CC BY
20
ром Ь имеет место равенство р (X (У0, Ь ), V (у (У, Ь )) < V (У0) < 1.
М п Ек) = е; тогда имеем V (у (уо,Ь )) * 1 таким образом, получили противоречие,
но в силу свойства 3 окончательно доказывающее теорему.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зубова А. Ф. Математические методы моделирования промышленных процессов и технологий / А. Ф. Зубова. СПб. : СПбГУ, 2004. 472 с.
Поступила 15.06.2012.
УДК 517.91
ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТНОСТИ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПЕРВОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
В. Н. Щенников, А. Н. Наумкина, Т. Н. Явкина, Ю. И. Голечков, И. Г. Башмаков
Дано развитие первого метода Ляпунова в части исследования окрестности нулевого решения обыкновенных аналитических дифференциальных уравнений.
Настоящая статья связана с результатами работ А. М. Ляпунова [3], Брио и Буке [5], А. Пуанкаре [7], Э. Пикара [6], а также с работами Н. П. Еругина [1], А. А. Шеста-кова [4], В. И. Зубова [2] и дает их дальнейшее развитие.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
йхь п
-тг = £ %ху + ^(Х!, ...,хк), аг ¿=1 (1)
к = 1, ...,п,
в которой ащ — постоянные; ^(х-ь .••, хп) — степенные ряды относительно переменных Ху, ..., хп, сходящиеся в заданной окрестности точки Х1 = к = хп = 0 и разложение
которых не содержит ни постоянных, ни линейных членов. Система (1) предполагается действительной и будут исследоваться действительные решения
хг = хг(Ь), к = 1, п, (2)
которые асимптотически сходятся к началу
при t ^ +<», т. е. действительные решения, для которых
lim (xt2 + ... + х%) = 0. (3)
t^+св
Решения, обладающие свойством (3), называются 0+-кривыми. В дальнейшем их будем называть асимптотическими решениями.
При n = 2 известные результаты [3; 5 — 7] могут быть сформулированы в виде теорем 1 и 2.
Теорема 1. Пусть характеристические
II Wn'n
числа постоянной матрицы A = |a£./системы (1) являются либо отрицательными и при этом ни одно из них не является целым кратным других, либо сопряженными комплексными числами с отрицательными вещественными частями. Тогда все решения в окрестности нуля есть действительные асимптотические решения уравнения (1) при t ^ Если характеристические числа являются вещественными и противоположных знаков, то решение в достаточно ограниченной окрестности начала координат принад-
© Щенников В. Н., Наумкина А. Н., Явкина Т. Н., Голечков Ю. И., Башмаков И. Г., 2012
лежит асимптотическому вещественному решению системы (1) при Ь ^ тогда и только тогда, когда это решение принадлежит некоторой вещественной аналитической дуге, содержащей решение в достаточно малой окрестности начала координат.
Теорема 2. Пусть т из собственных чисел постоянной матрицы А системы (1) отрицательны или имеют отрицательные вещественные части, а остальные п — т положительны или имеют положительные вещественные части. Пусть элементарные делители характеристической матрицы являются линейными, и если ни одно из линейных отношений
Хк = р111 + ■■■ + ртХт,
к = ■■., т; рк = 1 ... ; р1 +... + рт > 2
не выполняется. Тогда точка в достаточно малой окрестности начала координат принадлежит асимптотически действительному решению системы (1) при Ь ^ тогда и только тогда, когда эта точка принадлежит действительному аналитическому т-мерному многообразию, регулярному в нуле.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 3. Пусть задана система дифференциальных уравнений
¿к = Хкгк + Рк(2Ъ •••, гш), к = 1, •••, п, где г к — вещественные или комплексные переменные и F|,(zl, ..., гп) — вещественные или комплексные степенные ряды относительно переменных г^, ..., гп, сходящиеся в заданной окрестности ^ = ... = гп = 0, и разложения которых начинаются с членов по крайней мере второй степени относительно переменных г1, ..., гп. Константы Х^, могут быть вещественными или комплексными и предполагается, что Х1, ..., Хт имеют отрицательные вещественные части, в то время как Хт + 1, ..., Хп имеют положительные вещественные части. Кроме того константы Х^ таковы, что ни одно из линейных соотношений
Хк = Р111 + к + ртХт, к = 1 к, т не выполняется, где Р1, ..., рт обозначают целые неотрицательные числа, для которых Р1 + к + Рт > 2.
