Базисность Рисса собственных и присоединенных функций индефинитных квазидифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Пенроуз Р. Твисторная программа // Твисторы и калибровочные поля. М., 1983. С. 13-27.

3. Ермаков Ю. И. О внутренних связностях и вторичных характеристических классах векторных расслоений с послойной тензорной структурой // Изв. вузов. Матем 1986. № 1. С. 33 -43.

УДК 517.928

И. И. Ефремов

БАЗИСНОСТЬ РИССА СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ИНДЕФИНИТНЫХ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*

Введение. Пусть на отрезке [ОД] задан линейный квазидифференциальный (к.д.) оператор, определяемый выражением

А,У=У[п],

ОкУ = У*1 = 1РШ~у[к~1] + "¿Ч/У71 , где к = п,п-1....Д, (1)

ах j=o

А У = РооУ, ОЛ]

и линейно-независимыми нормированными [1, с. 65] краевыми условиями ич {У) = иу0 (у) + £/у1 (у) = 0, V = 1,2,.. „п, к -1

иу0{у) = а^\0)+ X (0), (2)

7=0 £ -1

^100 = ^41)+ Е А^О),

7=0

где еС, | ау | +1|> 0 для 1<у<л, п-\>кх>...>кп>0,

^>^+2 л™ ? = и...,и-2.

Если для любого & = 0,1,...,л функции Р/С/С(х) являются постоянными числами или ступенчатыми функциями (комплексными, отличными от 0), то оператор А", определенный (1), (2), называется индефинитным к.д. оператором.

Рассмотрим задачу о базисности Рисса собственных и присоединенных функций оператора К

Ку = Лу. (3)

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 00-01-00075) и программы "Ведущие научные школы" (проект №00-15-96123).

К.д. выражение Dny = у^ является обобщением линейного дифференциального выражения и-го порядка [ 1, с.13]

l(y) = y(n) + P1yi"'l)+... + Pny. (4)

Спектральные задачи для оператора К являются обобщением спектральных задач о собственных и присоединенных функциях (с.п.ф.) для дифференциальных операторов с весовой функцией г(х), т.е. задачи вида

1у = Яг(х)у. (5)

Задачи, аналогичные (5), были предметом многочисленных исследований Лангера (см., например, [2]) и других авторов. В этих исследованиях г(х) предполагалась достаточно гладкой функцией, а 1(у) имело специальный вид.

W. Eberhard, G. Freiling, А. Schneider (см., например, [3]) в наиболее общем виде рассмотрели спектральные задачи для дифференциальных операторов со ступенчатой весовой функцией г(х). При этом предполагалось, что г(х) принимает только действительные значения, коэффициент Р\(х) в(4) либо тождественно равняется 0, либо является достаточно гладкой функцией, а краевые условия удовлетворяют определенным условиям, называемыми условиями регулярности. При этом вопрос о базисности Рис-са с.п.ф. немецкими математиками не рассматривался.

Условия регулярности. Будем далее рассматривать следующие два случая:

Рпп - ступенчатая функция,Р^ = 1 для к = 0,...,и -1 (6)

Pqо - ступенчатая функция, Р^ = 1 для к = 1,...,п. (7)

Пусть отрезок [0,1] разбит на (/и +1) интервалов Iq,I\,...,Iт, /0=[а0= 0,я,), /,[аьаг), 1т =[ат,ат+1), а0=0<а1 <...< ат <am+l= 1.

Пусть в случае (6) Р„„(д) = — для хе Iр, р = 0,\,...,т.

ГР

Пусть в случае (7) Pqq(х) = — для х е Iр, р = 0,1,...,/и.

ГР

Rp=(-V)n+li"rp, р = 0,1,...,/и. (8)

Пусть S - сектор р -плоскости, определенный в [4]. Тогда в S-секторе корни п -й степени из (--/?*) - {®kj}j=i,...n можно занумеровать таким образом, что

11ерсои <...<Repcoto, <хЛ*'

в(х1...ха-,ха...х„) = aiX{

к = 0,1,...,/и, peS.

.. ... ß^ а242 ßz42+i

... a„4"ß„**"+1 ... ß„x*<

n

Определение. Будем говорить, что оператор АГ порожден регулярными краевыми условиями, если в любом 5 -секторе отличны от 0 следующие определители: для и = 2ц

В этом случае имеет место следующая теорема. ТЕОРЕМА. Пусть для и = 2ц arg г, - arg rj Ф 0 при ; Ф j,

для и = 2ц-1 argг0 =... = argrm, где 0<arg^, argry <2п. Оператор К порожден регулярными краевыми условиями. Тогда собственные и присоединенные функции оператора К, определяемого условиями (1), (2), в случае (6) или (7), образуют базис Рисса в пространстве

1. НаймаркМ. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

2. Longer R. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the second order, with spectral reference to the Stokes phenomenon // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. Vol. 40. P. 545 - 582.

3. Eberhard W., Freiling G., Schneider A. Expansion theorems for a class of regular indefinite eigenvalue problems // Differential and Integral Equations. 1990. Vol. 3. November. P. 1181 - 1200.

4. Ефремов И. И. Асимтотика собственных значений индефинитных квазидифференциальных операторов // Математика, механика, математическая кибернетика. Саратов, 1999. С. 32.

G(/Cö0!,..., Кй0ц; котц+1,../со^), 9(/со01,...

е(/ю01,---,'со0ц;/й)тц,гсотц+2,...,/сомл);

для л = 2ц-1

9(/со01, ...,/со0ц_1;/сйтц,...,/юцл), 9(/co01,..., /со0ц; /ютц+1,..., т^).

12[0,1].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