CC BY
14Замечание 5. В случае F(a) = sin a cos а, д(а) = sin а (25) (см. также [1, 2, 7J) система (24) совпадает с системой (6)-(9) (после замены в —>• а, ф ~~^ Р, b ~~^ — Ь) и обладает полным набором, вообще говоря, трансцендентных первых интегралов
Ф1(а, гь z2) =
zí + z2 + sin2 а — bz2 sin a z\ sin a
= C[, (26)
Ф2(а, zi, z2) = C'2, Ф3(а,А2ьг2) = Ci
выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций [6, 8, 9J.
Замечание 6. При 6 = 0 первый интеграл (26) системы (24), (25) совпадает с первым интегралом (23) системы (21), по при 6^0 пи числитель выражения (26), пи его знаменатель не являются первыми интегралами системы (24), (25) по отдельности (хотя при 6 = 0 и числитель, и знаменатель выражения (26) являются первыми интегралами системы (21)). В заключение приведем фазовый портрет системы (3) (рис. 3).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-01-00848-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шамолин М.В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела. М.: Экзамен, 2007.
2. Шамолин М.В. Динамические системы с переменной диссипацией: подходы, методы, приложения // Фунд. и прикл. матем. 2008. 14, вып. 3. 3-237.
3. Трофимов В.В., Шамолин М.В. Геометрические и динамические инварианты интегрируемых гамилътоно-вых и диссипативных систем // Фунд. и прикл. матем. 2010. 16, вып. 4. 3-229.
4. Шамолин М.В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук. 1998. 53, вып. 3. 209-210.
5. Шабат В.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1987.
6. Шамолин М.В. Многообразие случаев интегрируемости в динамике маломерного и многомерного твердого тела в неконсервативном поле сил // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Т. 125. М.: ВИНИТИ, 2013. 5-254.
7. Чаплыгин С.А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости // Поли. собр. соч. Т. 1. Л.: Изд-во АН СССР, 1933. 133-135.
8. Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемости в пространственной динамике твердого тела // Докл. РАН. 2010. 431, № 3. 339-343.
9. Шамолин М.В. Новый случай интегрируемости в пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой, при учете линейного демпфирования // Докл. РАН. 2012. 442, № 4. 479-481.
Поступила в редакцию 12.05.2014
УДК 511
ДВИЖЕНИЕ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ
П. Я. Ливасов1
В работе приводится решение задачи о движении тонкой жесткой пластины в упругой среде с использованием метода Смирнова-Соболева для решения двумерного волнового уравнения.
1 Ливасов Павел Янисович, — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ. e-mail: [email protected].
Рис. 3. Фазовый портрет системы (3) в трехмерном слое
Ключевые слова: тонкая пластина, метод Смирнова-Соболева, функционально-инвариантные решения, задача Римана-Гильберта.
A solution to the problem of the motion of a thin rigid plate in an elastic medium is obtained using the Smirnov-Sobolev method for solving a two-dimensional wave equation.
Key words: thin plate, Smirnov-Sobolev method, functionally invariant solutions, RiemannHilbert problem.
1. Введение. Задачи движения инородных включений в деформируемых твердых средах являются составной частью многих важных прикладных проблем. Например, в некоторых задачах обработки материала резанием режущее тело движется поступательно с постоянной скоростью. В настоящей работе для описания таких задач используется математическая модель, в которой движущееся тело представляет собой полуплоскость в трехмерном пространстве. Приводится теоретическое решение задачи определения напряженно-деформированного состояния упругой среды при движении в ней тонкой жесткой пластины, исследуется решение вблизи пластины, перед ее режущей кромкой. Предполагается, что искомые функции (перемещения и напряжения) зависят только от двух пространственных координат х ш у ш времени t.
2. Постановка задачи. Опишем модель упругой среды и введем понятие сингулярных линий, вблизи которых решение не обращается в бесконечность; сформулируем постановку задачи о движении тонкой жесткой пластины в упругой среде.
2.1. Основные уравнения. Рассмотрим волновые уравнения
dt2 д2ф
= a2 Aíp, = b2Aip,
(1)
которые получаются из уравнений движения упругой изотропной среды [1] с помощью представления Ламе и = grad íp + rotip в предположении, что массовые силы отсутствуют; íp и ф = (0, 0, ф) — соответственно скалярный и векторный потенциалы вектора перемещений и; Л и /л — коэффициенты Ламе; р — плотность среды; а и b — скорости продольных и поперечных волн соответственно;
о2 о2
А = + -щр — оператор Лапласа для плоского случая.
2.2. Сингулярные линии. Поведение искомых функций. Рассмотрим случай, когда упругая среда занимает объем V с границей S. Предполагается, что S — кусочно-гладкая поверхность, вектор нормали к которой определен однозначно в каждой точке S, за исключением не более чем конечного числа кусочно-гладких линий (ребер границы) и точек (вершин границы). Будем называть ребра S сингулярными линиями, а вершины сингулярными точками [1]. Точки S, не принадлежащие сингулярным линиям и точкам, будем называть регулярными.
