Пористая среда, насыщенная жидкостью, под действием движущейся сосредоточенной нагрузки Текст научной статьи по специальности «Физика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Барахтанов Л.В., Блохин А.Н., Денисенко Е.Г., Носков A.M. Способ определения силы сопротивления движению по снегу колесного транспортного средства // Актуальные вопросы машиностроения. 2013. 2. 179-185.

2. Барахтанов Л.В., Ершов В.Н., Куляшов А.П., Рукавишников C.B. Снегоходные машины. Горький: Волго-Вятское изд-во, 1986.

3. Агейкин Я.С. Проходимость автомобилей. М.: Машиностроение, 1981.

4. Малыгин В. А. Исследование процесса деформации снега под воздействием гусеничного движителя и обоснование выбора размеров опорной поверхности гусениц снегоходных машин: Дисс. ... канд. техн. наук: 05.05.03. Горький, 1971.

5. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Гостехиздат, 1957.

Поступила в редакцию 04.06.2016

УДК 539.3

ПОРИСТАЯ СРЕДА, НАСЫЩЕННАЯ ЖИДКОСТЬЮ, ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВИЖУЩЕЙСЯ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКИ

А. В. Звягин1, К. П. Гурьев2

Рассматривается задача о движении сосредоточенной нагрузки в дозвуковом интервале скоростей вдоль границы пористой среды, насыщенной жидкостью. Найдено аналитическое решение и показано, что существует критическая скорость, которая равна скорости поверхностных волн типа Рэлея в пористо-упругой среде и при переходе через которую меняются как характер решения, так и форма свободной поверхности. Проведен анализ вида свободной поверхности при различных скоростях движения.

Ключевые слова: двухкомпонентная среда, пористая среда с жидкостью, подвижная нагрузка, поверхностные волны, дозвуковое движение.

The problem of motion of a point load along the surface of a fluid-saturated porous medium is studied for a subsonic range of speeds. An analytical solution is found. It is shown that there exists a critical speed equal to the speed of the Rayleigh-type surface waves in a porous elastic medium. If this critical speed is exceeded, then the behavior of the solution and the free surface shape are changed. The free surface shape is analyzed at different speeds.

Key words: two-component medium, liquid-saturated porous medium, moving load, surface waves, subsonic motion.

Задача о действии подвижной сосредоточенной нагрузки имеет большое прикладное значение, поскольку фактически определяет фундаментальное решение, базовое для целого класса контактных динамических задач. Впервые задача о воздействии сосредоточенной нагрузки, приложенной к границе однородной изотропной упругой полуплоскости, была рассмотрена в работе [1]. В работе [2] получены выражения для смещения во всей полуплоскости. В монографии [3] впервые решена задача о движении точечной нагрузки с постоянной дозвуковой скоростью вдоль границы однородной упругой полуплоскости методом интегральных преобразований. Математическое моделирование многокомпонентных сред начало проводиться в начале XX в. при изучении процесса консолидации грунтов. В середине XX в. М. Био развивал теорию пористых сред, насыщенных вязкой жидкостью. Модель Био [4] наиболее часто используется в задачах фильтрации. В работе [5] на основе модели Био получено решение в замкнутой форме для изображений в частотной области в задаче

1 Звягин Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zvyagin.aleksandr2012Qyandex.ru.

2 Гурьев Константин Павлович — аси. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kostyagurj evQgmail .com.

о воздействии движущейся сосредоточенной нагрузки, приложенной к границе пористо-упругого полупространства. Д.ля задач распространения волн X. А. Рахматулиным [6] была разработана модель, опирающаяся на результаты М. Био и адаптированная для решения волновых задач. Процесс построения модели можно проследить в работах [7 10]. В рамках данной модели и решается задача. В связи с ростом современных технологий в сфере транспорта и строительства особый интерес представляет взаимодействие движущейся нагрузки со свободной поверхностью. Полученное аналитическое решение может быть использовано в контактных задачах пористо-упругой среды при построении решения методом граничных элементов.

