Устойчивость инвариантных множеств периодических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.912

УСТОЙЧИВОСТЬ инвариантных множеств ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ*

С. В. Зубов

В настоящей статье изучаются свойства инвариантных множеств динамических периодических систем, определяющих уходящие движения. Предложена методика свертки фазового пространства в многомерный тор таким образом, что инвариантные множества, соответствующие предельным множествам уходящих движений, оказываются ограниченными. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости таких множеств.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

_ Л (х1, •••> хк, ¿1, •••> ¿п-к), ¿у = ду (•••> ХЪ ¿1> •••> ¿п-к)>

з = 1, • .., к, у = 1, • .., п - к.

(1)

Здесь и далее X = (Х1, •..,Хк) ,

Х = (Х1 Хп-к) ■

По теореме единственности справедливо равенство

(¿,х0,) = х; (¿,х0,х0 + 2пщ, ...,

Условия существования и единственности решений системы (1) будем считать выполненными. Пусть правые части системы След°вательн° (1) являются периодическими функциями ¿1, ..., гп_ь с периодом 2р. Пусть решения

х°п-к + 2Ртп-к ) ■

ТА

являются уходящими по ¿1,

¿п-к

1) существует неограниченная после-

гу X0, х? + 2пщ, ..., хП-к + 2птп-к)

= Xу (¿, X?, х0) + 2пшу.

Пусть {¿п} — неограниченная последова-довательность значений параметра тельность значений параметра такая, что

да, выполнено х5(^п)

{К} : Ъ

и^да

е (-да; +да);

2) для любой неограниченной последовательности : ^ да выполнено

п^да

(¿и ) ^да-

Рассмотрим решение системы (1) с начальными данными:

X (£п, X , 2 ) ^ X. Указанным выше спосо-^ V > I 0 п\

бом каждому 2п = 2 |£п, X , 2 ) можно поставить соответствие Хп е [0;2я)п к . Поскольку хп лежат в компакте

[0; 2п)п-к = [0; 2п ) х •.. х [0; 2 л),

п-к

из них можно выделить сходящуюся под-

Х-0 , Х2 ,

у = 1, .

х0,

= х0 + 2рш

х0

[0, 2р],

где Му целые. Если в системе (1) сделать замену переменных г у = X у + 2яш у, то правые части не изменятся, система перейдет «сама в себя».

хз = /з (X, X), Xу = ду (X, X), з = 1, •, к, у = 1, •.., п - к.

последовательность {X*} : х'" ^ х, х е £п-к-Точку (X, X) е Еп назовем ю — предельной точкой движения X = X X0,), 2 = 2 X0,20 ).

Определение 1. Будем говорить, что в пространстве Еп = Ек х Еп-к задана динамическая периодическая система относительно Еп-к, если задана векторная функция

У = У (Уо^), удовлетворяющая условиям:

* Рйботй выполнена пра финансовой поЭЭержке Российского фонЭй фундаментальны* исследований (РФФЯ) (проект № /0-08-000624).

© Зубов С. В., 2012

1) для любого е £и определена единственная кривая У (Уд, t) такая, что У = У0 при t = 0;

2) У (Уд, t) — непрерывная функция своих аргументов;

3) для любых значений параметра t2 выполнено условие y(y(y0,t1

)t2) = У(У0,

tl + t2) (условие группы);

4) для первых k компонент ..., Хк

вектора У = (Х1, ..., хк, ..., 2и-к) выполнено условие

х5 (х0, к, X0,г0 + 2ят1; к, +

+ 2%тп_к,е) = х (х0, к, х0,г0, к, ),

где t е (-да; да), щ, ..., мп-£ — произвольные целые.

Предположим, что существует последовательность {:п} такая, что :п ^ да при п ^ да и

х5 (Уд,^) ^ х5 е (-да; да). Наряду с кривой

У(Уд), рассмотрим кривую с начальными данными

У(5 = (Х0, к , Х0, 20 + 2рт1, к , + 2РтП-6 ) .

В силу свойства 4 эти кривые будут совпадать, следовательно, если сделать замену г у = Xу + 2пт]- (у = 1, ..., п - £), то кривая системы X, Z с начальными данными

Х1, ..., Хо, ¿1, ..., ¿„-к будет совпадать с кривой системы X, х с начальными данны-

0 0 60 60 , х

ми х1, . , хй, Хъ Хи-Ь но Ху уже будут лежать в компакте. Значение Ху, сопоставленное указанным выше способом значению 2у, будет обозначать Ху(гу).

Определение 2. Точка У = (Х1, ..., х^, ¿1, ..., 2п-к) называется ю-предельной точкой

движения У = У (У)^), если существует неограниченная последовательность значений параметра {:„} : ^ да такая, что последовательности Х5 (у0,^„) , Xу (¿у (уоЛ)) сходятся к конечным значениям:

х5 (У0,:и) ^ Х5, 5 = 1 k,

Ху (гу (У0,:„)) ^ у ; = 1, и - к.

Определение 3. Множество М с Еи = = £к х Еи-к называется Е — инвариантным по отношению к динамической периодиче-

ской системе Y = Y (Y0, t), если из Y0 е M следует X (Y0,t) е MEk, где

M£fe = M n =

= {X е Ek : 3Z е E„_b (X,Z) е M}.

Замечание 1. Понятие Efe — инвариантного множества является некоторым расширением понятия инвариантного множества. Действительно, все инвариантные множества и — инвариантны, а из — инвариантности в общем случае не следует инвариантность.

Замечание 2. Аналогичные определения можно ввести и при t ^ -да.