В обеспечении единственности решения динамической задачи существенную роль играют ограничения, налагаемые на поведение искомого решения в окрестности сингулярных точек и линий.
Упругий потенциал W (потенциальная энергия упругих деформаций, отнесенная к единице объема) является положительно-определенной квадратичной функцией компонент тензора деформаций Eij и имеет следующий вид:
^ = 2 cijkl£ij£kh
где Cijki — упругие константы (cijki = cjiki = ckUj).
Рассмотрим сингулярную линию некоторой поверхности S. Окружим эту линию трубчатой поверхностью Se радиуса г = е. Сама сингулярная линия, а следовательно, и связанная с ней поверхность Se могут двигаться со скоростью а = 0¿(t). Рассмотрим выражение
lim
£—>0
(v-a п) + an[W + р^
ds = С (С = C(t) ф оо), (2)
где п = п{х) — внешняя (по отношению к V) нормаль к Бе в точке х, ап — вектор напряжений, ап = (а -п). Формула (2) дает поток энергии, которая излучается (/ > 0) или поглощается (/ < 0)
рассматриваемой сингулярной линией. Нас будут интересовать только подвижные (си ф 0) сингулярные линии.
Условие (2) будет выполнено, если вектор перемещения удовлетворяет условию [1]:
и = и0 + О(е13), ¡3 >
1
0,
(3)
где и — вектор перемещения, а щ не зависит от е. В окрестности сингулярной линии, движущейся со скоростью а(£), имеем
_ йи
9 г
— + (а ■ grad)
и.
Следовательно, компоненты вектора скорости и компоненты напряжения в окрестности сингулярной линии имеют порядок Тогда при (3 > | получим С = 0, т.е. движущаяся сингулярная линия
не излучает и не поглощает энергию.
2.3. Движение топкой пластины в упругой среде. Рассмотрим бесконечную среду, в которой находится жесткое включение в виде полуплоскости у = 0, х ^ 0. Массовые силы не учитываются. Пусть в некоторый момент £ = 0 пластина начинает двигаться относительно неподвижной декартовой системы координат Оху с постоянной скоростью У в отрицательном направлении оси х. Предположим, что скорость пластины меньше скорости волн сдвига (V < Ъ).
Будем считать, что на поверхности пластины выполнены условия полного прилипания:
у = 0, х ^ — их(х, 0,£) = — иу(х, 0, ¿) = 0. В силу симметрии при у = 0, х < — УЬ граничные условия будут иметь вид
у = 0, х < — <тху(х, 0, ¿) = 0, иу(х, 0, ¿) = 0,
(4)
(5)
где аху — касательные напряжения.
Требуется определить напряженно-деформированное состояние среды при £ > 0. В силу специфики граничных условий решение можно искать для верхней полуплоскости у > 0. Напряжения и перемещения связаны с помощью тензора малых деформаций и закона Гука для изотропных сред. Предполагается, что имеет место плоская деформация.
Левый край пластины представляет собой прямую, перпендикулярную плоскости Оху. Согласно п. 2.2, эта прямая является подвижной сингулярной линией, движущейся со скоростью У. Для обеспечения единственности решения перемещения должны удовлетворять условию (3). Уравнения (1), граничные условия (4), (5) и условие (3) образуют следующую задачу:
д <Р 2
д2гр
сЯ2
= Ъ2
д21р д21р
дх2 ду2
д2ф д2ф
дх2 ду2
(6)
граничные условия при у = 0
' иу(х, 0, ¿) = 0, их(х, о, г) = -уг, аху(х, о, г) = о,
и условие вблизи сингулярной ЛИНИИ
—оо < х < оо; х > -УЦ х < -УЬ,
(7)
и=и0 + О(е^), (3^е
0.
(8)
3. Метод Смирнова—Соболева. Опишем метод Смирнова-Соболева (или метод функционально-инвариантных решений) для решения волнового уравнения в плоском случае. Источником рассуждений является книга [1]. Рассмотрим двумерное волновое уравнение
Ищется такая функция П = П(х,у,Ь) (необязательно действительная), что произвольная дважды дифференцируемая (если комплексная, то, следовательно, произвольная аналитическая) функция и = /(П). После подстановки и = /(П) в волновом уравнении получим
9ГЛ2 /Ш\2 1 /Ш дх ) \ду ) а2 \ сМ
д2П д2П 1 д2П дх2 дП2 а2 д№
0.
В силу произвольности функции и = /(П) имеют место следующие уравнения:
дП\2 1 /дП\2
{дх) +{ду) а2 [м)
д2П д2П 1 д2П дх2 дП2 а2 дР
0.
