Контактная задача для упругого полупространства в случае трансзвуковой скорости движения нагрузки Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 539.3

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА В СЛУЧАЕ ТРАНСЗВУКОВОЙ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ НАГРУЗКИ

А. В. Звягин1, Д. В. Куратова2

Наследуется напряженно-деформированное состояние упругого полупространства под действием подвижной нагрузки штампа. Целыо исследования является получение и исследование аналитического решения в случае трансзвуковой скорости движения штампа.

Ключевые слова: контактная задача, напряженно-деформированное состояние упругого полупространства, трансзвуковая скорость.

The stress-strain state of an elastic half-space under the action of a moving load (stamp) is studied. The purpose is to obtain and analyze an analytical solution in the case of transonic stamp's velocity.

Key words: contact problem, stress-strain state of an elastic half-space, transonic velocity.

Трансзвуковые скорости характерны для рикошетнох'о взаимодействия частиц космических) "мусора" с поверхностью защитных экранов .летательных аппаратов или с поверхностью самих летающих объектов. Большой вклад в постановку и исследование такшх) рода задач внесли в статической постановке Н.И. Мусхелишвили [1| и в динамической Л.А. Галин [2|. В монографии [2| помимо постановки и решения целшх) ряда динамических задач контактншч) взаимодействия содержится достаточно полный обзор результатов но данной проблеме. Математические методы решения задач контактншх) взаимодействия заложены трудами многих авторов (см. монографии [3, 4|). В данной работе считается, что движение в системе координат, связанной с жестким штампом, установившееся.

В неподвижной системе координат наблюдателя (х'о'у'), представленной на рис. 1, плоскопараллельное движение упругой среды удовлетворяет волновым уравнениям для потенциалов продольных у(х',y', t') и поперечных ф(х', y', t') волн:

у х-р у = const

Рис. 1. Движение штампа по границе упругого полупространства

д 2 у

W2

9(дV д2^\ д2Ф 1.->[д2ф д2ф\ г--— ,

Здесь а,Ъ — соответственно скорость продольных и поперечных волн; р — плотность среды; А, ^ — упругие модули Ламе; Ь' — время. Поле перемещений выражается через потенциалы формулами Ламе

их = -—: + дх'

(2)

д<р 1 дф др дф дуп у ду' дх'

Подстановка перемещений (2) в выражения для деформаций и закон Гука позволяют найти выражения для напряжений

+ (dV | д'2Ф \

ахх 1 ч дх'2 + ду12; АЧ дх12 + дх'ду') _ f д2у дf д2у д2ф \

а,

yy

ду

'2

дх'ду')

(3)

а

xy

М 2

д2 у д2 ф д2ф

+

дх'ду' ду '2 дх'2 J

1 Зиянии Александр Васильевич доктор физ.-мат. паук. проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ.

е-шаП: гувавкаОгатЫег.ги.

2

Куратова Дарья Владимировна daria.v. kuratovaOgmail.com.

асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ. e-mail:

В системе координат (xoy), связанной с движущейся нагрузкой (рис. 1), движение будем считать установившимся. Для системы координат (xoy) и (x'o'y') верны соотношения

x' = x — V0t, y' = y, t' = t.

В этом случае операторы дифференцирования заменятся по следующим формулам:

dip д dip д д д дх у д dx' dx' dy' dy dt dx dt dx'

Поскольку, согласно (1), в случае установившегося движения производные потенциалов связаны уравнениями движения

^ 1 ^ дх2 ду2' ( 2 ) Qx 2 ду2' 1 а ' 2 b ' компоненты вектора V и тензора напряжений (3) можно представить выражениями

dux

= v0(^ + J^/L) v = = Vof V _ ^t

\ дх2 дхду J ' у dt \ дхду дх2

^х dt v и ^ дх2 ^ дхду ) ' Vy

у dx2 dxdy

ауу _ —(2 — M2)

у

оху 2 д2ф

¡1 дхду

d2ip ^ д2ф

(4)

dx2 dxdy'

