CC BY
17
h(D,B„(x,r))-> min .
xeRp,r<О
Этот факт доказан в работе [9]. Авторам известны и другие случаи, когда такая эквивалентность имеет место.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. DOcagneM. Sur certain figures minimales // Bull. Soc. Math. France. 1884. Vol. 12. P. 168 - 177.
2. Lebesque H. Sur quelques questions de minimum, relatives and courbes orbiformes, et sur leurs rapportes avec le calcul des variations // J. Math . Pures. Appl. 1921. Vol. 4. P. 67 - 96.
3. Bormesen T., Fenchel W. Theory der konvexen Korper. Berlin. Springer - Verl.,
1934.
4. Vincze St. Über den Minimalkreisring einer Eiline // Acta. Sei. Math. Acta. Univ. Szeget. 1947. Bd. 11, № 3. S. 133 - 138.
5. Vincze I. Über Kreisringe, die eine Eiline einschlissen // Studia Sei. Math. Hungrica. 1974. Bd. 9, №1/2. S. 155 - 159.
6. KritikosN. Über konvexe Flachen und einschiiessende Kugeln // Math. Ann. 1927. Bd. 96. S. 583 - 586.
7. Baranyl. On the minimal ring Containing the boundary of convex body // Acta. Sei. Math. Acta. Univ.Szeged. 1988. Vol. 52, № 1/2. P. 93 - 100.
8. ZuccoA. Mnimal shell of a typical convex body // Proc. Amer. Math. Soc. 1990 Vol. 109, № 3. P. 797-802.
9. Никольский M. С., Силин Д. Б. О наилучшем приближении выпуклого компакта элементами адциала//Тр. МИ РАН. 1995. Т. 211. С. 338 - 354.
10. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.
11. Дудов С. И. Субдифференцируемость и супердифференцируемость функции расстояния // Матем. заметки. 1997. Т. 61, № 4. С. 530 - 542.
УДК 514.76
Ю. И. Ермаков
УСЛОВИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ ПОСЛОЙНЫХ ОБЪЕКТОВ ТВИСТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ
1. Воздействие сил эволюционного развития неотвратимо ведёт к формированию целостного взгляда на окружающий мир, что в научном познании стало осознаваться как необходимость перехода к новой системе взглядов, к новой парадигме, способной объединить разные виды знания о действительности. Так, наблюдавшееся долгие годы разобщение между теоретической физикой и геометрией в настоящее время начинает исчезать. Современное понятие калибровочного поля, возникшее в физике, имеет глубокие корни в физических явлениях. Поэтому физики с большим
изумлением восприняли весть о том, что калибровочные теории, с математической точки зрения, являются теорией связностей в расслоениях, теорией, разработанной математиками безотносительно к физической реальности. Теория связностей дала надёжный математический фундамент многим физическим понятиям, а калибровочные теории наполнили физическим смыслом многие понятия математики (см., например, [1]). Построение квантовой теории в современной физике требует от математического аппарата такого понятия, как топологическая сложность, поэтому для современной математической физики недостаточно одних локальных методов, необходим переход к глобальным аспектам геометрии.
Прототипом калибровочных теорий служит теория электромагнитного поля. Характеристика электромагнитного поля - электромагнитный потенциал, говоря геометрическим языком, определяет связность в главном расслоении с типовым слоем £/(1) над пространством Минковского. Поле электромагнитных сил является кривизной этой связности. Неабелевы калибровочные теории получаются заменой группы С/(1) компактной неабе-левой группой Ли С. Тогда потенциал - это объект связности в главном О-расслоении над пространством Минковского, калибровочное поле есть кривизна этой связности. Волновая функция, описывающая состояние объекта, является сечением векторного расслоения, ассоциированного с главным.
Калибровочная теория впервые возникла в физике при попытках Г. Вейля объединить общую теорию относительности и магнетизм. Однако до сего времени проблема квантования гравитации не поддаётся решению. Английский математик и физик Роджер Пенроуз и его последователи надеются решить эту и другие проблемы с помощью твисторной программы [2], начало которой кладёт устанавливаемое соответствие между пространством твисторов и пространством Минковского. Более того, в настоящее время вынашивается более грандиозный замысел объединения с помощью калибровочной теории всех четырёх фундаментальных взаимодействий, создание теории супергравитации.
Целью настоящей работы является вывод условий инвариантности послойных объектов (сечений) относительно однопараметрических групп преобразований в общих векторных расслоениях, действительных или комплексных. Применение этих условий к расслоениям, возникающим в калибровочных теориях, приводит к некоторым характеристикам калибровочных полей Янга-Миллса.
2. Математическое описание калибровочных теорий естественным образом осуществляется с помощью расслоений, типовым слоем которых является некоторая группа Ли й, т. е. с помощью главных расслоений. Основной целью квантовой теории поля является стремление поместить все элементарные частицы в те же рамки, что и фотоны, кванты электромаг-
нитаого излучения. Геометрическая интерпретация возникающей при этом физической ситуации такова. Рассматривается структурированная частица, находящаяся в точке х пространства Л4 и имеющая внутреннюю структуру, т. е. набор внутренних состояний, отмеченных элементами группы б. При перемещении частицы её внутреннее пространство движется вместе с ней. Таким образом, полное пространство М всех состояний такой частицы представляет собой расслоённое пространство со структурной группой С. В приложениях обычно рассматриваются пространства, на которых группа б действует линейно. Такие расслоения называются векторными расслоениями со структурной группой б.
