Некоторые задачи статического изгиба параллелограммных пластин Текст научной статьи по специальности «Физика»

Начальное состояние для программного движения тела определяется значениями кватерниона положения и вектора угловой скорости в безразмерных переменных Aopr = 0.0, A1pr = 0.6, A2pr = 0.8, A3pr = 0.0, r1pr = 0.1, Г2рг = -0.15, Гзрг = 0.1.

Угловое ускорение для программного движения тела постоянное и в безразмерных переменных определяется координатами £1 = 0.02,е2 = 0.01,

£з = -0.02.

Общее безразмерное время движения до вывода на программное движение составляет Тк = 3.5435. На промежутке 1.3379 < т < 3.0759 управляющий момент равен нулю. На двух других промежутках времени модуль управляющего момента принимает постоянное максимальное значение. Результаты расчета без учета сопротивления показывают, что в этом случае общее безразмерное время движения т&=3.3682, причем па промежутке 0.5384 < т < 2.2954 управляющий момент равен нулю.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект №08-01-00310).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сапунков Я.Г., Молоденков A.B., Глазков К.А. Оптимальное управление угловым движением твердого тела е учетом сил сопротивления // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 216-219.

УДК 539.3

P.A. Сафонов

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИЧЕСКОГО ИЗГИБА ПАРАЛЛЕЛОГРАММНЫХ ПЛАСТИН

Элементы, имеющие форму тонких пластинок, работающих на изгиб, являются составными частями многих конструкций и механизмов. Напряженно-деформированное состяние таких объектов можно исследовать методом сеток, вариационными методами, методом приведения, методом конечных элементов и другими методами. Одним из наиболее эффективных является метод спл айн-кол локации, в ходе которого двумерная задача сводится к одномерной и последняя решается численно [1]. Чаще всего для этого применяются методы Абрамова, Годунова или Виноградова [2, 3].

В статье рассматриваются тонкие пластинки, сечение которых срединной плоскоскостью имеет форму параллелограмма со сторонами а и b (рис. 1).

Разрешающее уравнение для определения прогиба пластинки имеет вид

DV2V2w(x, y, t) = q(x, y, t). (1)

Y n

q

O a X (£)

Рис, 1

b

Оно решается в косоугольной безразмерной системе координат (£, п), связанной с декартовыми координатами (х,у) формулами

х У tgа у

£ =---;— П =

I.

a b cos а

В соответствии с методом сплайн-коллокации функция прогибав ищется в виде

N+2

w(e,n) = Е B5,i(n)Wi(e), (3)

i=-2

где B5,i(n) — система базисных сплайнов (Б-сплайнов), а Wi(^) — неизвестные функции, подлежащие определению. В классическом методе сплайн-коллокации [1] предлагается выбрать функции W-2, W-i, Wn+i, Wn+2 таким образом, чтобы удовлетворить граничные условия прип = 0 и п = 1. В этом случае вместо (3) будем иметь

N

w(^,n) = E ^i(n )Wi(e).

i=0

Такой выбор указанных функций возможен только для довольно узкого класса граничных условий. Так, для параллелограммной пластинки он может применяться только в случае, когда края п = 0 п = 1 заделаны жестко [4]. С целью расширения области применения метода сплайн-коллокации была произведена его модификация.

Представление функции прогиба сохраняет вид (3). Подстановка (3) в (1) при п = П* позволяет получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимирующую исходное уравнение в частных производных. Для замыкания этой системы к ней добавляются дополнительные уравнения, представляющие собой подстановку (3) в выражения граничных условий на краях п = 0 и п =1 продифференцированные вдоль края несколько раз с тем, чтобы они включали в себя старшие производные искомых функций. Полученная система приводится к нормальной форме Коши

Y' = AY + B, (4)

Y

Подстановка (3) в условия закрепления краев £ = 0 и £ = 1, записанные в точках коллокации п = п* Дает 4N + 4 граничных условия. Для корректной постановки краевой задачи необходимо добавить дополнительные граничные условия, получаемые из рассмотрения угловых точек пластинки [5].

С помощью такой модификации метода сплайн-коллокации были решены задачи статического изгиба параллелограммной пластики с равномерно распределенной поперечной нагрузкой q(x,y) = q0 = const при следующих условиях закрепления краев.

1. Жестко заделанный контур. На всех краях пластики выполняются условия

dw „ ч

w = 0, — =0. (5)

dn

2. Консольная пластинка (рис. 2). Один из краев заделан жестко (5), а остальные свободны от нагрузки:

Mn = 0, N * = 0. (6)

3. Свободная от заделки пластинка с шарнирным подкреплением в углах (рис. 3). На всех краях плстинки ставятся граничные условия (6), а в угловых точках требуется выполнение условий

w = 0, Mn = 0. (7)

Рис. 2.

Рис. 3.

В таблице приведены значения величин wE/qo для пластинок с различными углами наклона а для трех указанных выше случаев и значения, приведенные в [4] для случая пластинки с жестко заделанным контуром. Для расчетов использовались значения а = Ь = 10м, Н = 0.1м, V = 0.3.

а WiE/qg, м W[4]E/qo, м W2E/qo, м WaE/qo, м

1° 15° 30° 1.381 ■ 105 1.226 ■ 105 0.840 ■ 105 1.224 ■ 105 0.8405 ■ 105 1.411 ■ 107 1.450 ■ 107 1.348 ■ 107 2.783 ■ 106 2.418 ■ 106 1.622 ■ 106

Сравнивая приведнные значения, можно заметить хорошее совпадение результатов расчета для первого случая со значениями, приведенными в [4].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Григоренко Я.М., Крюков H.H. Решение задач теории пластин и оболочек е применением сплайн-функций (обзор) // Прикладная механика, 1995, Т. 31, вып 6, С, 3-27,

2, Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН, 1961, Т. XVI, Вып, 3 (99), С, 171-174,

3, Виноградов Ю.И., Виноградов А.Ю., Гусев Ю.А. Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики, // Математическое моделирование, 2002, Т. 14, вып, 9, С, 3-8,

4, Крюков H.H. Расчет косоугольных и трапецеидальных пластин с помощью сплайн-функций // Прикладная механика, 1997, Т. 33, вып, 5, С, 77-81,

5, Доннел Л.Г. Балки, пластины и оболочки. Пер, с англ, / Под ред. Э.И, Григалюка, М.: Наука. 1982. 568 с.

УДК 533.6.011:632.529

Г.Д. Севостьянов

МЕТОД РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛЯРНОГО ОТРАЖЕНИЯ КОСОГО СКАЧКА ОТ СТЕНКИ

В статье предложен метод расчета параметров течения газа при регулярном отражении косого скачка от плоской стенки на основе уравнений Чаплыгина. Сравнение вычисленных параметров с экспериментальными удовлетворительно для числа Маха (1 ^ 3).

Уравнения Чаплыгина [1, §16, 17] для плоского безвихревого установившегося течения идеального газа

Рв = -Фа, Ра = K(а)фв (1)

(где р — потенциал скорости, ф — функция тока, 9 — угол наклона вектора скорости к оси ж; K, а — функции Чаплыгина) приводятся к нелинейной системе в дивергентной форме

k(u)u^, = (L(u))y, = v-ф,vip = Пф, u = —са, v = c9, k(u) = — K(а), (2)

3

с =(y + !)( 7 — 1 ,M0) = 0,fc' (0) = 1,