CC BY
53
УДК 531.32
О.А. Васильева, С.А. Духновский
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
УСЛОВИЕ СЕКУЛЯРНОСТИ КИНЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КАРЛЕМАНА
Рассмотрена дискретная кинетическая модель одномерного разреженного газа, состоящего из одинаковых одноатомных молекул, которые могут иметь одну из двух скоростей, а именно, задача Коши для системы уравнений Карлемана с периодическими начальными условиями. Рассматриваемая математическая модель обладает рядом основных свойств, присущих уравнению Больцмана, что объясняет важность ее исследования. При некоторых достаточно общих предположениях, найдено условие секулярности системы уравнений Карлемана.
Ключевые слова: уравнение Больцмана, уравнение Карлемана, газовая динамика, конечномерная аппроксимация, локальное равновесие, квазилинейное гиперболическое уравнение, условие секулярности.
Одним из основных уравнений, описывающих задачи кинетической теории разреженных газов, является уравнение Больцмана [1, 2]. Феноменологический вывод уравнения Больцмана для разреженного одноатомного газа приведен в [2] для модели с конечным числом скоростей. Для газа, состоящего из одинаковых одноатомных молекул, имеющих одну из N различных скоростей ci, i = 1, 2, ..., N, уравнение Больцмана имеет вид [2] dn
+ (^, Vn) = Есh (nn -ninj) (1)
где n(t, x, y, z) — плотность частиц газа, имеющих скорость ci = (сх , c^ , cz i = 1, 2, ..., N, постоянные сри пропорциональны вероятности того, что в результате столкновения двух молекул со скоростями ck, cl эти молекулы приоб-
— — И kl
ретают скорости ci и cj, при этом выполнены соотношения сJkl = с^.
Дискретные кинетические модели для различного числа скоростей N = 2, 3, 4 (модели Карлемана, Годунова — Султангазина, Бродуэлла) рассмотрены в [3—15]. Указанные модели включают в себя характерные особенности уравнения Больцмана (1), это объясняет важность их исследования.
В работе рассмотрена кинетическая модель Карлемана для одномерного разреженного газа, состоящего из одноатомных молекул, имеющих одну из двух скоростей c— = (1,0, 0) и С2 = (-1,0, 0). Для исследования системы применяется метод Фурье. Найдены условия секулярности для системы Карлемана.
Рассмотрим задачу Коши для системы уравнений Карлемана [3, 7—9, 13, 15].
dtu + dxu = — (w2-u2), t > 0, x e R, dtw-dxw = -—(w2-u2), (2)
с периодическими начальными условиями
u 11=0= u0(x), w U = w0(x), u0(x) = u0(x + 2я), w0(x) = w0(x + 2n), (3)
где и(^, х), х) — плотности молекул, имеющих скорости с1 = (1,0, 0) и с2 = (-1,0, 0) соответственно; е <<1 — коэффициент, соответствующий числу Кнудсена в кинетической теории.
Представим решение системы (2), (3) в виде
и =и +8
-2 (^ )1/2 и, М = М +82 (ме )1/2 ММ. (4)
Подставляя выражение (4) в (2), (3), получим систему уравнений для возмущений
2
д1и + дхи — Ме (ММ -и) = е^У2 (ММ2 - и2);
2 (5)
дtММ - дхММ +—ме (ММ - и) = -ем^2 (ММ2 - и2),
с периодическими начальными условиями
и |<=0 = и0(х), й |/=о = й0(х). (6) Для системы уравнений (6) выполняется следующий закон сохранения [7]:
дг (и + ММ) = дх (ММ -и) (7)
Для построения конечномерной аппроксимации разложим функции
, х), , х) в ряд Фурье по переменной х (ил^, х), , х) являются периодическими функциями с периодом 2р).
и(Г, х) = £ и к )ек, W(t, х) = £ , г = {к = 0, ± 1, ±2, ...}.
кeZ кeZ
Тогда из закона сохранения (7) получаем уравнение для коэффициентов Фурье
дик +1кик =-(дМк -^к).
Решая, получаем следующее решение:
ик = -+(и°к + )е-к + 2к|е*()йк (s)ds,
и0 + М0 = 0, к = 0.
Здесь мы предполагаем, что при к = 0 выполнено условие
и0 + М0 = 0.
