рассмотрены две задачи. Первая связана с исследованием качественных свойств решения задачи Коши для линеаризованного уравнения Больцмана в случае «жестких» потенциалов межмолекулярного взаимодействия (степенный потенциалы с показателем степени больше четырех). Показано, что если начальные условия обладают определенными свойствами, то установление равновесия происходит экспоненциально быстро. Вторая задача связана с построением точного аналитического решения (в виде степенного ряда по времени) решения задачи Коши для линеаризованного пространственно-однородного уравнения Больцмана. В основу доказательства сходимости упомянутого степенного ряда положено использование дискретного преобразования Лапласа и известные свойства оператора столкновений. Полученный результат позволяет строить явные аналитические приближения функции распределения, что может оказаться весьма полезным в прикладных задачах, связанных с исследованиями течений разреженного газа.
Ключевые слова: уравнение Больцмана, задача Коши, устойчивость решений, точные решения.
Audrey N. Firsov, Dr. Tech. Sci., professor.
EXPONENTIAL STABILITY AND EXACT SOLUTIONS OF THE BOLTZMANN EQUATION IN TWO SPECIAL CASES
Russia, St.Petersburg, Peter the Great Saint-Petersburg Polytechnic University, [email protected]
Abstract. In the first part of the paper it is shown, that in the case of specific initial conditions, solutions of the Cauchy problem for linearized Boltzmann equation have exponential damping when time tends to infinity. In the second part of the paper exact analytic solution of spatially homogeneous linearized Boltzmann equation is built by the use of discrete Laplace transform. The result may be useful in research tasks inside the area of applied rarefied gas dynamics.
Key words: Boltzmann equation, Cauchy problem, solution stability, exact solutions.
1. Введение
Уравнение Больцмана хорошо известно как основное уравнение кинетической теории разреженных газов. Уже Л. Больцман понимал роль этого уравнения для обоснования макроскопических моделей аэродинамики. В 1916 - 1917 гг. Д. Энског и С. Чепмен независимо предложили формально-математический вывод макроскопических уравнений аэродинамики из уравнения Больцмана, включая естественный вывод макроскопических соотношений для коэффициентов вязкости, теплопроводности и диффузии (так наз. метод Чепмена-Энскога, считающийся сейчас классическим).
С другой стороны, исследование уравнения Больцмана как математического объекта (теория существования и единственности решений, анализ качественных свойств решений, корректность постановки различных задач для этого уравнения и т.п.) получило заметное развитие лишь во второй половине ХХ века. Причиной этому послужили, как нам представляется, в основном два обстоятельства.
Во-первых, реальная необходимость приоритетного использования кинетического подхода при рассмотрении практических задач аэродинамики возникла с развитием ракетной и космической техники и высотной авиации, вакуумной техники и т.п. При достаточно большой степени разрежения газа (когда средняя длина свободного пробега молекулы становится сравнимой с размерами движущегося в газе тела, что для земной атмосферы соответствует высотам более 100 км.), классическая аэродинамика должна быть заменена кинетической теорией газов. В основе этой теории, как уже было отмечено, лежит уравнение Больцмана.
Таким образом, при решении практических инженерных задач, связанных с движением тел в высотных слоях атмосферы, появилась необходимость развития адекватных приближенных, в частности, численных методов решения уравнения Больцмана. Но для надежного использования тех или иных приближенных методов необходимо их строгое обоснование, которого нельзя получить без математически точных результатов о существовании и свойствах решений этого уравнения.
Во-вторых, математический аппарат, который оказался подходящим для строгого анализа уравнения Больцмана, был в достаточной степени развит лишь во второй половине прошлого века. Речь идет, в первую очередь, о методах функционального анализа, относящихся, в частности, к теории неограниченных операторов в банаховых пространствах, теории однопараметрических полугрупп операторов, теории обобщенных функций. При этом, многие математические задачи, связанные с уравнением Больцмана, оказываются не по зубам даже продвинутым методам функционального анализа.
Можно констатировать, что, несмотря на серьезные успехи, достигнутые трудами не слишком многочисленных зарубежных (Т. Карле-ман, Г. Грэд, К. Черчиньяни, С. Укаи и др.) и отечественных (А.А. Ар-сеньев, Н.Б. Маслова, А.В. Бобылев, А.Н. Фирсов и др.) исследователей, математическая теория уравнения Больцмана еще далека от сколько-нибудь завершенного вида.
С этой точки зрения, даже частные результаты, относящиеся к математической теории уравнения Больцмана, могут оказаться даже весьма познавательными и практически полезными.
Настоящая работа посвящена двум математическим задачам, относящимся к уравнению Больцмана. Первая касается асимптотических свойств решений линеаризованного уравнения Больцмана на бесконечном промежутке времени, вторая - алгоритму построения точного решения пространственно-однородного уравнения Больцмана.
2. Экспоненциальная устойчивость решений задачи Коши для линеаризованного уравнения Больцмана.