Если Ср ..., Ст обозначают т произвольных вещественных или комплексных постоянных, то можно найти степенные ряды относительно аргументов г^ ..., гп, которые сходятся для достаточно малых абсолютных значений этих аргументов и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений. Эти степенные ряды имеют вид
2у = му + Ру(м1, ..., мт), у = 1, ..., т, (4а)
гк = Рк(щ, ..., ит), к = т + 1, ..., п, (4б)
где разложения степенных рядов Р^ ..., Рп начинаются с членов по крайней мере второй степени относительно переменных и^ ..., ит. При этом
и1 = С1 eХlí, к, ит = CmeХmí, (5)
где С (г = 1, т) — постоянные.
Доказательство. Так как комплексные собственные числа вещественной матрицы А являются сопряженными, то можно записать
Х2И1-1 = Х2г1, Хг>2 = Хг>2 < 0
(6)
»1 = 1, Jо, »2 = 2/о +1, т, Хт+2»3-1 = Хт+2»3, »3 = 1, -•, ^0,
Х»4 = Х»4 > 0, »4 = т + 2ко + 1, ..., п,
где /о, ко — целые числа, такие, что 0 < 2/о < т, 0 < 2Ао < п - т. Величины »1,
»2, »3, »4 всегда будут использоваться в дальнейшем в том же смысле. Таким образом, для обозначения действительной и мнимой частей комплексных характеристических чисел, будем иметь
Х2»1-1 = + ibv1, Х2г1 =
Хт+2^3-1 = ат+^з + гРт+^з,
-ф,
»1»
Х,
т+2&з
¿Р;
т+^з ■
Из линейной алгебры известно, что существует вещественное линейное преобразование с отличным от нуля определителем преобразования переменных х^, ..., хп в переменные У1, ..., у , а также системы (1) в систему
уу2»1-1 = а»1 у2И1-1 + Ро1у2г1 + + F2v1-1(Уl, Уn),
= Р»1у2»1-1 + ао1у2г1 +
+ Ф2v1(Уl, Уn), уу»2 = Х»2 У»2 + Ф»2 (у1, -, уп), (7)
уут+2»з-1 = ат+»з ут+2»з - 1- р т+»з ут+2»з + + ®т+2г>з-1(у1, уп), ут+2»з = Рт+»з ут+2»з-1 + ат+»з ут+2»з + + ®т+2г>з(у1, уп),
^ = Х»4У»4 + ф»4(Уl, Уn), где Ф1, ..., Фя — вещественные степенные
ряды относительно переменных У1, ..., уп, разложение которых начинается с членов по крайней мере второй степени этих переменных.
Если комплексные переменные ..., гп определены с помощью соотношений
(к)
г2г>1-1 - у2ъ\ -1 + гут1, г2г1 - у2ъ\-1 - гу2гч>
: у2г>2 ,
ггп+2из -1 — ут+2г>з-1 + гут+2гд> гт+2^з — ym+2vз-1 - Щт+2из> — у^4, то систему (7) можно записать в виде
гк
= ^ + Е л® к грп,
причем остальные постоянные С^ ^, для
которых к1 + к + кп = 1, к = 1, —, и, равны нулю. Выберем произвольные постоянные С-у, —, Ст в (5) так, что
Ср = Сд
(15)
(8)
^ Р1 ■■•Рп Р1+-+Рп а2 (9)
к = 1, -, п, А(к) = Л(- , ' Р1-Рп Я1-Яп
если 1к = 1 - и ..., Цп являются перестановкой чисел Р1, рп, полученной при замене каждой пары р/ , для которых к, / таковы, что —11-
Из (8) следует, что решение системы (7) будет действительным только и только тогда, когда соответствующее решение (9) удовлетворяет условию
_ гк = - (10) когда 1 к = 1 Построим решение системы (9), удовлетворяющее названным условиям.
Из определения »1, »2, »3, »4 в (6) и из условия (9) следует, что если
^02' 2т+2оз-1' 2т+2о3' ^04 (11) обозначает множество из п вещественных или комплексных функций от t, которые являются решением системы (9), то множество
г2г>1-1, г2г>1> гЮ2 ' гт+2о3-1, гш+203, ^04 (12)
полученное из (11) заменой ^(0 на если 1 к = 1 - (1 < к < - < и) также представляет решение системы (9). Поэтому решение системы (7), полученное из (8), будет действительным только тогда, когда два решения (11) и (12) системы (9) совпадают.
