Об одной обратной задаче для уравнения Максвелла-Больцмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

Об одной обратной задаче для уравнения Максвелла-Больцмана

Дмитрий Г.Орловский*

Московский инженерно-физический институт, Каширское ш. 31, Москва, 115409,

Россия

Получена 18.05.2009, окончательный вариант 20.06.2009, принята к печати 30.06.2009 Рассмотрена обратная задача для уравнения Максвелла-Больцмана в ограниченной области трехмерного пространства. Получена теорема существования и единственности слабого и сильного решений. Изучение задачи проводится на основе теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с применением теории сильно непрерывных полугрупп.

Ключевые слова: обратная задача, банахово пространство, полугруппа, слабое решение.

Пусть в пространстве Д3 задана ограниченная выпуклая область П с достаточно гладкой границей дП. Для функции и = м(ж, ^,£), где х = (х1,х2,хз) € П, V = (VI ,«2,«з) € Д3, £ ^ 0, рассмотрим уравнение Максвелла-Больцмана

ди _ _

— + (V, Ужи) + (а, и) =

д£

= I ^ „Xх, + ^.м), (1)

К3

где

а(х,„) = — ( Е(х) +-----[„,Д(х)1 ) . (2)

т \ с у

С точки зрения приложений уравнение (1) описывает поведение распределения электронной компоненты плазмы, занимающей область П. Величины е и т имеют соответственно смысл заряда и массы электрона, с - скорость света, а вектор-функции Е(х) и В(х) представляют собой напряженность электрического и индукцию магнитного полей, функция ^(х, „) носит название частоты столкновений.

В классической постановке для уравнения (1) задаются начальные и граничные данные

и(х, V, 0) = ио(х,„), х € П, х € Д3, (3)

и(х,„,£)=0, х € дП, („,пх) < 0, (4)

где пх - единичная внешняя нормаль к границе области П в точке х.

Предположим, что в уравнении (1) функция ^ (плотность источников) неизвестна, но имеет следующую структуру:

^(х, V, £) = /(х, V, £)^(£) + #(х, V, £), (5)

* e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

причем функции / и д известны. Для определения неизвестной функции Н рассмотрим дополнительную информацию:

/ ^ <6>

ПхК3

Таким образом, необходимо найти пару функций (и, Н), удовлетворяющую соотношениям

(1)—(6). Поставленная задача относится к категории обратных задач для уравнений математической физики. Обзор различных постановок обратных задач и относящихся к ним результатов можно найти в [1—9]. Для уравнения Больцмана обратная задача была впервые рассмотрена в [10,11].

Теорема 1. Пусть Е, В € С1 (П), ио € Ьр(П х Д3), функция V непрерывна и ограничена в П х Д3, функция ш непрерывно дифференцируема и финитна в П х Д3, функция <р € С1 [0, Т], функции

/,д € С ([0, Т], ЬР(П х Д3)), р> 1,

конечны величины

С1 = вир / |К(ж,«,«')|^«' х,у д3

Й (7)

с2 = вир / |К(ж,V,«')|^«,

х,у' д3

выполнено условие согласования

J ио(ж, «)ш(ж, «)йжй« = у>(0) (8)

ПхД3

и, кроме того, при всех £ € [0, Т]

J /(ж, V, £)ш(ж, «)^жй-у = 0. (9)

Пхд3

Тогда существует и единственно (обобщенное) решение обратной задачи (1)-(6) в классе

и € С ([0,Т], ЬР(П х Д3)), Н € С[0,Т].

Доказательство. Рассмотрим сначала прямую задачу (1)—(4). Мы будем трактовать уравнение (1) как абстрактное дифференциальное уравнение в банаховом пространстве

Х = Ц(П х Д3)

и будем рассматривать и как функцию переменной £ со значениями в X. Полагая

Аи = — («, Ухи) — (а, и) + J Ки^« ' — vu,

я3

получим уравнение

и' (£) = Аи(£) + ^ (£), (10)

где ^ представляет функцию ^, рассматриваемую как функцию переменной £ со значениями в X. Краевое условие (4) при операторном подходе к дифференциальным уравнениям

принято включать в область определения оператора А (описание этой области определения будет дано позже). Начальные данные «о(х) также трактуются как элемент пространства X, и условие (3) принимает следующий вид:

«(0) = «о- (11)

Таким образом, прямая задача (1)—(4) с точки зрения дифференциальных уравнений в

банаховом пространстве записывается в форме (10)—(11). Для решения задачи (10)—(11)