Я 2./,

dx2

Рассмотрим случай движения распределенной нагрузки qx/y = —q(x), qy/у = —p(x) со скоростью, которая больше скорости поперечных волн, но меньше скорости продольных волн (M2 > 1, Mi < 1). Вне области контакта функции q(x), p(x) тождественно равны нулю. Без ограничения общности будем считать, что за счет выбора системы координат областью контакта является y = 0 |x| < L. В этой области вид функций q(x), p(x) неизвестен и подлежит определению из граничных условий на заданной поверхности штампа. Неизвестным является расположение контура штампа относительно области контакта с

точностью до сдвига вдоль оси. Для жесткого штампа с заданным уравнением контура y = f (x — c) + const

y

лий (например, закон сухого трения с коэффициентом трения к):

y = 0, |x| < L, Vy = Vf'(x — c), q(x) = —kp(x). (5)

L

c

в виде

ip = ReФ(ж + iay), a = \JI — M2; ф = Ч>(х-/Зу), /3 = sj- 1. При этом компоненты вектора напряжений на границе в силу (4) запишем следующим образом:

^ = - (2 - М^) Re Ф"(ж + iay) + 2/ЗФ"(ж - fiy), У (6) = —2а\т Ф"(ж + iay) - (2 - Ф"(ж -

у

о-

На свободной поверхности вне области контакта компоненты вектора напряжений (6) равны нулю:

- (2 - М2) ReФ//(ж) + 2вФ"(ж) = 0, —2а 1шФ"(ж) - (2 - М2) Ф"(ж) = 0.

Эти граничные условия будут выполнены, если

2 — АЛ2

(2 - М2)2 Re Ф''(х) + 4ав 1шФ''(х) =0.

На контактной поверхности получим

- (2 - М2) Re Ф''(х + гау) + 2вФ''(х - ву) = -р(х),

-2а 1шФ''(х + гау) - (2 - М2) Ф''(х - ву) = -д(х). у=0

2 — М2 1

(2 - М2)2 Re Ф''(х) + 4ав 1шФ''(х) = (2 - М2) р(х) + 2в?(х). Таким образом, для функции Ф''(г) получаем задачу Дирихле

Re [(Л - гВ) Ф"(х)] = д(х), Л = (2 - М2)2 , В = 4ав, д(х) = (2 - М2) р(х) + 2вд(х).

Эта задача имеет общее решение, удовлетворяющее условию равенства нулю д(х) на бесконечности, в виде интеграла типа Коши

*»(,) = 1 / Л (7)

Л - гВ пг } г - г к '

-ь

При движении известной распределенной нагрузки функции р(х), д(х) заданы и выражение (7) дает решение задачи. В случае движения штампа для определения усилий необходимо удовлетворить граничным

()

д(х) = -кр(х), Уу = -У0(а 1шФ ''(х) + Ф"(х)) = -У0/'(х - с).

Учитывая связь между функциями Ф'', Ф'', получим

д(х) = -кр(х), 2ав 1шФ''(х) + (2 - М2) Re Ф''(х) = 2в/'(х - с) + р(х). (8)

Воспользуемся краевыми значениями интеграла типа Коши (7). Учитывая закон сухого трения, имеем

Р{Х) + Ь /

ь

1 г р(г)

г - х

-ь

(И

-ь ь

[Х)~ А2 + Б2 Р(Х) А2 + Б2 ж] 1-х

-ь

Подстановка (9) во второе уравнение (8) приводит к сингулярному интегральному уравнению для опре-р(х)

п } г - х -ь

Преобразуя последнее уравнение, получим сингулярное интегральное уравнение

L

р{х)К1 = К2- [ PQLdt + 2ßf'(x-c), (10)

п J t — x

-L

где

[(2 - М2) - 2 kß] [2 aß В + (2 - М2) А] [(2 - М2) - 2 kß] [-2 aß А + (2 - М2) В]