Записывая решения (4а) и (4б) в виде
гк— х с(к),кти\к ■■■г>кт, (13)
к\+к+кт >2
где для ^ + . + ^ = 1, получим
с!;) кт= 1 к = 0' .' к, = 1' к 0™ ■ 1 ' (14)
кт = 0; ] = 1' ...' т'
при 1 р = 1д(р < ^ < т), и, следовательно,
ир = ия, (16)
если 1 р = 1 ц(р < д < т).
Подставляя (13) в (9) и приравнивая коэффициенты при и/1, —, икт, проверяем, (к)
что С^ ^ при к + . . . + кп = г(г > 2) и при фиксированном к можно записать в виде
многочлена С^ ^ с ^ + . . . + kn < г, к = % 2, —, и. Эти рекуррентные уравнения определяют Скк ^ однозначно как коэффициенты линейных членов относительно и^, —, ип из (13). Принимая коэффициенты линейных членов в и1, —, ип из (11), получаем из (16), что они совпадают с коэффициентами в линейных членах щ, . . ., ит из (12), и, следовательно, два решения совпадают.
Таким образом, если постоянные Су в (4) выбирать с учетом (15) и комплексное решение (13) из (9) подставить в (8), то можно получить вещественные решения системы (7), когда уравнения (8) решаются относительно У1, —, уп. Если записать
и2х1-1 = ^2и1-1 + ' и2v1
= ^2и1-1 - ' и2щ =
(17)
то вышеупомянутые вещественные решения (7) принимают вид
+ О/.• §т),] = 1, .• т,
(18)
Ук = Ок(§Ъ . ■ ; §т),к = т + 1 . ■ где О1, —, От обозначают вещественные степенные ряды, начинающиеся с членов по крайней мере второй степени относительно
вещественных переменных З4, . . ., дт, сходящиеся при достаточно малых Л' ... ' |Эт|. Если положить
C2vi-1 _ + C2vi _ ibv\' Cvj = av2 ,
то нетрудно показать, что
J
2v1 -1
: eavlt(av. cos pv,t - sin Pv,t),
^ = eavlt(a^ cos p„1t + 6ц sin p^t), (19)
u2vi = av2e 2 ■
Константы я^, b^, aV2 являются вещественными и произвольными. Поэтому из (18) и (19) следует, что существует действительное, аналитическое, m-мерное многообразие решений системы (7) в достаточно малой окрестности нуля У1 = ... = yn = 0. Это m-мер-ное многообразие регулярно в нуле, а так как at1> 1V2 отрицательны, то любые из его точек лежат на асимптотическом действительном решении системы (1) при t ^
Далее покажем, что достаточно малая окрестность У1 = ... = yn = 0 нуля не содержит точек на асимптотическом действительном решении системы (7) при t ^ кроме точек из указанного выше многообразия.
Решая первых m уравнений (18) относительно 91, ..., 9m и подставляя эти выражения в остальные n - m уравнений, получим уравнения из m-мерного многообразия в непараметрической форме
ck = Qk * (У1, к, Ут), k = m + 1, ..., n. (20)
*
где Q* обозначают степенные ряды, разложение которых начинается с членов второй степени по крайней мере для У1, к, ym и сходящиеся при достаточно малых |, ..., \ym |. Введем новые координаты h1, . ••> hm с помощью соотношений
hj = У], j = 1, к, m,
hk = Ук - Q *k (У1, к, ym), k = m + 1, к,n.
Дифференциальные уравнения (7) сохраняют свой вид после преобразования с у, замененными на h. Коэффициенты линейных членов остаются неизменными, и степенные ряды Ф1, к, Fm становятся степенными рядами относительно h1, . ••> hn, которые будем обозначать через ф*, ..., ф^ соответственно.