1. Постановка задачи и основные урав-

нения. Рассмотрим движение сосредоточенной нагрузки вдоль границы пористо-упругой полуплоскости в неподвижной системе координат наблюдателя {хгО'х^) (рис. 1). Считая перемещения и деформации сред малыми, введем следующие обозначения: р3) р/ истинные начальные плотности твердой и жидкой компонент соответственно; а/ начальная пористость среды (ав = 1 — af объемное содержание материала твердой фазы); и = (г/1,г/г) вектор перемеще-

-Pdixy+Vt)

О о

X У X с2

Рис. 1. Движущаяся сосредоточенная нагрузка

ний тверд ого скелета; 17 = (^1,^2) вектор перемещения жидкой компоненты; компоненты

тензора эффективных напряжений в твердой фазе [8]; <т/ избыточное гидростатическое напряжение.

Упругим модулям Ламе материала скелета А, /л, Л., = А+| /л и модулю сжимаемой жидкости в модели двухфазной среды соответствуют оередненные упругие модули

Л = ая

А + (1 — z/ )

CXf J

М = OisjJL,

а.

r=if■ Q=

afas{ 1 - v )

(3*

где /3* = с*3(1~1' ) + ь>е{ безразмерный параметр, характеризующий взаимодействие зерен скелета.

В системе координат {хгО'х^) уравнения движения пористой среды, насыщенной идеальной жидкостью, имеют вид [5, 8]

' Рпй + p12U = grad [(Л + М) div (и) + Qdiv ([0] + MV: vP12U + P22U = grad [Q div (и) + Rdiv (i7)b

u,

(1)

где p 11 = asps + Xmpfafas, P22 = Oifpf + Xmpfafas, P12 = \ <,;/'/"/".« параметры, имеющие размерность плотности; \т безразмерный параметр, характеризующий структуру скелета. При этом компоненты тензора средних напряжений в скелете и избыточное давление в жидкости выражаются через перемещения по формулам

' Qui

asaskl = Л div (и)5ы + Q div (и)5ы ■ A/( — ■ Щ

dxi dxk

af = Rdw{U) + Qdw (и).

(2)

Если ввести потенциалы перемещений

9(ф1 + Ф2) , dtp

г,1 =-о--г о—•

ОХ 1 ОХ 2

дфхфх + Р2Ф2)

lh =

дх\

— к,

У'2

dip дхо

д(ф1 + ф2)

дхо

dip дх\'

ТТ д{131ф1+132ф2) ^ dip

С'2 = -^--Ь К --.

ОХ2 ох 1

К =

Р12 Р22

(3)

и использовать уравнения движения (1), то плоекопараллельное движение среды будет удовлетворять волновым уравнениям быстрой и медленной продольных волн соответственно с потенциалами </>1(3*1, Х2, ¿0) ^2(3*1, Х2, и волновому уравнению для потенциала поперечных волн ф(х 1,Х2,Ь') [5]:

18 ВМУ, математика, механика, №2

[д2фх т>2

д21р1 д?2

а\ =

2,д2фг , д*фг

дх\

+

дх\

д2ф2 т>2

а2(д2ф2 | д2ф2 а1 2 дх2

= ъ2 ( 9+ 9'

дх\

дх\

дх\ \ Р22 )

(4)

/л + 2М + дд

рп + рпРг

а2 =

I Я + яр2

Р12 + Р22Р2 '

ъ =

Р22М

Р11Р22

2 ' Р\2

где а\, а,2, Ь — скорости медленной продольной, быстрой продольной и поперечной волн соответственно; — время; /?1, /?2 — корни квадратного уравнения

(ри + Рпр)(я + яр) = (л + 2 м + д/?)(Р12 + р22/?)(д + яр).

