Модифицированный метод сплайн-коллокации в задаче статического изгиба косоугольной пластинки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Р.А. Сафонов

УДК 539.3

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ В ЗАДАЧЕ СТАТИЧЕСКОГО ИЗГИБА КОСОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ

В статье описывается метод определения прогиба косоугольной пластинки под действием распределенных поперечных усилий. Задача решается с помощью модифицированного метода сплайн-коллокации в косоугольной системе координат.

Рассмотрим тонкую косоугольную пластинку толщиной Н со сторонами а и Ь (рисунок).

У п

Я

О

а X (О

Пластина

Для прогиба пластинки Ш под действием распределенной по верхней грани поперечной нагрузки справедливо уравнение

ЛУ2У2 ш(х,у) = я (х,у).

(1)

На краях пластинки ставятся условия жесткой заделки

с!и>

Ш = 0,— = О ап

либо шарнирного подкрепления

(2)

Ш = 0, Мп = 0.

(3)

Решение уравнения (1) с граничными условиями (2), (3) проводится в безразмерных косоугольных координатах (£,п) [1], которые связаны с декартовыми координатами (х,у) формулами:

х = а£ + Ьп й1п а Г £ у = Ьп сое а \ п

(1/а) (х — у 1ап а) (1/Ь) .

V / / сов а

В координатах (£, п) область срединного сечения пластинки является единичным квадратом, а уравнение (1) имеет вид

weeee - 4с

sin a + c2w^Wn) + 2c2 (sin a + 2 sin3 a) + (4)

+c4wnnnn = qa4 cos4 a/Dh,w = w/h,c = а/6. ( )

В соответствии с методом сплайн-коллокации, безразмерный прогиб w ищется в виде линейной комбинации B-сплайнов пятого порядка Bj (п) с заранее неизвестными функциями Wj (£), j = —2 ... N + 2 [2].

В случае классического метода сплайн-коллокации граничные условия на краях п = 0 и п =1 должны позволять выразить неизвестные функции W—2, W—i, Wn+i, Wn+2 линейным образом через остальные искомые функции. Из выбранных граничных условий это возможно сделать только в случае условий (2).

Рассмотрим случай, когда край п = 0 шарнирно оперт, а край п = 1 жестко защемлен. Первое из условий (3) позволяет исключить W—2 из представления функции прогиба w. Рассмотрим второе условие:

Dh

Mn|n=o = —2-2— [(sin2 a + v cos2 a) w^ — 2c sin aw^n + c2wnn] = 0. (5)

a cos a

После подстановки в (5) представления функции прогиба с учетом w^ |n=o = 0 можно выразить производную W! 1 через остальные функции Wj, j = —1... N + 2 и Wk, k = 0 ... N + 2:

N+2 N+2

W—1 = ¿ aj Wj(,) + ^ ft Wj, (6)

j=0 j=—1

где aj и в - некоторые коэффициенты.

Затем согласно методу сплайн-коллокации осуществляется переход от уравнения (4) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и из нее с помощью (5) исключаются производные функции W—1. Получившаяся система уравнений вместе с продифференциированным по £ уравнением (6) записывается в нормальной форме Коши. К ней добавляются условия на краях £ = 0 и £ = 1, записанные в точках коллокации п = п*, и граничные условия в угловых точках на свободно подкрепленной стороне п = 0, учитывающие особенности закрепления прилегающих к углам сторон.

Поставленная таким образом краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями на обоих концах интервала интегрирования решается методом дискретной ортогонализации С.К. Годунова [3]. Аналогично можно решать задачу в случае, когда оба края п = 0 и п = 1 шарнирно оперты.

Для апробации предложенного метода рассмотрим случай, когда края £ = 0 и £ =1 жестко заделаны. Эту задачу можно решать классическим

методом сплайн-коллокации, если проводить коллокацию в направлении оси

С [4].

В таблице приведены результаты расчетов максимального прогиба пластинки под действием равномерно распределенных усилий д для случаев, когда два противоположных края закреплены жестко, а два других — шар-нирно оперты (Wmax) и когда весь контур свободно подкреплен (Wmax)■ Первый случай рассчитывался как с помощью классического, так и с помощью модифицированного метода. При расчетах использовались следующие значения параметров: а = Ь = 10 м, E = 2 • 1011 Па, к = 0.01 м, V = 0.3, д = 1 Н.

а wm?- мет-,м Wiar-мет-, м Wmax, м

п/15 2п/15 п/5 4п/15 п/3 9.709E-4 7.693E-4 5.066E-4 2.612E-4 9.258E-5 9.709E-4 7.671E-4 5.058E-4 2.594E-4 9.019E-5 2.056E-3 1.625E-3 9.048E-4 5.193E-4 1.588E-4

Сравнение значений, приведенных во втором и третьем столбцах таблицы, показывает эффективность предложенного метода решения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Крюков Н.Н. Расчет косоугольных и трапецоидальных пластин с помощью сплайн-функций // Прикладная механика. 1997. Т. 33, № 5. C. 77-81.

2. Григоренко Я.М., Крюков Н.Н. Решение задач теории пластин и оболочек с применением сплайн-функций // Прикладная механика. 1995. Т. 31, № 6. C. 3-27.

3. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1961. Т. XVI, № 3 (99). C. 171-174.

4. Сафонов Р.А. Численное решение задачи изгиба косоугольной пластины под действием поперечной нагрузки // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2006. Вып. 8. С. 220-222.

УДК 539.3

О.А. Торопова

ФОРМУЛИРОВКА УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ГЛУБОКОВОДНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ МОРСКИХ ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ

Целью статьи является вывод уравнений установившегося пространственного движения глубоководного трубопровода для общего случая его продольных, крутильных и изгибных деформаций. В отличие от известных работ, например, В.А. Светлицкого [1, 2], здесь дополнительно учтены эффекты, вызванные совместным действием внутреннего и внешнего потоков