CC BY
19
При указанных выше параметрах максимальный прогиб пластинки, посчитанный по этой формуле, составляет wmax = 6,12-10-7м. Та же величина, посчитанная численно с помощью предлагаемого подхода, составляет Wmax = 6, 18 • 10-7М.
Если при шарнирно опертом контуре нагрузка с той же равнодействующей приложена вдоль прямой £ = 0, 5, то максимальный прогиб пластинки составляет wmax = 3,68 • 10-7м.
При жестко заделанном контуре максимальный прогиб пластинки составил wmax = 3, 75 • 10-7м в случае приложенной в центральной точке силы, wmax = 1,83 • 10-7м при нагрузке, сосредоточенной на прямой £ = 0, 5 и wmax = 1,48 • 10-7м, при нагрузке, приложенной на диагонали £ = п-
Сравнение результатов расчетов по предложенной методике с известными теоретическими решениями позволяет сделать вывод о применимости функций локальной нагрузки вида (6) для аппроксимации сосредоточенных усилий. При проведении расчетов особое внимание следует обращать на выбор показателя степени k, который должен обеспечивать достаточную скорость роста функции и вместе с тем не требовать чрезмерного возрастания размерности задачи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Григоренко Я.М., Крюков H.H. Решение задач теории пластин и оболочек е применением сплайн-функций (обзор) // Прикл, мех. 1995. Т. 31, вып 6. С. 3-27.
2. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН 1961. Т. XVI, 3(99). С. 171-174.
3. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки Пер. с англ. В.И. Контовта; Под ред. Г.С, Шапиро, М,: Наука, 1966, 636 с,
УДК 232.5; 232.135
М.И. Сафрончик
РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ СРЕДЫ ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
В работе [1] рассмотрен переход от одного стационарного течения вяз-копластичной среды по наклонной плоскости к другому при изменении угла наклона плоскости к горизонту. Вопрос о развитии течения и переход к стационарному режиму остался открытым. Настоящая статья посвящена ответу на этот вопрос.
Пусть слой вязкопластичной среды толщины H находится на горизонтальной плоскости. В момент t = 0 плоскость была наклонена на угол ß к горизонту. Схема течения изображена на рисунке.
Пока напряжение на плоскости не достигнет статического предела текучести, материал будет вести себя как твердое тело, испытывая лишь упругие деформации, после его преодоления начнется этап развития течения. Угол наклона плоскости выбирается таким образом, чтобы с течением времени появился так называемый «эффект проскальзывания».
В этом случае соотношение между параметрами в рамках пятипара-метрической модели Слибара — Паслая будет следующим: gpH sin в > т* > тс, где т* - предельное напряжение, при котором начинается скольжение вдоль стенки, тс - статическое напряжение сдвига.
В отличие от вязкой жидкости, течение с взаимным скольжением слоев развивается постепенно, охватывая всё большую область, граница которой заранее неизвестна.
Схема течения по наклонной плоскости
Для единственной компоненты скорости краевая задача имеет вид
dvx ~dt
д 2 v
= v—^ + g sin в, 0 < y < h(t), t > 0; dy2
(1)
h(0) = 0;
(2)
0, 0 < t < t*,
vx(0,t) = { 1
1(т(0,t) - т*), t* < t;
A
т - тд.
y^h(t)-0 П
vx = ""(O;
где
т
u(t) = gt sin в--
dí
pJ H - h(í)' 0
(3)
(4)
(5)
(6)
t
т(М = тя + n^) 0 . (7)
Здесь тд - динамическое напряжение сдвига, n _ структурная вязкость, A u( t)
обозначения стандартные.
Сформулированная краевая задача (1)—(7) в области с неизвестной подвижной границей принадлежит к классу не вполне корректных задач, так как в начальный момент область течения отсутствует. Наиболее эффективным методом её решения является модификация метода Колод-нера [2].
