CC BY
20
Q1 * - управление по ПИ-закону, Q2* - управление по линии переключения Н, Q3 * - управление по линии переключения V. При моделировании использовались следующие значения параметров объекта управления: k = 0,7; Т = 760 с; Т2 = 1300 с; Т, = 100 °С; О = 15 м3/ч.
с1 ' со
На рис. 6 приведены графики при стабилизации на уровне 80 °С. Использование переключения по линии Н позволяет достигнуть конечного состояния с меньшим энергопотреблением, по линии V - за меньшее время.
В результате моделирования установлено следующее.
Закон управления с коррекцией по Т целесообразно использовать при значительных рассогласованиях е задания с регулируемой переменной, например, при смене режимов теплопотребления с дневного на ночной или - наоборот. При этом обеспечивается лучшее качество регулирования.
ПИ-закон управления целесообразно использовать при незначительных рассогласованиях е задания с регулируемой величиной, например, в режиме погодной коррекции.
список литературы
1. Ливчак, В.И. За оптимальное сочетание автоматизации регулирования подачи и учета тепла [Текст] / В.И. Ливчак // Инженеры по отоплению, вентиляции, кондиционированию воздуха, теплоснабжению и строительной теплофизике (АВОК). -1998. -№ 4. -С. 36-38.
2. Потапенко, А.Н. Вопросы эффективности и особенности развития АСДУ распределенными энергосистемами зданий образовательного назначения [Текст] / А.Н. Потапенко, А.В. Белоусов, Е.А. Потапенко// Энергоэффективность: Опыт, проблемы, решения. -2003. -Вып. 3. -С. 58-67.
3. Электронные регуляторы и электрические средства управления: Каталог. RC.08.E1.50. [Текст]. -М.: ООО Данфосс, 2007.
4. Сергеев, С.Ф. Автоматизация систем теплоснабжения с использованием регулирующего оборудования фирмы «Данфосс» [Текст] / С.Ф. Сергеев, С.И. Смирнов, Л.Д. Зуев// Энергосбережение. -2000. -№ 3. -С. 31-32.
5. Алифанов, О.М. Основы идентификации и проектирования тепловых процессов и систем: Учеб. пособие [Текст] / О.М. Алифанов, П.Н. Вабищевич, В.В. Михайлов [и др.]. -М.:Логос, 2001. -400 с.
6. Потапенко, А.Н. Автоматизированное управление процессом централизованного теплоснабжения распределенного комплекса зданий с учетом моделирования этих процессов [Текст] / А.Н. Потапенко, Е.А. Потапенко, А.С. Солдатенков, А.О. Яковлев// Изв. вузов. Проблемы энергетики. -2007. -№ 7-8. -С. 120-134.
УДК 517.958:5
о свойствах решений
для «мягких»
Поведение решений уравнения Больцмана
¿=0 = /(х, и) Е^ = Е (1)
при больших значениях времени рассматривается в большинстве серьезных исследований этого объекта. Фактически, еще Больцман высказывал соображения о возможности быстрой релаксации произвольной начальной функции распределения к равновесной. Такого вывода придерживаются и сейчас многие физики, хотя используемые ими доказательства весьма далеки от математического совершенства. Впервые серьезный анализ этих вопросов был проведен Карлеманом еще
А.Н. Фирсов уравнения больцмана
потенциалов
в 30-х гг. ХХ в., а затем лишь через 30 лет продолжен уже многими исследователями. Достаточно полный обзор полученных результатов содержится в [1, 2]. В интересующем нас аспекте суть их состоит в том, что для решения Е (х, и, t) задачи (1) справедливо неравенство вида
N(Е - Ем) < Ср^), (2)
где N - подходящая норма в пространстве функций, зависящих от скорости и и радиус-вектора х (так что N0 - функция, зависящая от времени t); С0 - постоянная, зависящая, вообще говоря, от начального распределения Е0(х,и); Ем = От(М)-
4
Системный анализ и управление
максвелловское распределение; поведение функций р(Х) существенно зависит, с одной стороны, от класса функциональных пространств, в которых ищется решение, а, с другой, - от свойств оператора столкновений Q(F, F), характеризующихся предположениями о виде потенциала межмолекулярного взаимодействия.