1 А2 + Б2 ' 2 А2 + Б2

Отметим, что для значения М2 = л/2 имеем А = 2 — М^ = 0, В = 4а, ß = 1, и решение (10) очень сильно упрощается:

К1 = 1 + к, К2 = 0, p(x)=po(x) = j^f'(x-c). (11)

Решение (11) существует только в том случае, когда давление под штампом положительное. Это приводит к тому, что точка отрыва среды от штампа должна совпадать с точкой, в которой касательная к контуру штампа направлена параллельно оси x, т.е. с точкой контура, в которой f'(L) = 0.

Полученное решение (11) в частном случае значения скорости Vo = л/2 b позволяет найти решение для близких скоростей в виде разложения по малому параметру 2 — M2, = у. Для этого разложим коэффициенты в уравнении (10) в окрестности М2 = \[2\

2-М2 =7, А = 7, В = 2а{2-1),

и 1 [~2fc + (fc + l)7] [2а2(2-7)2+72] _ Л 3,\ / л

Kl = 1--72 + 4а2(2 — 7)2--V 2 / (12)

_ [7 - 2fc + 7к] [а(2 - 7)7] _ _к_ 2~ 72 + 4а2(2-7)2 ~ 2а7'

Будем искать приближение для функции p(x) = po(x) + 7Pi(x) в разложении по степеням малого параметра 7. Подставляя (12) в (10) и приравнивая коэффициенты при первой степени 7, получим

(po + PiY)

-ь

Ро(1 + к) = 2/' (х),

ь -ь

Мы приходим к следующему значению функции р\(х):

-ь

При вычислении интеграла в (13) следует понимать его в смысле главного значения по Коши. Тогда значение нагрузки в области контакта будет таким:

L

РМ=Ш+т(«> - 4т m+7 m - Sji^ -J (14)

-L

L

Рассмотрим в качестве примера конкретный контур штампа в виде параболы:

/(ж) = —А(ж - Ь)2, /'(ж) = —2А(ж - Ь).

Вычислим интеграл в (13):

I=

п / £ — ж

-Ь

Ь

п } £ — ж п

-Ь

2Ь + (ж — Ь) 1п

Ь — ж

£ + ж

и получим значение (14) в зависимости от параметра £ = ж/Ь в следующем виде:

т

ьх

2 (М2 — 2) к

л/Г^М2 тг(1 + к)2

Отметим, что в точке, соответствующей началу контакта £ = —1, давление имеет интегрируемую особенность и стремится к бесконечности.

Сила сопротивления движению штампа вычисляется по формуле

2 + (£ — 1)1п

1-е 1+е.

F = J аху йж = куЬ ^ р(£) й£.

(16)

-Ь

-1

Подставляя в (16) найденное значение давления из (15), получим

8 4(1 — 4к)

АуЬ2 1 + к (1+ к)2

М22 — 2 —

4к

М22 — 2

(15)

7Г(1 + /с)2 УГ^М2'

1,45 1,55 1,65 М,

Рис. 2. Графики зависимости приведенной силы сопротивления от числа Маха

На рис. 2 показаны графики зависимости приведенной безразмерной силы сопротивления F/(АуЬ2) от числа Маха М2 = Уо/Ь в случае, когда коэффициент Пуассона V = 0,25, для четырех значений коэффициента трения к = 0,01; 0,1; 0,2; 0,3 (кривые 14 соответственно). Как и следовало ожидать, с увеличением силы трения сила сопротивления растет, но растет нелинейно.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что предложенный приближенный метод решения сингулярного интегрального уравнения дает возможность рассчитать с известной точностью в конечном виде нагрузки, действующие на поверхности штампа при его движении по поверхности упругой среды с большой трансзвуковой скоростью.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 12 08 00319-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР. 1954.

2. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат. 1953.

3. Гилов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977.

4. Веку а Н.А. Система сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука. 1970.

Поступила в редакцию 14.03.2012