Рассмотрим движение сосредоточенной нагрузки с постоянной скоростью V вдоль границы пористо-упругой полуплоскости в неподвижной системе координат наблюдателя (х\0'х2) (рис. 1). Считаем, что скорость нагрузки V меньше скорости поперечных волн (Мз = У/Ь < 1, М\ = V/а\ < 1, М2 = V)(12 < 1) и что для среды выполнено соотношение Ь < а\ < а2. В системе координат (хОу), связанной с движущейся нагрузкой (рис. 1), где Х\ = х — УЬ, Х2 = у, = движение среды будем считать установившимся. Операторы дифференцирования примут следующий вид:

д д д д 8^8 дх\ дх' дх2 ду' дЬ' дх' В этом случае уравнения движения (4) перепишутся в следующей форме:

(м2 -1)

V

Мг = -, а\

д2ф\ _ д2ф\ дх2

2 '

ду V

М2 = -а2

(М| - 1) V

М3 = -. о

д2ф2 _ д2ф2 дх2 ду

2 '

(М32 - 1)

д2ф д2ф дх2 ду2'

(5)

Избыточное давление в жидкости и компоненты средних напряжений в скелете можно согласно (2)-(4) выразить через потенциалы:

( af = (К/Зг + д)У2</>1 + (К/З2 + Я)У2ф2, а3а&хх = ЛУ2((/>1 + ф2) + ЯУ2{(Згф1 + Р2Ф2) + 2М + ,

а3а3уу = А\72(ф\ + ф2) + дУ2(/?к/>1 + Р2Ф2) + 2М

а3а3ху = М ( 2

д2(фг+ф2) д2ф\

(6)

<9у2

дхду)'

92((/>1 + ф2) д2ф д2ф

+

<9ж<9у ' ду2 дх2

На границе полуплоскости у = 0 должны выполняться следующие граничные условия:

<т/ = —afP5(x), а3сгуу = —а3Р5(х), ах

0,

(7)

'уу ^'ху

где Р — некая положительная константа. На бесконечности напряжения должны стремиться к нулю. 2. Построение решения. Применим преобразование Фурье

Ку^) =

1

+оо

}(х,у)е ™ш<1х, }(х,у) =

1

+оо

к уравнениям (4) и граничным условиям (7). В результате получим следующие дифференциальные уравнения для образов потенциалов:

2 2 Л ш а <р 1

</>1 = 0,

д2ф2

- Ш2р2ф2 = 0,

д2ф

- ш2^2ф = 0,

ду2 ' ду2 ' ду2

а = ^1-М2, /3 = ^1 -М2, 7 = -М|.

Решения уравнений (8), стремящиеся к нулю на бесконечности при у —>■ +оо, имеют вид

фг = А(со)е~аИу, ф2 = В(со)е~^у, ф = С(со)е~^у. (9)

При этом из граничных условий (7) с использованием образов напряжений (5), (6) получим систему уравнений для коэффициентов А(со), В (со), С (со):

(ОД + Q)(a2 - 1)А + (ад + Q)(f32 - 1)5 = -

afP

ЛTCO

2'

\C3

\сз

-2га — A — 2i/3 — Б + (7 + 1 )C = 0,

со

со

(10)

((Л + Q/31)(a2 - 1) + 2 M а2) А + ((Л + Qf32)(f32 - 1) + 2 Мр2)В + 2 Мг7 M С = — а°Р

и СО'

Решая систему (10) и подставляя найденные коэффициенты в выражения (9), находим

м m s Bi . iC\\oo\

А(из) = -j, В(из) = С (из) =

Ai = Н((72 + Ш(32 ~ 1)(Л + Qfh) + 2 M fi2) - 4/З7М) - as( 72 + 1 )(/?2 - l)(Rfh + Q)},

Bi =

Ci =

ziTi P

72 + 1

{a/(-(72 + l)((a2 -l)(A + Qp1) + 2Ma2) + 4a1M) -as(12 + l)(a2 -l)(Rpi +Q)}, {aAi +(5Вг}.

В полученных выражениях действительное число И является определителем матрицы левой части системы (10).