Запишем второе уравнение системы (5) через коэффициенты Фурье: 2
д Мк - 1кМк +8 М ( Мк - и к ) = 8МУ2 Е (и к- Мк)( Мк2 + ик2 ).
Далее, подставляя (8) в данное уравнение, находим М0:
4еЧ1/2^ 1 -е^М"j^ + 2ейУ2}е^(й) + 2В0(й, й)). где d о = Е(и0+ й0)(и-к+ к);
йо = 48
4(w) = ZI -К ( + < ) J () w^ (s)ds + ik J ek () w^ (s)ds - wK
k *0 |
V o
*К + О};
* ( * \
в0 (У у) = X"С | е-к(- * ) ^ (s)ds | ек () у № - у
К Ф0 о V о
Для нахождения при к Ф 0 получаем следующую систему дифференциальных уравнений
^ 1 1 *
dt
dw, - ikw, + 4w 1 wk - 4ikw 1 fek(* *)w
k k e k el
rit с с J
= wf1 dke-ik - ewfTkadd (w) + ewf (2lk (w) + 4Bk (w)), e
со следующим начальным условием wk |*=0 = ,
' t Л
(9)
где Tkadd (w) = 2w,
(u0 + w0) e-kt + 2ik J eik (s-t )wk (s)ds
0
/
..0 \/„.0
dk = 2w,2 ( + Wk0 ) + 62 X ( + Ok + w^
¿1 + ¿2 = k, k # 0, ¿2 # 0
't (W) = £ I ¿2 (0 + < )Je^'-''Wk2 (*)ds +
' ^0 [ 0
' i ^ 1
k Je-^w^ds - w, ( + < )e-'k2 I;
k, #0 | /
+
V 0 J J
i / i Bk (w w)= £ ik2 Je*2(s-i)wk2 (s)ds ik, Jeik(s-i)wk,(s)ds - Wk
Л
к + = к, к к^2 о ^ 0 У
Теперь перейдем к нулевым начальным данным задачи Коши с помощью замены
(10)
w(t) = w°V ^ + ук (t).
Данное выражение (10) представляет собой убывающую дисперсионную волну ^(<х>) ^ 0.
Подставляя (10) в (9) и переходя к конечномерной аппроксимации для линеаризованной задачи, будем иметь
Тк (у(кт> ) = ^Ук] - Мт> + 4^ - уГ - -\e*(■s-t■>y(■,;")ds =
= W2-D(k т} + e 4 w * 'ft(t) +
(11)
Am% A* Uc|*|=1, m,
ВЕСТНИК
МГСУ-
7/2015
где
т) = 2м12
(и0+М )■
¡к
¡к - 2м
Iм
8 У
+8
Е
(к 1+ Х |,к^тк2#
V
(и0 + М )-
¡к
1 мО
¡к1 - 2 м
1 ^
8 У
(и0 + Мк02 )
¡к
2 о 2 ММ0
¡к2 - 2мме
В,
(т)
( *
к + к2 = к, к, ¿2 ^ 0, о
|к|, к |, к\<т
1
8 У
Л
(Ат), Ат)) = Е к1е-42 (^у«ds к1е*к^у{т)ds - у<т)
V о
#)(укт))=4т)( укт))-
+
Е
¡*|+к1|,|к2|<тк2 # ( *
1 ¡к,
2 О
2 М
^ ^ к -4ме 1 I*
2 iк2 - 2ме 1 8
- е
-кл
Л *
/к11е^(^)укт)ds - укт) + /к21е,к2(^)укт)ds х
V о (
1 ¡к
( ( к-4 1 I*
2-1М к
¡к1 - 2Мг -8
- е
-к*
Л(я°а) = --
1 + 4й1/28 Е
1 е к е /
¡к - 2м
1 11 ' | 1 ¡к<т
1 ¡к.
' ¡к^ - 2м
2 е
^г й? е'^ х
1 *2
1 ¡к
1 м
^ ^к-4м
' i к1 - 2ме
^ I 1 к
8
- е
- м е
к
1 ¡¿.
