Численное решение некоторых задач статического изгиба прямоугольных пластин под действием локальной нагрузки Текст научной статьи по специальности «Физика»

Р.А. Сафонов

УДК 533.38

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ СТАТИЧЕСКОГО ИЗГИБА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛОКАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ

Во многих прикладных задачах требуется определить напряженно-деформированное состояние тела под действием сосредоточенных нагрузок, однако во многих численных методах, которые применяются для проведения таких расчетов, требуется задавать действующие на тело усилия как гладкую функцию. В настоящей статье сделана попытка заменить сосредоточенную поперечную силу, действующую на тонкую изотропную пластинку, быстро растущими в окрестности точки приложения силы распределенными усилиями.

Рассмотрим тонкую пластинку из изотропного материала, срединное сечение которой имеет вид прямоугольника со сторонами длиной а и Ь. Толщину пластинки примем равной Н. В дальнейшем будем считать, что к << а, Ь.

Как известно из теории тонких пластин, напряженно-деформированное состояние такой пластины целиком определяется величиной прогиба срединной поверхности. Для функции прогиба имеем уравнение

ЕН3

ВУ2У2^ = д(х,у), В = _ ^2), (1)

где Е - модуль Юнга материала пластины, V - коэффициент Пуассона, д(х, у) - распределенные по верхней грани поперечные усилия, В -жесткость пластинки на изгиб. К этому уравнению требуется добавить граничные условия, выражающие закон закрепления и загружения краев пластины.

Введем безразмерные переменные

W = и>/к, £ = х/а,п = у/Ь.

В новых переменных уравнение (1) примет вид ВН

а4

д4 W п 4

__и 2с__и с4_

3£4 + д£2дп2 + дп4 .

= д(£,п). (2)

Сведем уравнение (2) к системе обыкновенных дифферециальных уравнений с помощью метода сплайн-коллокации [1]. Функцию прогиба

пластинки будем искать в виде

N+2

ж = £ В(пт(С), (3)

3=-2

где В3 (п) - система базисных сплайнов пятого порядка, а Ж/ (С) - пока неизвестные функции.

Будем считать, что граничные условия на краях п = 0 и п = 1 позволяют выразить функции Ж_2, Ж_1, WN+1, через остальные искомые функции. Тогда согласно классическому варианту метода сплайн-коллокации представление для функции прогиба (3) можно переписать в виде

N

Ж = £ ъ(п)Жз (С), (4)

3 =0

где ъз (п) _ известные линейные комбинации базисных сплайнов. Подстановкой (4) в (2) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка.

Приведем полученную систему к нормальной форме Коши:

1 = АУ + В, (5)

где У - вектор-столбец искомых функций вместе с их производными, А и В

соответственно.

С=0

С = 1 составляет краевую задачу, решение которой определяет функцию прогиба пластинки. Для численного решения поставленной задачи можно использовать метод дискретной ортогонализации С.К. Годунова [2]. Рассмотрим функцию

П

/(х) = С008^ 2(х _ хо), (6)

где х0 - фиксированная точка, С - масштабирующая константа, определяемая из условия

1

J /(х)(1х = 1, 0

а для показателя степени справедливо условие к >> 1.

Очевидно, что ](х0) = С, а при удалении от точки х = х0 функция /(х) быстро убывает до малого по сравнению с единицей значения.

Если рассматривать /(х) как распределение нагрузки по координате, то можно отметить, что при k ^ то функция f (х) описывает сосредоточенную в точке х = х0 силу. Таким образом, функция вида (6) описывает локальную нагрузку, сосредоточенную в окрестности точки х = х0.

Будем использовать функции вида (6) для моделирования сосредоточенной нагрузки, действующей на пластинку.

Пусть па прямой С = С0 приложена постоянная нагрузка с равнодействующей Усилия такого вида будем аппроксимировать распределенной нагрузкой интенсивности

п

я(С,п) = С008* 2(С _ Со). ( С, п)

вид

Я(С, п) = С008* П(С _ Со) 008* 2(п _ по).

С_ п =

=0

^(С,п) = С 008

к пС _ п 2 /2 .

С

пользоваться условием

J Я (С,п)(С(п = Ф

о<е,п<1

В качестве примера применения описанного подхода рассмотрим ряд задач, граничные условия которых позволяют применить метод сплайн-коллокации в описанном варианте. Будем рассматривать пластинку толщиной Н = 0,01м с длинами сторон а = Ь = 1м, упругие константы которой равны Е = 2 • 10пПа, V = 0, 3. Для показателя степени к используем значение к = 5000. Как выяснилось в ходе вычислительных эксперимен-

к

результатов расчетов с известными теоретическими решениями задачи, а большие значения требуют существенно более высокой точности сетки и, соответственно, значительного увеличения времени вычислений.

Пусть весь контур пластинки шарнирно подкреплен, а в центральной точке приложена сосредоточенная сила интенсивности ^ = 1Н. Такая задача имеет аналитическое решение в виде суммы бесконечного ряда [3].

При указанных выше параметрах максимальный прогиб пластинки, посчитанный по этой формуле, составляет wmax = 6,12-10-7м. Та же величина, посчитанная численно с помощью предлагаемого подхода, составляет wmax = 6, 18 • 10-7М.

Если при шарнирно опертом контуре нагрузка с той же равнодействующей приложена вдоль прямой £ = 0, 5, то максимальный прогиб пластинки составляет wmax = 3,68 • 10-7м.

При жестко заделанном контуре максимальный прогиб пластинки составил wmax = 3, 75 • 10-7м в случае приложенной в центральной точке силы, wmax = 1,83 • 10-7м при нагрузке, сосредоточенной на прямой £ = 0, 5 и wmax = 1,48 • 10-7м, при нагрузке, приложенной на диагонали £ = п-

Сравнение результатов расчетов по предложенной методике с известными теоретическими решениями позволяет сделать вывод о применимости функций локальной нагрузки вида (6) для аппроксимации сосредоточенных усилий. При проведении расчетов особое внимание следует обращать на выбор показателя степени k, который должен обеспечивать достаточную скорость роста функции и вместе с тем не требовать чрезмерного возрастания размерности задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Григоренко Я.М., Крюков H.H. Решение задач теории пластин и оболочек е применением сплайн-функций (обзор) // Прикл, мех. 1995. Т. 31, вып 6. С. 3-27.

2. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН 1961. Т. XVI, 3(99). С. 171-174.

3. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки Пер. с англ. В.И. Контовта; Под ред. Г.С. Шапиро. М,: Наука, 1966. 636 с.

УДК 232.5; 232.135

М.И. Сафрончик

РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ СРЕДЫ ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ

В работе [1] рассмотрен переход от одного стационарного течения вяз-копластичной среды по наклонной плоскости к другому при изменении угла наклона плоскости к горизонту. Вопрос о развитии течения и переход к стационарному режиму остался открытым. Настоящая статья посвящена ответу на этот вопрос.

Пусть слой вязкопластичной среды толщины H находится на горизонтальной плоскости. В момент t = 0 плоскость была наклонена на угол ß к горизонту. Схема течения изображена на рисунке.