Применим обратное преобразование Фурье к образам напряжений и перемещений. В результате будем иметь

af = (ВД + Q)(a2 - 1)АП1-^ + (ад + Q)(f32 - 1)Вп/\ fiy

7г ж агу

! ¿> х

asvsxv = М[ 2Aia\--5-¿-г

у \ V тг х2 + а2у2

+ 2Вф\ -

77 X2 + /32у2

-Сi(i + Y)\ -

77 X2 + Р2У2 '

2" ж

тт х2 + 72у2

а.

asyy = ((а2 - 1)(Л + Qpi) + 2Ма2)Ац-

ау

¡о Bv /2

+ 2Mfi2)BlX - 2М7Сг\ - 2 2,

и 7Г Ж^ + ргуг » ^ ^ -J-

7г ж2 + а2у2 IV

+ {((32-l)(A + QP2) +

77 хг +

их = —А\\— arctg —— В\\ — arctg + 7С1 у — arctg — + const, V 7г ay V 7г ру V 7г 7у

иу = (Xj\—!- In (ж2 + а;2у2) + In (ж2 + /52у2)--7=^= In (ж2 + 72у2) + const,

¿77

¿77

'2 ж „ „ /2 ж „ /2 ж

Ux = —Aifiw — arctg--В\[32\ — arctg —--к^С\\ — arctg--h const,

77 ay V 77 РУ V 77 7y

Uy =

aAiPi

In (ж2 + a2y2) + ^t In (ж2 + f32y2) + Ф=Ы (ж2 + 7У ) + const.

¿77

(И)

Перемещения (11) определены с точностью до смещения среды как жесткого целого. 3. Анализ полученного решения. Рассмотрим выражение И — определитель матрицы системы (10). Величина И зависит только от параметров среды и скорости V, т.е. И = 0(У). В случае гармонических волн, бегущих с некоторой неизвестной скоростью V вдоль поверхности среды и затухающих с ростом координаты у, из граничных условий на свободной поверхности будет

следовать дисперсионное уравнение, позволяющее определить возможную скорость таких волн [9]. Можно показать, что дисперсионное уравнение имеет форму

Б = Б{у).

(12)

В рассматриваемом случае уравнение (12) не зависит от волнового числа, т.е. для данной среды существуют волны тина Ралея без дисперсии. Скорость ЭТИХ ВОдн Су, как и в случае волн Ралея для упругой среды, меньше скорости поперечных волн. Функция в точке V = Сг меняет знак.

Она положительна для значений V < Сг и отрицательна для значений V > Сг. Отметим, что в рассматриваемой задаче о движении нагрузки функция входит в качестве знаменателя в вы-

ражения для напряжений и перемещений. Это означает, что при движении нагрузки знаки полученных решений будут существенно зависеть от того, с какой скоростью движется нагрузка. Особый интерес представляет вид свободной поверхности при различных скоростях движения нагрузки. Восстановим вид поверхности в подвижной системе координат, воспользовавшись выражением для перемещения упругого скелета (11), чтобы понять, в каких случаях поверхность опускается или поднимается под воздействием движущейся нагрузки. Так как перемещения определяются с точностью до жесткого сдвига, положим иу = 0 в некоторой точке (жо,0) на границе. Без ограничения общности возьмем хо = 1. При этом уравнение свободной поверхности в подвижной системе координат будет иметь следующий вид:

1 = (аА1+рВ1-С!) 1пх2.

У =

Для расчетов рассмотрим пористо-упругую среду с такими параметрами: а, = 0,8; су = 0,2; р, = 2265; = 1000; ут = 0,5;

V = 0,45; С = 2,3 • 109; Л = 2,07 • Ю10; К8 = 2,223 • Ю10; К{ = 2,25 • 109;

V* = 0,202; = 1,085 • 10у; К = 3,4 • 10е; Л = 2,0024 • 101и; М = 1,84 • 10у; рг = -18,73; р2 = 0,637; ал = 996,35; а2 = 3640,1; Ь = 992,1.