Для «жестких» «обрезанных по углу» потенциалов U ~ г -, k > 4 задача исследовалась очень активно; основной результат состоит в том, что функция p(t) в (2) стремится к нулю при бесконечном возрастании времени t либо как степенная, либо как экспонента в зависимости от степени гладкости по координатам начального распределения, ограниченности (или нет) пространственной области и скорости убывания F0(x, и) при |и| ,| х| ^да. Представленные результаты хорошо известны [1-4].
Существенно беднее набор фактов, касающихся случая «мягких» (также обрезанных по углу) потенциалов U ~ г-, 2 < k < 4 Здесь имеются результаты Кэфлиша [5], при получении которых полагалось, что, во-первых, имеет место ситуация так называемого «ящика Грэда» с зеркально отражающими стенками (т. е. рассматривается класс периодических по координатам решений), а, во-вторых, начальная функция распределения достаточно гладкая и разность F - FM экспоненциально быстро (по скорости) убывает; кроме того, речь идет лишь о слабом решении уравнения (1).
Поскольку далее мы будем рассматривать ситуации, близкие к равновесным, то, как обычно,
-1
вместо функции F используем f = FM 2 (F - FM). Уравнение (1) перейдет в
У + u £ = L( f) + у(| и| )Г( f, f); У=о = У(x, u)
(3)
(обозначения общепринятые: см., например, [1, 2]).
Результат (2) в терминах функции У имеет вид:
N (У) < Нх{ У о) ра), (4)
где N1 - норма, в общем случае отличная от нормы N (свойства решения У, вообще говоря, ухудшаются по сравнению со свойствами начальной функцииУ см. упомянутую выше работу Кэфлиша), а р(0 ^ 0 при t ^ да .
Характерной особенностью всех результатов, о которых шла речь, является равномерная по начальному распределению эволюция решения к равновесной функции распределения; иными словами, «долго живущие» начальные распределения отсутствуют.
Для дальнейшего исследования введем следующее определение. Назовем абсолютной степенью неравновесности задачи Коши для уравнения (3) величину
ц = Нтвирш ^ ^ (У)/ N (Уо)],
Т-^да У 0<t<Т
где У есть решение задачи (3), соответствующее начальному распределению У
Результат (4) означает, следовательно, что ц = 0.
Переход к «мягким» потенциалам и ослабление условий, налагаемых на У, принципиально меняют картину асимптотического поведения решений уравнения (3).
Теорема. В случае обрезанных по углу степенных потенциалов межмолекулярного взаимодействия вида и ~ г-к, 2 < к < 4, для каждого е > 0 и каждого Т > 0 существует начальное распределение У0 £ L2(х,и), такое, что для соответствующего решения У(х,и, t) задачи (3) имеет место неравенство
ш£ ^(/)/N(У0)]у 1 -8 .
Здесь N (У) означает норму У в L2( х, и).
Таким образом, ц = 1 и, следовательно, существуют «долго живущие» начальные возмущения.
Ядром доказательства этой теоремы являются свойства решений соответствующей линеаризованной задачи
Цт = А(У); У=0 = У(х,и),
(5)
д
где А = -и--+ L ;
дх
L = К - V ; V = у( и). Лемма 1. Оператор А с областью определе-
Б( А) = \У (х, и, ^)
У I
У,и(—— £ L2(х,и)Уt у 01 ЙТ. I
порождает в L2(х, и) сжимающую полугруппу линейных ограниченных операторов {Т(/), t у 0} класса С0 (терминология соответствует принятой
в [у]). а
Доказательство. Оператор А = Iи— сайг
мосопряжен на Ах) = Б(А) и, следовательно [6, п. Х.8], оператор А порождает сжимающую полугруппу класса С0. Так как в условиях теоремы оператор L оказывается ограниченным, самосопряженным, диссипативным, О(Ь) з О(А) и
||1(ф)||<а||/А(ф)|| + И
|-|| — Л-| сЬЛи
для сколь угодно малого числа а, то, согласно лемме из п. Х.8 книги [6], оператор А = /А1 + L
ния
порождает сжимающую полугруппу {Т (?)} класса С0, т. е. уравнение (5) с / е О(Л) имеет единственное решение / е В(А):
/ = Т(?)./0; ||Т(?)|| < 1. (6)
Лемма доказана.
Лемма 2. 0 е ст(А) - спектр оператора А.
Доказательство. Покажем, что X = 0 является точкой существенного спектра оператора А, т. е. существует ограниченная некомпактная последовательность /п е Б(А), удовлетворяющая условию " Нш(А - ХЕ) / = 0.