Первое из этих уравнений называется уравнением эйконала. Таким образом, функция О, = П(х,у,Ь) должна быть одновременно решением волнового уравнения и уравнения эйконала. Волновое уравнение имеет целый класс решений вида и = /(П), где функция П = 0,(х, у, ¿) удовлетворяет уравнению
1(П)Ь + т(П)х + п(П)у - к(П) = 0,
(9)
а функции 1(0,), т(П), п(П) связаны зависимостью 12(П) = а2 [т2(П) + п2(0)] .
Если функция и = /(О,) комплексная, то решениями также будут действительная и мнимая части этой функции.
Будем рассматривать соответствующие случаю к(П) = 0 решения, которые будем называть однородными. Поделим уравнение (9) на 1(0,) и обозначим
в = гп(П) т2(П) = д_2
тогда получим
или
1(0,) ' 12(П) г-вх + ул/а-2 - в2 = 0,
1 + в^+Ял/а-2-в2 = ъ, е =
У
(ю)
Произвольная функция /(в) будет решением волнового уравнения, если в — решение уравнения (10). Таким образом, построенные решения фактически являются функциями двух аргументов г]. При этом они являются однородными функциями нулевого измерения, поскольку однородные функции измерения т определяются в форме /(кх,ку,Ы) = кт/(х, у, ¿).
При + г]2 ^ а2 можно получить следующее решение уравнения (10):
в =
+ Г]2
(П)
В комплексной плоскости в задает отображение внутренности круга £2+^?2 ^ а2 на внешность отрезка [—а-1, а-1]. Если /(в) — однозначная аналитическая функция, являющаяся решением волнового уравнения, то (р = 11е [/($)] — действительное решение, определенное внутри круга. Его можно продолжить непрерывным образом во внешность круга + г]2 > а2. В этом случае используется действительное решение уравнения (10)
в =
е+л2
(12)
Введем оператор Ь°п
J йа\ J йа,2 ■ ■ ■ J ¡(щп\) <1а,\п\, пей, п < 0; о о
дп/
да"
о
пей,
п > 0.
Решение задачи (6)-(8) будем искать в виде
Ь^ = Яе[/1(в1)], Ь'пф = Яе[Мв2)],
где (р,ф — соответственно потенциалы продольных и поперечных возмущений, а в\, 02 определяются с помощью (11), (12). Далее, используя представление перемещений и напряжений через потенциалы, можно получить следующие выражения:
Ьпих = Г1е
Ьпиу = Г1е
(13)
—Ъ1п_х(тХу — /лЛе
+---/2(02) —
Отметим, что формулы для компонент напряжений ахх, ауу получаются аналогично. Обозначим
Р\(9) = ^^ , ^(0) = ^¿^ • Нам понадобятся следующие выражения, полученные из (13), на границе верхней полуплоскости у = 0:
' х1+тЬгп+тих = 11е \ьвт (-02^(0) + вл/Ь~2 - 02 *Ь(0) х1+тЬгп+тиу = 11е \ьвт (ду/а~2 -02^(0) + 02^2(0)
(14)
х
1 +т
¡1
' Ьп+т-1аху — Ре
Ьвт (-20л/а~2 - в2 ^(0) + 0(6"2 - 202)^2(0)
4. Решение задачи. Сначала получим аналитическое решение задачи (6)-(8) и проанализируем его. Затем рассмотрим конкретный пример.
4-1- Аналитическое решение. Если бы пластина была бесконечной, то в силу специфики граничных условий прилипания решение не зависело бы от переменной х, т.е. его можно было бы искать в виде их = их(у, ¿), иу = 0. Уравнения движения упругой среды в этом случае свелись бы к однородному волновому уравнению
$ ^х ^ ^х
гЛ2
ду
2 '
решение которого имеет вид
V
их = — (±у - Ы).
(15)
Знак "+" выбирается для верхней полуплоскости, а знак "—" — для нижней.
Будем считать, что перемещения являются однородными функциями (п — 1)-го измерения относительно х, у, Условие их(х, 0, ¿) = —позволяет искать перемещения как однородные функции первого измерения, значит, п = 2. Согласно методу Смирнова-Соболева, общее решение уравнений (6) имеет вид
д21£> д2ф
1Ц/1(01)], ¿-01 х + у^а-2-92, х2+у2<аН2-1 Ке[/2(02)], г-в2х + уф-2 -в2, х2+у2<ЪН2.
Из выражений (14) и граничного условия иу(х, 0,£) = 0 (—оо < х < оо) находим
11е
9л/а~2 - в2 ^(0) + 02^2(0)1 = 0, 1т[0] = 0.