Уравнение (12) имеет следующий корень: V2/б2 ~ 0,90098. На рис. 2 представлены зависимости от координаты х: сплошная линия соответствует значению У2/Ь2 = 0,86; пунктир значению V2/Ь2 = 0,92.

Можно сделать вывод, что при скоростях движения, меньших скорости Ралея, поверхностные волны бегут быстрее сосредоточенной нагрузки и получаемый в точке нагрузки импульс накапливается в виде проседания свободной поверхности. При скоростях движения, превышающих скорость волн типа Ралея, но меньших скорости поперечных волн, получаемый импульс не успевает уйти вперед и сосредоточенная сила проминает поверхность в окрестности точки приложения.

В случае сосредоточенной нагрузки в решении присутствует особенность в точке (0, 0) и все компоненты перемещений стремятся к бесконеч-

уМ Р 31 2 1 1 ^ I I

-3 3 х

— \-1 " / ~~

\ /

-2\ 7

1 -31

Рис. 2. Зависимость безразмерной величины

от координаты х для свободной поверхности твердой фазы: сплошная линия движение нагрузки со скоростью, меньшей скорости волн Рэлея: пунктир превышающей скорость волн Рэлея ноети. Для распределенной нагрузки особенность пропадает. В качестве иллюстрации рассмотрим равномерно распределенную нагрузку. Для этого в полученном решении для любой искомой функции следует заменить координату х выражением х — £ и проинтегрировать по переменной £ в пределах действия нагрузки. Например, для нагрузки, равномерно распределенной по отрезку оси х € [—/г; /г], чтобы найти перемещение иу, необходимо вычислить интеграл

-к

где иу(х,у) задано выражением (11). Уравнение свободной поверхности в этом случае будет иметь следующий вид:

у = —jL= (aAi + (ЗВ\ — C\)({h, — ж)(In (h — ж)2 - 2) + (h + ж)(In (h + x)2 - 2)).

in

Для перемещения 17у жидкой компоненты на границе имеем

у = (аргАг + ¡З^Вг + кСг){(и - ж)(1п (Л, - ж)2 - 2) + (Л, + ж)(1п (Л, + ж)2 - 2)).

На рис. 3 изображен вид свободной поверхности скелета и жидкости в случае движения нагрузки со скоростью, меньшей, чем скорость волн Рэлея (И = 0,5, V2/Ь2 = 0,86). Видно, что при распределенной нагрузке особенности нот. В случае движения со скоростью, большой, чем скорость волн Рэлея, вид свободной поверхности твердой фазы (сплошная линия) и поверхности жидкости приведен на рис. 4 (Н = 0,5, V2/!)2 = 0,92). Видно, что при движении со скоростью, большой скорости волн Рэлея Сг < V < Ь, поверхность жидкости в области действия нагрузки (|ж| < 0,5) выше поверхности твердой фазы скелета (рис. 4). При меньших скоростях движения нагрузки они меняются местами (рис. 3). Таким образом, для малых скоростей в области нагрузки жидкости нот и, наоборот, для скоростей, превышающих скорость волн Рэлея, в области нагрузки присутствует жидкая прослойка. Возможно, именно этим объясняется повышение уровня скольжения при увеличении скорости движения транспорта но сырой дороге.

Рис. 3. Зависимость безразмерной величины У^р- от координаты х для свободной поверхности: сплошная линия соответствует поверхности твердой фазы, пунктир поверхности жидкости в случае V < Сг

yM P 3 2 1 -

-3 -2 --^"/1 2 3 x

\ f

\ ~2 -

\-3 - J

-44

Рис. 4. Зависимость безразмерной величины от координаты х для свободной поверхности: сплошная линия соответствует поверхности твердой фазы, пунктир поверхности жидкости в случае Сг < V < Ъ

4. Основные результаты. Получено аналитическое решение задачи о воздействии движущейся сосредоточенной нагрузки на упругое полупространство, насыщенное жидкостью. Показано, что при переходе скорости через скорость волн типа Рэлея меняется как характер движения, так и вид свободной поверхности. Полученное решение может быть использовано как основа при исследовании динамических контактных задач в иористо-уиругих средах методами граничных интегральных уравнений или методами граничных элементов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lamb Н. On the propagation of tremors over the surface of an clastic solid // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1904. A203. 1 42.