Рассмотрим задачу Коши для линеаризованного уравнения Больцмана кинетической теории газов [1, 2]:
/ + й= Ь[/], г >0, Ь[/] = К[/]-п/, (1)
/ = /(X,X,г), Xе К3, йе К3, г > 0, Д=0 = /,(*,й). (2)
Здесь / (х, й, г) - линеаризованная функция распределения молекул по координатам х и скоростям й в момент времени г. К [ /] - линейный ограниченный оператор, действующий на / как функцию й; п = п(й) = 0(йь) при й , 0<Р< 1, й = |й|. Свойства функции п(й)
зависят от конкретной модели межмолекулярного взаимодействия, принимаемой при выводе кинетических уравнений. Подробности см. в [1, 2].
Известно [3а,б], что решение задачи (1), (2) - в случае «жестких» потенциалов межмолекулярного взаимодействия и : г к, к >4 - имеет
при г ® ¥ в общем случае степенную асимптотику вида
Г 1 Л
0
1
.1 + у
,т>0. Этот результат получается в предположении, что
/(х, й, г) при х = |х| ® ¥ ведет себя как функция из Ьр (К), р > 1.
Оказывается, что если на поведение /(х, й, г) при х ® ¥ наложить более жесткие требования, например, потребовать, чтобы /(х, й, г) удовлетворяла по х (и равномерно по й, г) условию
f(x,u, t) = o(exp(-a|x|1+£)), \x\ , a> 0, e> 0, (3)
то установление равновесия (т.е. стремление функции f к нулю при t ) происходит экспоненциально быстро.
Идея доказательства состоит в следующем (ниже используются обозначения из [7, 8]). Будем искать f (X,и, t) в классе функций таких,
что при почти всех и е R и всех t > 0 f (X, и, t) е E х, т.е. функцию f можно представить в виде (см. [7, 8])
¥
f (X и, t) = ХЕ r(q} (и, t )dq ] (X). (4)
r=0 |q| =r
Подставляя это выражение в (1) и учитывая теорему 3.1 и формулу (3.3) из [8], получим для коэффициентов (и, t) бесконечную «зацепляющуюся» систему уравнений вида
^ = Яс(0)], (5)i
dt
T)r( q)
— = L[r(q)] -[и/^ + U2r{q-h) + U3r{q-l3)], \q\ Ф0, (5)2 dt
где через Iv12,13 обозначены мультииндексы (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) соответственно.
Уравнения (5)2 представляют собой неоднородные уравнения вида
dr(q)
— = L[r(q)] - £q(и,t), \q\ Ф 0, dt
где gq (и, t) - известная функция (на каждом шаге - своя). Таким образом, свойства функций r(q) (и, t) зависят от свойств оператора L. Последние достаточно полно изучены [1-6]. В частности, оператор L на подпространстве функций w(u , t), ортогональных в смысле L2(R3) подпространству аддитивных инвариантов (что, по существу, эквивалентно выполнению классических законов сохранения для массы газа), порождает полугруппу Т(t), t > 0 ограниченных операторов [9], дающую решение абстрактной задачи Коши для уравнения (5)1; при этом оказывается ||Т (t )|| £ ronst -e~m, JU> 0. Методом, аналогичным использованному в [3,
4], по индукции получаем для решений уравнений (5)2 оценку вида, в которой норма понимается в следующем смысле
L2(R3)): r(q)(t) £ ronst ■ e~p, g> 0,
где const зависит от начальной функции распределения f0(x,и) и оператора L. Последняя оценка, с учетом теоремы 1.8 из [7], позволяет сделать заключение об экспоненциально быстром (по времени) установлении равновесия в системе, описываемой задачей (1) - (2).
3. Точное аналитическое решение пространственно-однородного линеаризованного уравнения Больцмана. Рассмотрим задачу Коши для пространственно-однородного линеаризованного уравнения Больцмана в случае «жестких» потенциалов межмолекулярного взаимодействия U : r k, k >4 (обозначения и терминология здесь и далее см., например, в работах [1, 2]):
f = L[ f ], t > 0, L[f] = K[f]-nf, (6)
at
f = f (R,t), и e R3, t > 0, f (R,0) = fo(R). (7)
Здесь f (и, t) - линеаризованная функция распределения молекул по скоростям и в момент времени t . K [ f] - линейный ограниченный оператор, действующий на f как функцию и; n = n(u) = O(ub) при и , 0 < Р< 1, и = |и|. Свойства функции n(u) зависят от конкретной
модели межмолекулярного взаимодействия, принимаемой при выводе кинетических уравнений. Подробности см. в [1, 2]. Требования «жесткости» потенциалов определяют свойства оператора K [ f ] и функции n(u). Эта задача достаточно хорошо изучена с математической точки зрения в отношении вопросов корректности и качественных свойств решений задачи (6)-(7) (см., например, [1, 2, 10, 11]).
