CC BY
12
2, Рассудов В.М., Краешков В. П., Панкратов И. Д. Некоторые задачи термоупругости пластинок и пологих оболочек, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1973, 157 с,
3, Белосчточный Г. Н. Аналитические методы определения замкнутых интегралов сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости геометрически нерегулярных оболочек // Докл. Академии военных наук, 1999, 1, С, 14-26,
УДК 539.3
Ю. Н. Нагар, В. Ю. Ольшанский, И. Ф. Паршина, А. В. Серебряков
СВЯЗАННАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО
ЦИЛИНДРА
В настоящее время с целью совершенствования приборов навигации активно ведутся разработки новых конструкций датчиков инерциаль-ной информации (ДИИ). Были предложены и производятся ДИИ с разной конструкцией чувствительных элементов. Широкое распространение получили биморфные, камертонные гироскопы. Встречаются также конструкции гироскопов с присоединенной массой [1]. Перспективными представляются модели вибрационных гироскопов с цилиндрическим резонатором, примером может служить конструкция, предложенная в патенте [2].
Для описания работы вибрационного гироскопа с резонатором, выполненным из пьезокерамического материала, в форме цилиндра необходимо решить задачу связанной электроупругости. Постановка осесим-метричной задачи электроупругости в цилиндрических координатах для случая, когда пьезокерамика имеет радиальную поляризацию, содержится в работе [3]. Система уравнений для перемещений и электрического потенциала с учетом наличия кориолисовых сил и вязкого сопротивления материала принимает вид
сзз
Сц иг
д 2 и
дг2 г дг с33 г2
г 1
г + _. г
, С13 - С12 диг
+---^—Ъбзз
г
дг
+ Л _ езЛ 1 д^
дг2 V е33) г дг
+
С44
+ 615
д 2ф дг2
= Р
д 2иу 1 ди
д2иг диг п диу ' " — 2ш-
дг2
и
+___и__г_
дг 2 г дг г 2
+ п
дг
дг
2
рш2г,
( д 2иу
= Я^Т + "
диу ди"
+ 2ш-
дг
дг
(1)
, д2ф 1 дф д2п- (д2п- дпг
(е15 - + 615-тт- + = р -2- + П
дтдг г дг дг2 \ дг2 дг
(д2ф 1 дф\ д2ф д2п- 1 дп- 1 дп-
+ --+ = езз^ту + (езз + 631)—— + ез1——. (2)
\ дг2 г дг у дг2 дг2 г дг г дг
Уравнения (1), (2) рассматриваются при соответствующих граничных и начальных условиях.
В работе [4] для предварительной оценки механических и электрических полей в резонаторе рассмотрена упрощенная постановка данной задачи связанной электроупругости. Для тонкостенного пьезокерамиче-ского цилиндра с радиусом срединной поверхности Я компоненты вектора упругих перемещений и электрический потенциал были представлены в виде пг = п(г) + п,п^ = у(г),п- = и>(г, г) + и>0(г),ф = ф(г, г). Система уравнений (1), (2) преобразовалась к виду
пг 1 дп- 1 и0 д 2ф {д 2пг дпг дп2
-С11 Я-С12я^-ез1 ЯЮ+615 д^ = + - -Ярш ,
С44Щ = р (^ + +2идп- ^
Я2 г \ дг2 1 дг дг 1 дф д2п- (д2п- дпг
+ Оц^г = Р + П
Я дг 11 дг2 Л\дг2 1 дг У' д2ф 1 ио п- 1 дп-£11 дг2 = - ЁТ + 631 Я2 + ез1 ЯзТ (3)
В такой постановке был рассмотрен случай вынужденных установившихся колебаний. Получено уравнение для определения собственных частот рассматриваемой упругой системы
в4 + а1в3 + а2/32 + азв + аА = 0, (4)
где
. 2631615 + £ц(С13 - С11) 2
а1 = -2г]г, а2 =-—2--п ,
£11рЯ2
2631615 + £ц(С13 - Оц) . 631615(С12 - Оц)
аз =---П а4 = е^!- ■
Произведена оценка влияния величины угловой скорости на выходной сигнал резонатора в виде силы тока на торцевых поверхностях цилиндрической оболочки. Пиковые значения наблюдаются при частотахв
близких к в1 =0,165 МГц, в2 = 0, 574 МГц. Значения въ в2 равны действительным частям корней уравнения (4).