Последние n - m преобразованных уравнений должны удовлетворяться, если положить hm+1 = к = hn = 0, и, стало быть,
Ф *k = X ФыЛ/, к = т + 1, к, и, (21)
/=т+1
где Фу обозначают степенные ряды относительно переменных Г1, ■■■, Ги, не имеющие свободных членов. Умножая последние и - т преобразованных уравнений в гт+1, ■■■> Ги, соответственно, и складывая, получим
и и 2 и и
X ЛЙ k = X ВДй + X X
k=m+1 k=m+1 k=m+1 /=т+1
где использовано равенство (21) для замены Ф^ Положив
2 2 Р = hm+1 +
+ Ли> = Гк /Р> к = т + 1, к, п
в предыдущем уравнении и разделив на р2, находим
и 2 и и
р/р = X «№ + X X Фы^т/- (22)
k=m+1 k=m+1 /=т+1
Пусть а * = тш{ат+1, к, ап} и Ф* = = тах{|Фк11}, где Ф* = Ф * (п, к, гп) стремится к нулю, когда точка (гц, ..., гп)
стремится к точке h1:
hn = 0. Далее
2
mm+1 +
+ т« = 1, так что получим
п п
X X Фытут/ ^ (п - т)ф * ■
к=т+1 /=т+1
Следовательно, из (22) выводим, что
р / р > а * - (и - т)Ф*, а* > 0. (23)
Пусть у к = Ук(0 — действительное решение системы (7), асимптотически стремящееся к началу У1 = к = уп = 0 при Ь ^ +да, для которого не существует Ь такое, что решение лежит в т-мерном многообразии (20) для Ь > Ь.
Используя Г1, к, гп в качестве координат, будем иметь действительное решение Гк = Гк (Ь) преобразованной системы с тем свойством, что для любого положительного числа е существует > 0 такое, что выполняется
Л12 + к + Ли2 < е (24)
для всех Ь > Кроме того, должно существовать Ьо > такое, что для Л°к = Лк(Ьо),
2 _ 02 . R) = hm+1 +
+ hf - (к = 1,
n), выпол-
няется р0 > 0. Так как ф * сколь угодно мала в окрестности нуля Л1 = • • • = Лп = 0, то возможно выбрать е вначале столь малым, что
ф* = ф * (Л1(£), к, цп(Ь)) < а * / 2(п - т)
для Ь > ЬЕ.
Тогда неравенство (23) принимает вид р / р>а * / 2 для Ь > Интегрируя от to до Ь > ¿о, находим
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Еругин Н. П. Аналитическая теория нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин // ПММ. 1952. Т. 16, вып. 4. С. 465 486.
2. Зубов В. И. Устойчивость движения / В. И. Зубов. М. : Высш. шк., 1973. 272 с.
3. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. М. ; Л. : ГИТТЛ, 1950. 473 с.
4. Шестаков А. А. Некоторые теоремы о неустойчивости в смысле Ляпунова / А. А. Шеста-ков // ДАН СССР. 1951. Т. 79, № 1.
5. Briot. Recherches su rles propriétés des founctions definies par dies équations différentielles / Briot, Bouquet // I. Ecole Polytech. 1856. Vol. 21.
6. Picard E. Traite d'Analyse / E. Picard // Paris : Gauthier-Villars et fils. 1896. T. 3.
7. Pouncare H. Su r les proprietes des founctions definies par les equations differentielles / H. Pouncare // I. Ecole Polytech, Cahier. 1878. Vol. 45.
Поступила 13.02.2012.
р > р0е(в*/2)(Ь
что, учитывая а* > 0, приводит к противоречию с неравенством (24).
Так как преобразование системы (1) к системе (7) было действительным линейным преобразованием с отличным от нуля определителем, то теорема 3 доказана.
УДК 517.956
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ
А. А. Султанбеков
В настоящей работе рассматриваются существенно нелинейные разностные системы треугольного вида, находящиеся под воздействем нестационарных возмущений. С помощью дискретного аналога метода функций Ляпунова доказывается теорема об асимптотической устойчивости по нелинейному треугольному приближению. Показывается, что для некоторых классов систем полученные условия, при которых возмущения не нарушают устойчивости нулевого решения, можно ослабить.
Постановка задачи. Пусть задана система разностных уравнений
х(к + 1) = х(к) + / (х(к)), (1) где х(к) = (х^к), ..., хп(к)) , компоненты вектора /(г) являются непрерывно дифференцируемыми при всех г е Еп однородными функциями порядка т > 1. Из однородности /(г) следует, что система (1) имеет нулевое решение.
Предположим, что нулевое решение однородной системы дифференциальных уравнений г = /(г) асимптотически устойчиво. Тогда нулевое решение системы (1) тоже асимптотически устойчиво [2].
Наряду с системой (1), рассмотрим возмущенную систему
х(к + 1) = х(к) + / (х(к)) + г(к, х(к)). (2)
Будем считать, что векторная функция
© Султанбеков А. А., 2012