2 ¡к2 - 2ме е
2 М е^е^ х
1 к
1 о о
М - М
' /■ к - 2ме
V
Г
1 "к "к 8
2м128 Е
к| + к\ 'к^т
I и о + М) е-"1'1-< е*2 +
/■ к2 - 2ме —
(и к + М ) е
Л
1 ¡К о о
2-т М - М
гкл - 2м —
1е
^ (< + < ) e-Л2'
х
X
Sm) I _
= 0,
(12)
Решение системы (11) ищем в виде
у(т) = в(^ ()+ Т- (^т) ) ,
где Qm — векторное пространство Qm = ^т), Щ ^ m, к Ф 0).
Подставляя (12) в (11) получаем уравнение для нахождения условия секу-лярности:
m) - L,;/2
1
wT- Djrm - Q
(m) s>—k
+
ftm)(t)
-4 we-t
e E +
+
+ew1/2 (2L(mm {e-'kt)) + 2L{mm ( (т))) -
+4Bfm (T;1 {e-'k) + T- (т)),Q[mT- {e-kt) + T- {z[m)))). Отсюда находим секулярные члены
Qkm'=w/21 Dm '+w2 ^
К+ w y
ik1
w.
2w
-Q'C' + '
( k2 k2 ^
ik
ik - 2w
1 e
w
1k1
ik2 - 2we
2w
Исследуемая система (2), (3) является квазилинейной системой гиперболических уравнений. В общем случае не существует аналитического решения рассматриваемой системы [20]. Поэтому для исследования решения системы большое значение имеет построение ее конечномерной аппроксимации. Полученная конечномерная аппроксимация позволяет проводить теоретические исследования решения задачи Коши для системы уравнений Карлемана с малыми числами Кнудсена. Получено условие секулярности для задачи Коши системы уравнений Карлемана с периодическими начальными условиями.
Библиографический список
1. Больцман Л. Избранные труды / отв. ред. Л.С. Шлак. М. : Наука, 1984. 590 с. (Классики науки)
2. Годунов С.К., Султангазин У.М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // Успехи математических наук. 1971. Т. 26. Вып. 3 (159). С. 3—51.
3. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов / пер. с франц. В.-К.И. Карабегова ; под ред. Н.Н. Боголюбова. М. : ИИЛ, 1960. 118 с.
4. Радкевич Е.В. О дискретных кинетических уравнениях // Доклады Академии наук. 2012. Т. 447. № 4. С. 369—373.
5. Radkevich E.V. The existence of global solutions to the Cauchy problem for discrete kinetic equations // Journal of Mathematical Science. 2012. Vol. 181. No. 2. Pp. 232—280.
6. Радкевич Е.В. О поведении на больших временах решений задачи Коши для двумерного кинетического уравнения // Современная математика. Фундаментальные направления. 2013. Т. 47. С. 108—139.
Б
Б
7. Васильева О.А., Духновский С.А., Радкевич Е.В. О локальном равновесии уравнения Карлемана // Проблемы математического анализа. 2015. Т. 78. С. 165—190.
8. Radkevich E.V, Vasileva O.A., Dukhnovskii S.A. Local equilibrium of the Carleman equation // Journal of Mathematical Science. 2015. Vol. 207. No. 32. Pp. 296—323.
9. Васильева О.А. Численное исследование системы уравнений Карлемана // Вестник МГСУ 2015. № 6. С. 7—15.
10. Broadwell T.E. Study of rarified shear flow by the discrete velocity method // J. of Fluid Mechanics. 1964. Vol. 19. No. 3. Pp. 401—414.
11. Ильин О.В. Стационарные решения кинетической модели Бродуэлла // Теоретическая и математическая физика. 2012. Т. 170. № 3. С. 481—488.
12. Аджиев С.З., Амосов С.А., Веденяпин В.В. Одномерные дискретные модели кинетических уравнений для смесей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. № 3. С. 553—558.
13. Ильин О.В. Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы Карлемана // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 12. С. 2076—2087.
14. Aristov V., Ilyin O. Kinetic model of the spatio-temporal turbulence // Phys. Lett. A. 2010. Vol. 374. No. 43. Pp. 4381—4384.
15. Illner R., ReedM.C., Neunzert H. The decay of solutions of the Carleman model // Math. Methods Appl. Sci. 1981. Vol. 3 (1). Pp. 121—127.