2. Смирное В.И., Соболев С.JI. Новый метод решения плоской задачи упругих колебаний // Тр. Ссйсмол. ип-та АН СССР. 1932. 20.

3. Sneddon I.N. Fourier Transforms. NY, USA: McGraw-Hill, 1951.

4. Buo M. Распространение упругих волп в цилиндрической полости, содержащей жидкость // Сборник переводов. Механика. 1953. 3. 142 155.

5. Lu ■J.F., .Jeng D.S. A half-space saturated poro-clastic medium subjected to a moving point load // Int. J. Solids and Struct. 2007. 44. 573 586.

6. Рахматулин Х.А., Саатов Я. У, Филиппов И.Г., Артыков Г. У. Волны в двухкомпонентных средах. Ташкент: ФАН, 1974.

7. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1, 2. М.: Наука, 1987.

8. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.

9. Нигматулин Р.И. Механика сплошной среды. Кинематика. Динамика. Термодинамика. Статистическая динамика. М.: ГЭОТАР-Медиа, 2014.

10. Городецкая Н.С. Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах // Акустичний bíchhk. 2007. 10, № 2. 43-63.

Поступила в редакцию 27.0Í.2016

УДК 57.087.3

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ШУМОВ СИСТЕМ ВИДЕОРЕГИСТРАЦИИ ДВИЖЕНИЯ

Т.Ю. Боков1, А. Г. Якушев2

Рассмотрены причины возникновения шумов в записях трех систем видеорегистрации движения Qualisys Oqus, Vicon Bonita и ARTTRACK2. Условно выделены статическая и кинематическая составляющие шума, предложены способы идентификации их параметров путем сравнения с модельными движениями. Оценка трех систем свидетельствует об удовлетворительном качестве регистрации движения со скоростью до 6 м/с и с ударным взаимодействием с внешней средой. Полученные образцы шумов используются для сравнения систем.

Ключевые слова: движение руки, видеорегистрация движения, шум.

The subject of this paper is to determine the reasons for resulting noises in output records of three video tracking systems — Qualisys Oqus, Vicon Bonita, and ARTTRACK2. Noise static and kinematic components are conventionally distinguished and their parameters are proposed to identify by comparison with model movements. Evaluation of these three systems leads to the conclusion on their satisfactory quality in the registration of tracking movements with velocity up to 6 m/s and with impact interactions with a surrounding medium. The obtained noise samples are also used to compare these video tracking systems.

Key words: arm movement, movement video tracking, noise.

Введение. При изучении движений человека с помощью систем видеорегистрации преимущественно регистрируются сравнительно медленные движения с характерными скоростями порядка 1 м/с. В качестве примеров можно привести указательное движение пальцем [1], попадание ручным манипулятором в заданную цель [2], движения человека в неинерциальной среде [3]. Движения с большими скоростями и с ударными взаимодействиями тел рассматриваются гораздо реже, и, как правило, в таких случаях помимо систем видеорегистрации привлекаются другие измерительные устройства: акселерометры, датчики угловой скорости, тензодатчики и т.д. Так, в работе [4], в которой изучалась техника выполнения бадминтонистом удара "смэш", использовались микроэлектромеханические инерциальные датчики.

Следует, однако, упомянуть, что существуют области, где уже нашли широкое применение видеозаписи скачкообразных точностных движений, например записи нистагма глаз человека [5].

Между тем при довольно простом движении — ударе молотком — скорость кисти руки может достигать величин порядка 20 м/с, а при забивании гвоздя средних размеров составляет к моменту удара около 5-7 м/с.

1 Боков Тимур Юрьевич — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: stevie-lpoolQyandex.ru.

2 Якушев Андрей Германович — канд. фпз.-мат. наук, ст. науч. сотр. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: moidsQyandex.ru.