воспользуемся теорией полугрупп. Для этого необходимо установить, что оператор А является генератором сильно непрерывной полугруппы. Этот оператор можно разбить в сумму неограниченной и ограниченной составляющих А = Аі + А2, где

Аі« = — («, Ухи) — (а, и), (12)

А2м = J Ки^-у ' — V«. (13)

я3

Вопрос о порождении оператором Аі сильно непрерывной полугруппы был рассмотрен в работах [12, 13]. Эта полугруппа представляет собой операторы сдвига вдоль характеристик уравнения (1), которые являются решением системы

= — П

(14)

Л = —а(£’’'> ■

Решение системы (14), отвечающее данным Коши

£(0) = х , п(0) = V,

обозначим через £(і; х, «), п(і х, «). Тогда полугруппа Т(і), порожденная оператором Аі, действует по формуле

{«(£(і; х,«), п(і; х,«)), £(і; х, «) Є О ,

п ^ „о

0 , £(і; х,«) Є О ■

Область определения .О(Аі) оператора Аі состоит из всех функций « Є Ьр(О х Д3), для

которых почти при всех (х, «) Є О х Д3 существует правая производная вдоль характеристик

¿«+ . , и(£(і; х, «),п(і; х, «)) — и(х,«)

—— (х, «) = Ііт ^ ' > //-.

¿і і—>0+0 і

Эта производная также принадлежит пространству Ьр(О х Д3), а сама функция и удовлетворяет граничному условию (4). При этом действие генератора полугруппы совпадает с правой производной вдоль характеристик

А« = —— ■

¿і

Таким образом, дифференциальное соотношение (1) остается в силе при замене его на абстрактный аналог, если выражение

— («, Ухи) — (а, «)

понимать как производную вдоль характеристик.

Рассмотрим оператор А2. Он является суммой двух операторов

А2і : и(х,«) —> J К(х,«,«7)«(х, V7, і)й-у7,

(ж, V, V )и(ж, V , !)«« я3

А22 : и(ж, V) —> V(ж^)и(ж, V).

Из условий (7) следует, что оператор А21 ограничен в пространстве X (см., например, [14]), причем

- 1- -11А21Н < С- С2 - .

Для ограниченности оператора А22 в X достаточно, чтобы функция и была измерима и ограничена в П х Д3, что следует из условий теоремы 1. Таким образом, оператор А2 ограничен как сумма ограниченных операторов.

По известной теореме о возмущении полугрупп (см., например, [15]) отсюда следует, что оператор А с областью определения .О (А), совпадающей с областью определения оператора А1 , также является генератором сильно непрерывной полугруппы, которую мы обозначим V(£).

Рассмотрим прямую задачу в абстрактной формулировке (10), (11). Из теории полугрупп известно, что если функция Т удовлетворяет условию Т € С([0, Т], X), то формула

г

и(£) = V(£)ио + J V(£ — в)Т(в)^в (15)

о

определяет (единственное) слабое решение и € С([0, Т],Х) задачи (10)—(11).

Перейдем к обратной задаче. В пространстве X рассмотрим функционал, определяемый равенством

ы = / »(..„м*,»>,«,, (М)

ПхЕ'3

Для непрерывности этого функционала достаточно, чтобы функция

ш € Ц(П х Д3), (р-1 + 9-1 = 1).

Это условие выполнено в силу предположений теоремы. Обозначим через Ф(£) оператор умножения на функцию /(ж, v,t) (рассматриваемую при фиксированном £ как функцию переменных ж и V). Этот оператор действует из одномерного пространства Д в банахово пространство X по формуле

Ф(£)Н = / (ж, V, £)Н.

Из условий теоремы следует, что при каждом фиксированном £ функция /(ж^^) € X. Этого достаточно для непрерывности рассматриваемого оператора из Д в X. Более того, операторная функция Ф € С([0, Т], £(Д, X)).

Функцию д^^,^;), рассматриваемую как функцию переменной £ со значениями в X, обозначим через д(£). Согласно условию теоремы 1 функция д € С([0, Т], X).

Используя введенные обозначения, мы можем записать обратную задачу в абстрактном виде:

и ' (£) = Аи(£) + Ф(£)Н(£) + д(£),

и(0) = ио, (17)

Ьи(£) = у>(£).

Лемма 1. Замыкание ЬА является ограниченным функционалом в пространстве X.