16. Aristov V.V. Direct methods for solving the Boltzmann equation and study of non-equilibrium flows. Kluwer Academic Publishing, 2001. 312 p.
17. Радкевич Е.В. Математические вопросы неравновесных процессов. Новосибирск : Изд. Т. Рожковской. 2007. 300 с.
18. Radkevich E.V. The existence of global solutions to the Cauchy problem for discrete kinetic equations (non-periodic case) // Journal of Mathematical Science. 2012. Vol. 184. No. 4. Pp. 524—556.
19. Фриштер Л.Ю. Анализ напряженно-деформированного состояния в вершине прямоугольного клина // Вестник МГСУ 2014. № 5. С. 57—62.
20. Euler N., Steeb W.-H. Painleve test and discrete Boltzmann equations // Aust. J. Phys. 1989. Vol. 42 (1). Pp. 1—10.
Поступила в редакцию в апреле 2014 г.
Об авторах: Васильева Ольга Александровна — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, vasiljeva.ovas@yandex.ru;
Духновский Сергей Анатольевич — аспирант кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, sergeidukhnvskijj@rambler.ru.
Для цитирования: Васильева О.А., Духновский С.А. Условие секулярности кинетической системы Карлемана // Вестник МГСУ 2015. № 7. С. 33—40.
O.A. Vasil'eva, S.A. Dukhnovskiy
SECULARITY CONDITION OF THE KINETIC CARLEMAN SYSTEM
The kinetic theory of gases is considered as a collection of a large number of interacting particles. We consider the discrete kinetic model of one-dimensional gas consisting of identical monatomic molecules, which can have one of two speeds, namely, the
Cauchy problem with periodic initial conditions for the system of the Carleman equation. This mathematical model has a number of properties of the Boltzmann equation. This system of equations is a quasi-linear hyperbolic system of partial differential equations. In general, there is no analytic solution for this system. Therefore, under some general assumptions we can find the finite-dimensional approximation of the solutions for the Carleman equation with small Knudsen numbers that allow us to study our problem on the widest scale. Moreover, we can find the secularity condition of the Carleman model. An approximation solution of the Carleman equation for non-periodic initial data will be found in the next article.
There is an interesting problem of the existence of the shock waves connecting the pairs of equilibrium states. Here we have a catastrophe theory. It is assumed that the solutions of the Cauchy problem split into the superposition of weakly interacting solitons and decreasing dispersive waves. The Cauchy problem of the Carleman equation is studied for small perturbations of the equilibrium state whereby we have perturbed system. In order to construct the finite-dimensional approximation we use the Fourier method. Construction of finite-dimensional approximation allows doing theoretical studies of solutions for the Cauchy problem of the Carleman equation with small Knudsen numbers.
Key words: Boltzmann equation, Carleman equation, gas dynamics, finite-dimensional approximation, local equilibrium, quasi-linear hyperbolic equation, secularity condition.
References
1. Boltzmann L. Izbrannye trudy [Selected works]. Moscow, Nauka Publ., 1984, 590 p. (Classics of Science) (In Russian)
2. Godunov S.K., Sultangazin U.M. O diskretnykh modelyakh kineticheskogo uravneniya Bol'tsmana [On Discrete Models of the Kinetic Boltzmann Equation]. Uspekhi Matematicheskikh Nauk [The Success of Mathematical Sciences]. 1971, vol. 26, no. 3 (159), pp. 3—51. (In Russian)
3. Karleman T. Matematicheskie zadachi kineticheskoy teorii gazov [Mathematical Problems of the Kinetic Gas Theory]. Translated from French. Moscow,IIL Publ., 1960, 118 p. (In Russian)
4. Radkevich E.V. O diskretnykh kineticheskikh uravneniyakh [On Discrete Kinetic Equations]. Doklady Akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences]. 2012, vol. 447, no. 4, pp. 369—373. (In Russian)
5. Radkevich E.V. The Existence of Global Solutions to the Cauchy Problem for Discrete Kinetic Equations. Journal of Mathematical Science. 2012, vol. 181, no. 2, pp. 232—280. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s10958-012-0683-9.