Гасчет механических деформаций при в = 0,165 МГц иш = 10,47с-1 дает амплитуды деформаций = 1, 69 • 10-4, ег = 6, 7 • 10-4.
Была также рассмотрена краевая задача для уравнений (1), (2) в случае установившихся колебаний при плоской деформации цилиндра [5]. Представляя решение задачи в виде
Ur -
и + ur(r)exp(ißt), U(tf ) — uv,(r) exp(ißt), 1 — ißexp(ißt),
приходим к системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно амплитудных функций Ur — Ur(r),uip —
— и^(г),гф — ф(т).
Далее за счет введения функций
dUr dutr, p dip
Xi — Ur, X2 — —¡~, X3 — Ucn, X4 — , X5 — 1p, Xß — — (5) dr dr dr
переходим к решению нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Общее решение нормальной системы строится на основе фундаментальной системы частных решений, каждое из которых получено методом Гунге^Кутта па отрезке rl < r < r2. Для того чтобы выделить из общего решения искомые функции (5), используем граничные условия при r — ri и r — r2.
Для случая резонатора в виде тонкой цилиндрической оболочки с радиусом срединной поверхности R и толщиной h возможна постановка задачи электроупругости в декартовой системе координат, связанной со срединной поверхностью оболочки. При этом ось Ox направляется вдоль оси цилиндра, ось Oz - по толщине.
Физические свойства материала описываются в рамках линейного пьезоэффекта: механические напряжения и индукция электрического поля выражаются через деформации и напряженность электрического поля
Т? , Т? С11 - С12 &х — Сц£х + Ci2£y — e3iEz, — ci2Sx + Сц£у — e3iEz, TXy — -^-£Xy,
Dx — £цЕх, Dy — enEy, Dz — S33EZ + e3i(^x + £y).
Напряженность электрического поля выражена через потенциал E —
— — grad^. При этом для топкой оболочки — 0. Выражения для деформаций
du 1 / 3w \ 2 д2w х дх 2 \ дх) дх2'
ду 1 1 / дуЛ д 2у
£у — ду — яУ + 2\8у) —
ди ду ду ду д2У)
£ху — т; + т; + т; ^
ху ду ' дх дх ду дхду учитывают геометрическую нелинейность при больших прогибах. Представляя усилия в срединной поверхности в виде
N — ^ N — ^.Г —
х ду2 ' у дх21 дхду'
приходим к уравнениям движения
т. -3 4 1 д 2Р (д2 у ду\
Ь(у, Р)--сиV У + Ядх2 — рк{дё + пж) ' (6)
оц \ 1 д 2У\
11 -V4F + Н(сц + С12) -Ь(У,У) + х
с11 — с12 \2 ' Ядх2
— Леэ1 V2 ф^х, у, г) — ф[х,у, —.г)), (7)
где Ь - известный оператор, и уравнению вынужденной электростатики
/д 2ф д 2ф\ /д 2у д 2у \
£1\ дх2 ду2 / ез1 дх2 ду2 /
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ольшанский В. Ю., Абитова И. Ф., Нагар Ю. Н., Серебряков А. В. Об одной модели датчика ииерциальиой информации / / Вестн. Нижегород, ун-та. 2011. 4, ч. 2. С. 260-261.
2. Пьезоэлектрический вибрационный гироскоп (варианты) : пат. 2426072 Рос. Федерация. № 2010108860/28; заявл. 09.03.2010 ; опубл. 10.08.2011, Бюл. № 22. 9 с.
3. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А. Электроупругость. Киев : Наук, думка, 1989. 280 с.
4. Серебряков А. В., Нагар Ю. Н. О вынужденных колебаниях цилиндрической пьезокерамической оболочки // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-27 : сб. трудов XXVII Междунар, науч. конф. Тамбов : Тамбовск. гос. техн. ун-т, 2014. Т. 4, вып. 12, сек. 10, 11. С. 187-190.
5. Серебряков А. В., Паршина И. Ф. Решение связанной задачи электроупругости для цилиндрического чувствительного элемента пьезогироскопа // Проблемы критических ситуаций в точной механике и управлении : материалы Всерос. науч. конф. с междунар. участием (Саратов, 25-27 сентября 2013). Саратов : ООО «Издательский центр «Наука», 2013. С. 166-170.