Доказательство. Поскольку А = Аі + А2, где А2 - ограниченный оператор в X, то достаточно проверить ограниченность замыкания функционала ЬАі. Так как результатом применения оператора Аі является правая производная вдоль характеристик, то для любой непрерывно дифференцируемой функции « величина Аі« = — («, Ухи) — (а, и). Отсюда

следует, что

ЬАі« = — J («, Ужи)^(х, «)^хй-у — J (а, и)^(х, «)^х^«.

ПхД3 ПхЙ3

Так как функция ш(ж, V) непрерывно дифференцируема и финитна, то после интегрирования по частям получаем

ЬА1“ = / “(ж•v)(v• у“ш)'“'' + / и(ж-1,№'4'(ша)'ь*.

ПхЕ3 ПхЕ3

Полагая Ь(и, V) = (V, Ужш) + (ша), получаем равенство

^ = / u<ж•v>í■<u•v>d“‘v. <18>

ПхЕ3

Из условий теоремы следует, что функция 6(и, V) непрерывна и финитна в П х Д3, следовательно, правая часть равенства (18) является ограниченным функционалом в пространстве X = Ьр(П х Д3), и поэтому

LAiu = J u(x, v)b(u, v)dxdv,

QxR3

что доказывает лемму 1. □

Рассмотрим оператор ЬФ. Непосредственно из определения функционала L и оператора Ф следует, что при каждом фиксированном значении t Є [0, T] оператор ЬФ есть оператор умножения на число

j f (x, v, t)w(x, v)dxdv QxR3

и в силу соотношения (9) при каждом t Є [0, T] произведение ЬФ является обратимым оператором в R (т. е. отождествимо как оператор в R с ненулевым числом), а (ЬФ)-1 как числовая функция переменной t непрерывна на отрезке [0, T]. Кроме того, из условия

(8) следует, что Luo = ^(0). Поэтому для доказательства теоремы 1 достаточно доказать следующую лемму.

Лемма 2. Пусть L и замыкание оператора LA являются ограниченными функционалами в пространстве X, Ф Є C([0, T], L(R, X)), g Є C([0, T], X), ^ Є C 1[0, T]; кроме того, при каждом t Є [0, T] произведение ЬФ является обратимым оператором в R и (ЬФ)-1 как числовая функция переменной t непрерывна на отрезке [0, T], Ьио = ^(0). Тогда существует и единственно решение обратной задачи в классе

u Є C([0,T],X), h Є C[0,T].

Прежде чем перейти к доказательству леммы 2, нам потребуются некоторые свойства полугруппы V(t), связанные с функционалом L. Сформулируем их в виде лемм.

Лемма 3. Для любого элемента uo £ X функция g(t) = LV(t)uo непрерывно дифференцируема и

g' (t) = LAV (t)uo.

Лемма 4. Для любой непрерывной на отрезке [0, T] функции f (t) функция

t

g(t) = l|v(t - s)f(s)ds

o

непрерывно дифференцируема и

g '(t) = LA i V(t - s)f (s)ds + Lf (t).

o

Доказательство леммы 3. Пусть A £ p(A) и ui = (A — AI)-1uo, тогда ui £ D(A) и (V(t)ui)' = V(t)Aui. С другой стороны,

g(t) = LV (t)(A — AI )u1 = LAV (t)u1 — ALV (t)u1,

и поэтому

g ' (t) = LA(V (t)u1)' — AL(V (t)u1)' = LAV (t)Au1 — ALV (t)Au1 =

= LAV (t)(A — AI )u1 = LAV (t)uo.

□

Доказательство леммы 4. Пусть A £ p(A) и h(t) = (A — AI)-1f (t). Тогда Ah(t) = ((A — AI) + AI )(A — AI )-1f (t) = f (t) + A(A — AI )-1f (t). Следовательно, функции h, Ah £ C([0,T];X), и поэтому it \ ' t

j V(t — s)h(s)ds I = j V(t — s)Ah(s)ds + h(t).

oo

С другой стороны,

t t g(t) = L J V(t — s)(A — AI)h(s)ds = (LA — AL) J V(t — s)h(s)ds.

oo

Учитывая, что LA С LA, находим

g'(t) = (LA — AL) ^ J V(t — s)Ah(s)ds + h(t) | =

t

= LA J V (t — s)(A — AI )h(s)ds + (LA — AL)h(t).

o

Из определения функции h следует, что (A — AI)h(t) = f (t), поэтому Ah(t) = Ah(t) + f(t). Ввиду того, что h(t) £ D(A) при каждом t £ [0,T], мы имеем равенство LAh(t) = LAh(t). Следовательно,