6. Radkevich E.V. O povedenii na bol'shikh vremenakh resheniy zadachi Koshi dlya dvumernogo kineticheskogo uravneniya [The Behavior of Solutions of the Cauchy Problem at Large Times for Two-Dimensional Kinetic Equation]. Sovremennaya matematika. Fundamental'nye napravleniya [Contemporary Mathematics. Fundamental Directions]. 2013, vol. 47, pp.108—139. (In Russian)
7. Vasil'eva O.A., Dukhnovskiy S.A., Radkevich E.V. O lokal'nom ravnovesii uravneniya Karlemana [On Local Equilibrium of the Carleman Equation]. Problemy matematicheskogo analiza [Problems of Mathematical Analysis]. 2015, vol. 78, pp. 165—190. (In Russian)
8. Radkevich E.V., Vasileva O.A., Dukhnovskii S.A. Local Equilibrium of the Carleman Equation. Journal of Mathematical Science. 2015, vol. 207, no. 32, pp. 296—323.
9. Vasil'eva O.A. Chislennoe issledovanie sistemy uravneniy Karlemana [Numerical Investigation of the Carleman System]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 6, pp. 7—15. (In Russian)
10. Broadwell T.E. Study of Rarified Shear Flow by the Discrete Velocity Method. J. of Fluid Mechanics. 1964, vol. 19, no. 3, pp. 401—414. DOI: http://dx.doi.org/10.1017/ S0022112064000817.
11. Il'in O.V. Statsionarnye resheniya kineticheskoy modeli Broduella [Stationary Solutions of the Kinetic Broadwell Model]. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika [Theoretical and Mathematical Physics]. 2012, vol. 170, no. 3, pp. 481—488. (In Russian)
12. Adzhiev S.Z., Amosov S.A., Vedenyapin V.V. Odnomernye diskretnye modeli ki-neticheskikh uravneniy dlya smesey [One Dimensional Discrete Models of Kinetic Equations for Mixtures]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics]. 2004, vol. 44, no. 3, pp. 553—558. (In Russian)
13. Il'in O.V. Izuchenie sushchestvovaniya resheniy i ustoychivosti kineticheskoy siste-my Karlemana [Investigating the Existence of Solutions and Stability of Carleman Kinetic System]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics]. 2007, vol. 47, no. 12, pp. 2076—2087. (In Russian)
14. Aristov V., Ilyin O. Kinetic Model of the Spatio-Temporal Turbulence. Phys. Let. A. 2010, vol. 374, no. 43, pp. 4381—4384. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.physleta.2010.08.069.
15. Illner R., Reed M.C., Neunzert H. The Decay of Solutions of the Carleman Model. Math. Methods Appl. Sci. 1981, vol. 3 (1), pp. 121—127. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/ mma.1670030110.
16. Aristov V.V. Direct Methods for Solving the Boltzmann Equation and Study of Non-equilibrium Flows. Kluwer Academic Publishing, 2001, 312 p.
17. Radkevich E.V. Matematicheskie voprosy neravnovesnykh protsessov [Mathematical Problems of Nonequilibrium Processes]. Novosibirsk, T. Rozhkovskaya Publ., 2007, 300 p. (In Russian)
18. Radkevich E.V. The Existence of Global Solutions to the Cauchy Problem for Discrete Kinetic Equations (Non-Periodic Case). Journal of Mathematical Science. 2012, vol. 184, no. 4, pp. 524—556. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s10958-012-0879-z.
19. Frishter L.Yu. Analiz napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya v vershine pryamougol'nogo klina [Analysis of Stress-strain State on Top of a Rectangular Wedge]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 5, pp. 57—62. (In Russian)
20. Euler N., Steeb W.-H. Painleve Test and Discrete Boltzmann Equations. Aust. J. Phys. 1989, vol. 42 (1), pp. 1—10. DOI: http://dx.doi.org/10.1071/PH890001.
About the authors: Vasil'eva Ol'ga Aleksandrovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; vasiljeva.ovas@yandex.ru;
Dukhnovskiy Sergey Anatol'evich — postgraduate student, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; sergeidukhnvskijj@rambler.ru.
For citation: Vasil'eva O.A., Dukhnovskiy S.A. Uslovie sekulyarnosti kineticheskoy sistemy Karlemana [Secularity Condition of the Kinetic Carleman System]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 7, pp. 33—40. (In Russian)