Полученная задача Дирихле решается с помощью интеграла Шварца [2]. Имеем
Тогда из граничных условий (7) и выражений (14) при Im[0] = 0 получим
(в2 + Va"2 -в2л/Ъ~2 -e^F^e)
Va~2-92Fl(e)
0,
= 0, в-1 > -V] в-1 < -V.
(16)
Первая строка из (16) соответствует граничному условию для их, вторая — для аху. Принимая во внимание знаки подкоренных выражений, перепишем формулы (16):
'Re[Fi(0)]=O, -оо <в <-V~l]
Im[Fi(0)] =0, -V~l < в <
Re[F1(d)}=0, —a~l < в < a_1;
92Re[Fl(9)} - Vö2 - a"2 y/b~2 - в2 Im[Fi(0)] =0, a"1 < 9 < 6"1;
Re[F1(d)]=0, b~l<d< oo.
(17)
При фиксированных £ правые части граничных условий (7) представляют собой ограниченные функции в точке (0,0) плоскости х,у. Тогда функция Р\(9) ограничена на бесконечности. Учитывая (8), получим дополнительные условия для Р\(9):
(18)
ГЗД) = 0(^), в^оо, 7 > 0;
{р1(в) = о((в + у-у~2),
Перепишем уравнения (17) в общем виде
КОЪеШО] - д(С)1т[^(С)] = д(С), -оо < ( < оо,
причем функции к((), д(() имеют на вещественной оси конечное число разрывов первого рода, а <?(£) = 0. Таким образом, мы получили однородную задачу Римана-Гильберта с разрывными коэффициентами. Общее решение этой задачи в классе функций, подчиненных условиям (18), дается следующей формулой [3]:
^ (9) = Ает, 1т[0]^О, (19)
где
оо
rw = h /
в+i e-i
argG(C)dC) с(0 = _*(0-«(0
С-о
40 +я(С)
А — неизвестная вещественная постоянная, которая определяется из условия ограниченности Р\(9) в точке (—У_1,0) комплексной плоскости 9. После вычислений получим из (19):
Fm = А (1 УвТУ^^^е еЫв)+Ы0)+^ Im[0] ^ 0)
где
v~l + i) vb-1 -e^a~l + e
(20)
CargG(C) C2 + l
d(.
Покажем, что функция F\(9) является ограниченной на отрезке [a"1,б"1]. Так как функция argG((") удовлетворяет условию Гёльдера, то интеграл Ф1(0) существует в каждой точке интервала в смысле главного значения. На концах отрезка верны следующие условия [3]:
е^ъ-1.
ефо(в)
9 ->■ а
-1
где функция Фо(0) — некоторая голоморфная функция на данном отрезке.
Однако в точке —а-1 возникает особенность у F\(9). Внутри окружности, которая является фронтом продольных возмущений, искомые функции непрерывны вместе со всеми своими частными производными, а при переходе через окружность могут появиться разрывы нормальных производных, так как эта граница есть сечение плоскостью t = const, харак-териети ческой поверхности двумерного волнового уравнения.
Из (18) и (20) заключаем, что /3 = значит, в точке (—Vt, 0) перемещения удовлетворяют условию
u = uo+0(el), е = у/(х + Vt)'2 + у'2 0,
где Uq не зависит от е. Тогда компоненты
напряжений имеют в окрестности еингу-
з "
лярной линии особенность порядка е з.
На рис. 1 представлена волновая картина. Область (а) соответствует решению Д'Аламбера (15). В областях (б), (в) решение находится с помощью (13), (20).
4.2. Пример. Рассмотрим упругую среду, обладающую свойствами алюминия: а = 6743,6 f]b = 3080,7 Скорость пластины V = —5
Чтобы упростить задачу вычисления интегралов (14), обратимся к численным методам. На рис. 2 изображено распределение перемещений их вблизи режущей кромки пластины.
Рассмотрим кривую у\, заданную уравнением у\ = —7350 (ж + 1,6-10_3)2'5 + 1,8-10~4. На отрезке [—0,00055; —0,0005] оси х значения у\ отличаются от значений функции их не более чем на 0,92%. В таком случае будем считать, что функция их удовлетворяет условию (8) при /3 = ■§ с погрешностью не более 0,92%.
5. Заключение. Рассмотрено движение бесконечно тонкой пластины в упругой среде. Такое приближение дает оценку сверху для напряжений и перемещений, так как в реальности среда является более мягкой. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач о внезапном движении тел, имеющих толщину.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.
2. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного. 3-е изд. М.: Наука, 1965.
3. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1962.
Поступила в редакцию 10.09.2014
х
Рис. 1. Волновая картина
-0,002 ч 0,001 0,002 х, м
\ -0,00002 V
\-0,00004 1
\ -10,00006 1 1 ----перемещение частиц среды вдоль оси X
-0,00008 1 1 - пластина
-10,0001 1
1 -0,00012
у, м
Рис. 2. Перемещение частиц среды