(LA — AL)h(t) = LAh(t) — ALh(t) = L(Ah(t) + f (t)) — ALh(t) = Lf (t),

и поэтому

g'(t) = LA [ V(t — s)f(s)ds + Lf(t).

o

□

Вернемся к доказательству леммы 2. Полагая F(t) = Ф(t)h(t) + g(t) и используя формулу (15), получим, что обратная задача равносильна системе

t t u(t) = V(t)uo + J V(t — s^(s)h(s)ds + J V(t — s)g(s)ds, (19)

oo t t L(V(t)uo + J V(t — s^(s)h(s)ds + J V(t — s)g(s)ds) = ^(t). (20)

oo Согласно леммам 3 и 4 уравнение (20) можно продифференцировать:

t

LAV(t)uo + La| V(t — s^(s)h(s)ds + LФ(t)h(t)+

o

t

+LA^ V(t — s)g(s)ds + Lg(t) = y>'(t). (21)

o

Ввиду условия согласования Luo = ^(0) уравнение (21) равносильно уравнению (20). Поэтому рассматриваемая обратная задача равносильна паре уравнений (19), (21). Уравнение (21) можно разрешить относительно неизвестной функции h(t). Полагая

t

ho(t) = ^Ф^))-1(<£>'(t) — LAV (t)uo — L^y V (t — s)g(s)ds — Lg(t)),

o

K(t, s) = — ^(t))-1LAV(t — в)Ф(в),

перепишем его в виде

t

h(t) = ho(t) + j K(t, s)h(s)ds. (22)

o

Уравнение (22) представляет интегральное уравнение Вольтерра второго рода с непрерывным неоднородным членом ho(t) и сильно непрерывным операторным ядром K(t, s). Следовательно, это уравнение имеет единственное решение в классе непрерывных функций. Подставляя это решение в формулу (19) получим непрерывную функцию u(t). Это доказывает лемму 2, что завершает и доказательство теоремы 1. □

Список литературы

[1] М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, С.П.Шишатский, Некорректные задачи математической физики и анализа, М., Наука, 1980.

[2] А.И.Прилепко, Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса), Мат. заметки, 14(1973), №5, 755767.

[3] A.I.Prilepko, D.G.Orlovsky, I.A.Vasin, Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, New York, Basel, Marcel Dekker, 2000.

[4] М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, В.Г.Васильев, Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений, Новосибирск, Наука, 1969.

[5] А.И.Прилепко, Д.Г.Орловский, Обратные задачи для эволюционных полулинейных уравнений, Докл. АН СССР, 277(1984), №4, 799-803.

[6] Д.Г.Орловский, Слабые и сильные решения обратных задач для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Дифф. уравнения, 27(1991), №5, 867-874.

[7] Д.Г.Орловский, Определение эволюции параметра в абстрактном квазилинейном параболическом уравнении, Мат. заметки, 50(1991), №2, 111-119.

[8] Д.Г.Орловский, Определение параметра параболического уравнения в гильбертовой структуре, Мат. заметки, 55(1994), №3, 109-117.

[9] А.И.Прилепко, Д.Г.Орловский, Определение эволюции параметра в абстрактном параболическом уравнении, Дифф. уравнения, 27(1991), №1, 114-120.

[10] А.И.Прилепко, Д.Г.Орловский, О некоторых обратных задачах кинетической теории газа для состояний, близких к равновесным, Докл. АН СССР, 298(1988), №6, 1334-1338.

[11] А.И.Прилепко, Д.Г.Орловский, О некоторых обратных задачах для линеаризованного уравнения Больцмана, Журнал выч. мат. и мат. физ., 27(1987), №11, 1690-1700.

[12] G.Bartolomaus, J.Wilhelm, Existence and Uniqueness of the Solution of the Non-stationary Boltzmann-Equation for the Electrons in a Collision Dominated Plasma by Means of Operator Semigroups, Annalen der Physik, 38(1981), №3, 211-220.

[13] L.Arlotti, On the solutions of the linear Maxwell-Boltzmann equation, Riv. Mat. Univ. Parma, (1985), №11(4), 423-441.

[14] Л.И.Канторович, Г.П.Акилов, Функциональный анализ, М., Наука, 1977.

[15] Т.Като, Теория возмущений линейных операторов, М., Мир, 1972.

On an Inverse Problem for the Maxwell-Boltzmann Equation

Dmitry G.Orlovsky

We study the inverse problem for the Maxwell-Boltzmann equation in a bounded domain in R3 and prove the existence and uniqueness of its solution.

Keywords: inverse problem, Banach space, semigroup, weak solution.