Сначала приведем уравнение (1) к однородному, положив
Vx(y,t) = gt sin в - w(y,t). (8)
Граничные условия при этом преобразуются к виду:
gt sin в, 0 <t < t*,
w(0,t) = { 1 (9)
* gt sin в - д (т(0, t) - т*), t* < t; V
_ t(0,t) - T
ßy) y=о П
= _ Tc - T
(10)
(H)
t
№|»-h<"-0 = y/fl-l) • (12)
0
В соответствии с указанным методом строится вспомогательное решение в области
0 < y = h(t) < то, t> 0,
при условиях:
t
Tr
lim w(y,t) — lim w(y,t) = —- ——r-—; (13)
y^h(t)+0 ) y^h(t)—0 ) — ); V '
0
lim dw — lim dw = ^; (14)
y^h(t)+0 dy v^h(t)— 0 dy n
Условии (10) и
w(y, 0) = 0, w(ro,t)=0;
, / ч, , dw. const
|w(y,t)| < const^ 1 —1 <
(15)
(16)
Условие (9) в дальнейшем используется как дополнительное. Решение этой задачи представляется в виде комбинации тепловых потенциалов простого и двойного слоёв
w(y,t) = -
тс - тд /V /е 4v(t-i) + e 4v(t-i)
2п V п
* (v-h(j))2
(" + НИ))2
d£+
1 /V f т(0, £) - Тд___
0
+
Tr
Pv^
d£
da
H - h(a)
y-h(i) y+h(«)
2 Vv(t-0 2 \/v(t-i)
/ е - z2 dz - j
J J
0
e z dz
(17)
Функция эд(у,£) в уравнении (17) не зависит от конкретного вида функции Потребовав, чтобы
lim w(y, t) = 0,
y^h(t)+0
получаем уравнение для определения h(t) :
(18)
тс - тд
2п
(h(t)-h(g))
2
(h(t)+h(g))
2
е 4v(t-o + е 4v(t-o
-d£+
(19)
1 /V f т(0, £) - Тд „
0
т. 2р
erfc
h(t) - h(£ ) \ - erfJ h(t) + h(£)
e
da
H - h(a)
d£ = 0.
Доказано, что если является решением (19)? т0 Му,£) = 0 в области < у < то и, следовательно, = 0.
Удовлетворив условию (9), получаем уравнение, связывающее напряжение на плоскости у = 0 с законом изменения границы
5
t
t
t
h2(í)
e 1
n J л/1 - £ n V n 0 0
t
h(£)
í
— — ¡ er f c
p 0 f v
gt sine, 0 <t < t*,
da
H _ h(a)
d£ =
gt sin в _ (0,t) _ T*], t* < t. A
Уравнение (20) является линейным интегральным уравнением Абеля относительно т(0, t), допускающим построение точного решения. Для мо-0 < t < t*
т(0,t)= тс _
TT
д
vn
vsy :e 4^-«) d£+
+2gn sin в\ — + v vn
h2(í) e 4v(t-í)
(21)
[H _ h(£)]УТ_£
0
d£.
Для интервала £* < £ также можно построить точное решение.
Уравнение (21) является нелинейным интегральным уравнением Воль-терровского типа. Существование и единственность решения такого типа уравнений доказана.
Ограниченность объёма статьи не позволяет подробно остановиться на построении численного решения этого уравнения и анализе результатов. Отметим только, что для реальных значений параметров найдены законы изменения напряжения на плоскости и границы зоны течения, а также время £* начала «проскальзывания». Процесс стабилизации течения оказывается весьма быстротечным.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сафрончик М.И. Неустановившееся «запаздывающее» течение вязкопластичной среды по наклонной плоскости // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 180-183.
2. Сафрончик А.И. Некоторые задачи неустановившегося течения вязкоплаетич-ных сред: Дис. ... канд. фнз.-мат. наук. Ростов н/Д, 1962. 109 с.
t
t
t
Г.Д. Севостьянов
УДК 531.38
К КИНЕМАТИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
В статье найдены новые решения уравнений кинематики твердого тела с неподвижной точкой, записаны уравнения для угла нутации в случае вращения самолета, искусственного спутника Земли (ИСЗ), качки корабля; рассмотрена теорема Гамильтона — Ишлинского о телесном угле в неоднородном случае.
В кинематической задаче Дарбу [1] для твердого тела с неподвижной точкой требуется аналитически определить изменение трех углов Эйлера тела, если известно изменение мгновенной угловой скорости в связанной с телом системе координат. Три нелинейных кинематических уравнения Эйлера [1] и три линейных уравнения Пуассона (полученных впервые также Л. Эйлером [2, с. 62]) приведены к уравнению второго порядка для угла нутации [3, 4]:
*2 + + = 1.М< 1, (!)
£
где й(т) = сое 0 - угол нутации; т = / - интегральное безразмер-
о
ное время; "2 = р2 + д2; ы(р, д, г)- мгновенная известная угловая скорость тела в связанной с телом системе координат жуг; а(т) - известная функция:
^(т) = " + = аг^ рр. (2)
Три угла Эйлера ^,ф,0 (^ - угол собственного вращения, ф - угол прецессии) определяют ориентацию тела в основной системе координат^,
П,С-
Если й(т) найдена из (1), то два других угла Эйлера (^,ф) найдем из равенств [4]:
с°8 + Х) = 0/(т);
,/ , + * (3)
ф на - *2).
Если заданы р(£),д(£) и то можно найти й(т), тогда из (1) определим а(т), из (2) - г из (3) _ углы ^ и ф, а из динамических уравнений Эйлера — момент внешних сил относительно неподвижной точки [3]. Приведем некоторые частные решения.