Однако, важным не только с теоретической, но и с практической точки зрения, остается вопрос построения (хотя бы в частных случаях) точных аналитических решений этого уравнения. Это связано, в частности, с тем, что общие теоремы существования и единственности для уравнения Больцмана, ввиду его сложности, дают результаты, мало приспособленные к задачам построения его решений (даже приближенных). Достаточно полный обзор этих результатов можно найти в [12-14] (со времени написания этих обзоров в отношении интересующих нас вопросов мало что изменилось). Численные методы решения уравнения Больцмана основаны, как правило, на методах статистического моделирования, и далеко не всегда строго обоснованы [15, 16]. С другой стороны, наличие в запасе точных аналитических решений даже частных задач может быть полезным для анализа математических моделей более общих процессов. Настоящая заметка как раз и посвящена этому, последнему, вопросу - построению точного аналитического решения зада-
чи (6)-(7). Введем обозначение
Э kf
( = ( (u)
Эгк
, к = 0,1,2,..., ((и) = м и).
г=0
Будем искать решение в виде
/ (и, г) = £ (!) гк (8)
к = 0
Ясно, что если ряд (8) абсолютно и равномерно (относительно и е R3) сходится, то мы, тем самым, получаем аналитическое по г решение задачи (6)-(7).
Докажем сходимость ряда (8). Перейдем в (6) к (рк и, затем, к дискретному преобразованию Лапласа [17, гл. 8]:
¥
(к+1 = К[(]; Ф*(4,и) = £е~ф(к(и), Яеq > 0.
к = 0
Для Ф*^, и) получаем, следовательно, уравнение Ф* =-1Т ( К [Ф*])+( ° Aq [Ф*].
V + е
Легко понять, что при достаточно больших Яе q оператор Aq будет сжимающим (в любом и - пространстве, в котором оператор К ограничен). Отсюда следует ограниченность Ф* по q . Но тогда существует обратное преобразование
1 в+1Я
(к =Р | Ф*^, и)eqкdq,
2т
откуда следует, что
|( (и )| <ретк,
где р и л - постоянные. Отсюда немедленно получаем абсолютную и равномерную (по и) сходимость ряда (8), что и требовалось. Небезынтересным является, на наш взгляд, и отмеченный выше факт аналитичности решения по времени.
Список литературы
1. Гред Г. Асимптотическая теория уравнения Больцмана. II // Некоторые вопросы кинетической теории газов. - М.: Мир, 1965, с. 93 - 128.
2. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. - М.: Мир, 1978. - 480 с.
за. Маслова Н.Б., Фирсов А.Н. Решение задачи Коши для уравнения Больцма-на. I // Вестн. Ленингр. ун-та, 1975, № 19, с. 83 - 88.
зб. Маслова Н.Б., Фирсов А.Н. Решение задачи Коши для уравнения Больцма-на. II // Вестн. Ленингр. ун-та, 1976, № 1, с. 97 - 103.
4. Фирсов А.Н. Решение задачи Коши для нелинейного уравнения Больцмана // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 8. - Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1976, с. 22 -37.
5. Маслова Н.Б. Математические методы исследования уравнения Больцмана // Алгебра и анализ. Т. 3, вып. 1. - Л., 1991, с. 3 - 56.
6. Maslova N.B. Nonlinear evolution equations. Kinetic approach. // Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences, vol. 10. - World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1993. - x+193 p.
7. Фирсов А.Н. Моментное представление быстро убывающих функций и его приложения // «Высокие интеллектуальные технологии и инновации в образовании и науке»: Материалы XVII Междунар. науч.-метод. конф. 11-12 февраля 2010 г. Пленарные доклады. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010, с. 114-124.
8. Фирсов А.Н. Метод моментов в теории обобщенных функций и его приложения в задачах системного анализа и управления. Основы теории // НТВ СПб ГПУ, сер. «Информатика, телекоммуникации, управление», вып. 6, 2010. - с. 74-81.
9. Хилле Э., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. - М.: ИЛ, 1962. - 830 с.
10. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973. - 247 с.
11. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. - М.: ИЛ, 1960. - 124 с.
12. Фирсов А.Н. Исследование решений уравнения Больцмана, близких к равновесным : дисс. ... канд. физ.-мат. наук : 01.02.05 : защищена 18.12.1975 : утв. 21.04.1976 // Фирсов Андрей Николаевич. - Л., ЛГУ, 1975. - 129 с.
13. Maslova N.B. Nonlinear evolution equations. Kinetic approach. // Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences, vol. 10. - Singapore: World Scientific Publishing Co., 1993. - 193 p.
14. Маслова Н.Б. Математические методы исследования уравнения Больцмана // Алгебра и анализ. Т. 3, вып. 1. - Л., 1991, с. 3 - 56.
15. Вычислительные методы в динамике разреженных газов. Сборник статей под ред. В.П. Шидловского. - М.: Мир, 1969. - 277 c.
16. Muntz E.R. Rarefied gas dynamics // Ann. Rev. Fluid Mech., v. 21, 1989. - p. 387-417.
17. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. - М.: Наука, 1971. - 288 с.