Структура векторного расслоения (М,Х,р) класса Сг{г = 1,...,»)
может быть определена [3] с/ -атласом векторных карт (вещественных или комплексных) на множестве М, заданном вместе с сюръективным отображением р на базисное многообразие X. Каждая векторная карта
С= (¡7, ае, Е) на М задаётся биективным отображением ае множества р(и) на декартово произведение и х Е открытого множества II на базе X на векторное пространство Е, причём выполняется условие С-1 Л
<Б(х, V)
-х, хеи, уе£\ Если задана векторная карта С, то для каж-
дой точки х<=и определяется биективное отображение С,х из Е на слой Мх = р{х) формулой Сх(у)= аг(х, у). Две векторные карты С- (¡У, аг, Е) и С = ^и , аг, Е^ на М называются С.г-согласованными, если существует
Сг-морфизм А, из открытого подмногообразия и Г\и в группу СЬ(е) автоморфизмов линейного пространства Е такой, что для любой точки
хе17 Г\ и имеет место равенство Сх = С х ° Морфизм X является
функцией перехода для векторных карт С и С . Если х - произвольная точка базы X, то на слое Мх существует одна и только одна структура линейного пространства такая, что для всякой векторной карты С отображение С * : Е —> Мх есть изоморфизм. Задание базиса (е,), / = 1,..., т, типового слоя Е определяет поле слоевых базисов е:(.*) = С'х(е( ), которое в физических приложениях называют калибровкой. При построении калибровочной теории для некомпактной группы ОЬ(т, С) геометрически удобно
рассматривать представление этой группы в пространстве Ст и иметь дело с комплексными векторными расслоениями. Калибровочное преобразование есть функция g(x)eGL(m, С), которая задаёт замену базиса в каждой
точке х. Свойство локальной тривиальности векторных карт всегда обеспечивает существование локальной калибровки. Глобальные калибровки существуют не всегда. Твисторные расслоения выделяются из общих векторных расслоений фиксированием в качестве типового слоя твисторного пространства, которым является пространство Т = С4 с заданной эрмитовой формой сигнатуры (+, +, -).
Применение векторных функторов к векторным расслоениям приводит снова к векторным расслоениям, на которых автоматически возникает структура, переносимая с исходных векторных расслоений. Если, скажем, N - векторный функтор (контравариантный, ковариантный или со смешанными переменными), то [ы(м\ X, /?*) есть векторное расслоение с типовым словом полученное действием функтора N на векторное расслоение (М, X, р) с типовым слоем Е. Калибровка на исходном расслоении переходит в калибровку на векторном расслоении, порождённом действием этого функтора.
Однопараметрическая группа (о.г.) послойных ф, -диффеоморфизмов Ф, векторного расслоения (М, X, р) - это пара дифференцируемых отображений (Ф,ЧР);Ф: Ях X X, таких, что для каждого / е Я определены диффеоморфизм ср,: X X и ср, -диффеоморфизм у,, удовлетворяющие условиям фг+^ - ф( ° фг= ф, ° ф^, 5 е К. О.г. (ф/, фг) определяет на тотальном пространстве М проектируемое векторное поле В\ задание такого векторного поля изначально определяет в общем случае локальную о.г. Производная Ли сечения А .Х-+М вдоль век-
г \\
торного поля В определяется формулой (ЬВА) = —
Л
\ ----ч
Сечение А инвариантно при действии (ф/; ф,) для каждого / тогда и только тогда, когда ЬВА = 0. Понятие производной Ли естественным образом распространяется на послойные объекты, полученные действием функторов. Если N - контравариантный (для определенности) функтор, то производная Ли объекта ТУ типа N относительно о.г. (фг, ф,) определяется как производная Ли сечения относительно индуцированной о.г. (ф(, Лг(ф7')) векторного расслоения (ы(М\ X, р*). Равенство ЬВЖ = 0 является необходимым и достаточным условием инвариантности послойного объекта IV.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. АтьяМ. Геометрия и физика узлов. М., 1995.
V -1
А
-1
. »»Мл/
2. Пенроуз Р. Твисторная программа // Твисторы и калибровочные поля. М., 1983. С. 13-27.
3. Ермаков Ю. И. О внутренних связностях и вторичных характеристических классах векторных расслоений с послойной тензорной структурой // Изв. вузов. Матем 1986. № 1. С. 33 -43.
УДК 517.928
И. И. Ефремов
БАЗИСНОСТЬ РИССА СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ИНДЕФИНИТНЫХ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*
Введение. Пусть на отрезке [ОД] задан линейный квазидифференциальный (к.д.) оператор, определяемый выражением
а,у=у[п],
ОкУ = У*1 = 1РШ~у[к~1] + "¿Ч/У71 , где к = п,п-1....Д, (1)
ах j=o
А У = РооУ, ОЛ]
и линейно-независимыми нормированными [1, с. 65] краевыми условиями ич {у) = иу0 (у) + £/у1 (у) = 0, V = 1,2,.. „и, к -1
иу0{у) = а^\0)+ X (0), (2)
7=0 £ -1
^100 = ^41)+ Е А^О),
7=0
где еС, | ау | +1|> 0 для 1<у<л, п-\>кх>...>кп>0,
^>^+2 л™ ? = и...,и-2.
Если для любого & = 0,1,...,л функции Р/С/С(х) являются постоянными числами или ступенчатыми функциями (комплексными, отличными от 0), то оператор А", определенный (1), (2), называется индефинитным к.д. оператором.
Рассмотрим задачу о базисности Рисса собственных и присоединенных функций оператора К
Ку = Лу. (3)
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 00-01-00075) и программы "Ведущие научные школы" (проект №00-15-96123).