Пусть &п > 0 и &п ^ 0, монотонно убывая; пусть числа Еп > 0 таковы, что у(Е,п) = еп (такие Еп существуют в силу монотонного стремления к нулю частоты столкновений у(|и|) при \и\ ^ с для «мягких» потенциалов; в частности ^ 0 , монотонно возрастая). Пусть далее Пп - ограниченная область в Я1, находящаяся целиком вне сферы радиусом Еп с центром в начале координат
и такая, что | |и|2^ < 1.
п
п
Пусть теперь {уп (и)} - последовательность функций, финитных областях Пп в Я^, с носителями, лежащими в соответствующих областях Пп, и ортонормированная в Ь2(и) (ортогональности можно добиться, например, выбирая непересекающиеся области Пп). Положим далее
юп(х) = 2 2(пп) 4ехр -|х|2 /(2п)
Отметим, что Уп слабо сходится к нулю в Ыи), а
J\Wn(x)\ dx = 1; J
дю.
дх,.
dx ^ 0
Положим, fn = vn(u)a(x). Очевидно, {fn}-ортонормированная последовательность в L2(x, u).
Оценим
M( fn )|| ^
vu-
dan
дх
+ lluv а II + ||ю K(v )||
n n n v n /
где • - норма в L2(x,u). С учетом выбора функций vn, an областей Qn и чисел en и получаем И fn )|| ^ 0, n
Лемма доказана.
Следствие 1. ||T(t)|| = 1
Доказательство. По теореме 16.3.1. и лемме 16.3.2 из [7] имеем ||Г(*)|| > sup |ехр(Л,)|.
Хеа(А)
Но, согласно, лемме 2, 0 е а(И) и, следовательно, ||T(t)|| > 1. С другой стороны, по лемме 1, ||T(t)|| < 1, следовательно, ||T (t )|| = 1.
В силу (6) для линеаризованного уравнения (5) справедливо утверждение основной теоремы. Доказательство основной теоремы для нелинейного (но близкого к равновесию) случая опирается на технику, развитую в [3, 8], и установленные выше свойства решений уравнения (5).
Замечание. Для пространственно однородного линеаризованного уравнения формулировка основного результата несколько видоизменится: для полугруппы ||T(t)|| = exp(tL), порождаемой ограниченным (для «мягких» потенциалов) оператором L , имеет место представление
T(t) = \ dEx + i PVJ, (7)
n(L)\{0} J=0
где PV - проекторы на одномерные подпространства аддитивных инвариантов .
Обозначим первое слагаемое в правой части (7) через T (t). Тогда
f = T± (t) f + i a VJ.
J=0
Аналогично изложенному выше легко показать, что ||Т (t )|| = 1.
список литературы
1. Гринберг, У. Теоремы существования в целом решения уравнения Больцмана [Текст] / У Гринберг, Я. Полевчак, П.Ф. Цвайфель // Неравновесные явления: Уравнение Больцмана. -М.:Мир, 1986. -С. 29-58.
2. Маслова, Н.Б. Теоремы о разрешимости нелинейного уравнения Больцмана: Доп. II [Текст] / Н.Б. Маслова // К. Черчиньяни. Теория и приложения уравнения Больцмана. -М.:Наука, 1978. -С. 461-480.
3. Маслова, Н.Б. О решении «в целом» задачи Коши для нелинейного уравнения Больцмана [Текст]/ Н.Б. Маслова, А.Н. Фирсов // Тр. Всесоюз. конф. по уравнениям с частными производными. -М.:Наука, 1978. -С. 376-377.
4. Фирсов, А.Н. Об одной задаче Коши для нели-
нейного уравнения Больцмана [Текст] / А.Н. Фирсов
// Аэродинамика разреженных газов. -Л.:ЛГУ, 1976. -С. 22-37.
5. Caflich, R.E. The Boltzmann equation with a soft potential [Текст] / R.E. Caflich// Commun. Math. phys. -1980. -Vol. 74. -P. 71-95.
6. Рид, М. Методы современной математической физики [Текст] / М. Рид, Б. Саймон. -М.:Мир, 1978. -Т. 2.
7. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы [Текст] / Э. Хилле, Р. Филлипс. -М.:Изд-во иностр. лит., 1962.
8. Маслова, Н.Б. Решение задачи Коши для уравнения Больцмана I. Теорема существования и единственности [Текст] / Н.Б. Маслова, А.Н. Фирсов // Вестн. ЛГУ -1975. -№ 19. -С. 83-88.
n