Теорема 1. Множество WyQ w — предельных точек движения Y = Y (Yg,t) Ek — инвариантно и замкнуто.

Доказательство. Пусть (X, Z) — «-предельная точка движения Y = Y (Yg,t), следовательно, существует последовательность значений параметра {tn} : tn ^ да, и

X(Y0,tn) ^ X, x(Z(Y0,tn)) ^ Z. По свойству 4) имеем

X (X0, Z0, t) ^ X (X0, X(Z0), t).

Поэтому

X(X, Z, t) = lim X(Y(Y0, tn), t) =

= lim X (Y0, tn + t),

следовательно,

X (X, Z, t) е Qy0 n Ek = WY0Ek "t, т. е. множество W^j является E^-инвариант-ным.

Покажем, что Wy-j замкнуто. Пусть (X, Z) — предельная точка множества Wy- , т. е.

существует последовательность {(Xn, Zn)} в £n такая, что

(Xn, Zn) е WY0, Xn ^ X, Zn ^ Z.

По свойству метрического расстояния имеем

р(Z(Y0, t),X) < p(X (Y0, t), Xn) + p (XX),

p(s (Z (Yo, t)), Z) < p(s(Z(Yo, t)), Zn) + + p(Zn, z).

Отсюда видно, что можно выбрать такую последовательность значений параметра {tn}, которая будет удовлетворять определению 2, т. е. точка X, Z е WyQ. Теорема доказана.

Определение 4. Замкнутое ¿^-инвариантное множество M с En называется устойчивым по Ляпунову, если по любому e > 0 можно указать величину S > 0, такую, что при р (Yo,M) < S выполняется р (X (Y0, t), M n Ek) < e Vt > 0.

Замечание 3. Под множеством M n Ek мы понимаем следующее множество: M n Ek = = {X e Ek : 3Z e E„_fe, (X, Z) e M}.

Теорема 2. Для того чтобы замкнутое E^-инвариантное множество было устойчиво по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы существовал функционал V(Y), заданный в некоторой r-полосе S (M n Ek, r) х х En-k (r > 0), удовлетворяющий условиям:

1) Vq > 03c2 > 0 : V (Y) > c2 при р (X, M n Ek) > ci;

2) Vg2 > 03g1 > 0 : V (Y) < g2 о о р (X,M n Ek) <g2;

3) V(Y(Y), t)) является невозрастающей функцией t при t > 0, Yo е S (M, S) пока

Y (Yo,t) е S.

Доказательство. Деобходилосмь. Пусть замкнутое ¿¿.-инвариантное множество М устойчиво по Ляпунову. Покажем, что условия теоремы выполнены. Возьмем некоторое e > 0. Ему, согласно определению 4, отвечает величина S > 0, такая, что при

р (Y0, M) < S будет р (X(Y0, t),M n Ek) < s. Положим

V (Y0) = sup p (X (Y0,t), M n Ek ).

t> 0

Этим функционал определен в S (M n Ek, r) х En-k. Функционал удовлетворяет условию 1), так как V(Y) > р(X, M n Ek), откуда следует, что при р (X, M n Ek) > ci, р (Y),M) < S будет V (Y) > C2 (ci = c^).

Покажем, что имеет место условие 2. По величине g2 > 0 в силу определения 4 можно указать величину gi >0, такую, что при

р (Y0, M) <gi будет р (X (Y0,t),M n Ek) <

< g2 "t > 0. Следовательно,

sup р (X (Yo,t), M n Ek) <g2, t>0

а тогда V (Y) < g2 при р (x0,M n Ek) < gt,

так как р (X0, M n Ek) < р(Y0, M). Значит, функционал V(Y) удовлетворяет условию 2. Покажем справедливость условия 3.

Пусть Y0 е S (M, S). Тогда X (Y0, t) е S (M n n £k > e ) и определено значение функционала

в любой точке Y (Y), t), t e (0; T). Очевидно, что

V(Y(Yo, t)) = supр(X(Y(Yo, t), t),M n Ek) =

= sup р(X (Y0, t + t),M n Ek) =

t>0

= sup р(X(Yo, t), M n Ek) <

t >t

< sup р(X(Yo, t),M n Ek) = V(Yo).

t>o

Итак, V (Y (Y0, t)) < V(Y0). Этим доказана необходимость.

Досмамочносмь. Пусть в некоторой окрестности множества M n Ek х En-k существует функционал со свойствами 1—3. Покажем, что замкнутое E^-инвариантное множество М устойчиво.

Возьмем e > 0 (e < r) и, следуя [1], положим

l = inf V (Y) при р (X, M n Ek) = e.

В силу свойства 1) l > 0. В силу свойства 2 по величине l можно указать величину S такую, что при р (X0, M n Ek) < 5 будет V (Y0) < l. Покажем, что найденная величина S соответствует взятому e в определении 4, т. е. при р (Y0,M) < S будет

р (X (Y0, t), M n Ek) < s "t > 0. Предположим противное: пусть существует точка Y0 е S (M, S) , такая, что при некото-

ром £ имеет место равенство р (X (У0, Ь ), V (у (У, Ь )) < V (У0) < 1.

М п Ек) = е; тогда имеем V (у (уо,Ь )) * 1 таким образом, получили противоречие,

но в силу свойства 3 окончательно доказывающее теорему.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зубова А. Ф. Математические методы моделирования промышленных процессов и технологий / А. Ф. Зубова. СПб. : СПбГУ, 2004. 472 с.

Поступила 15.06.2012.

УДК 517.91

ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТНОСТИ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПЕРВОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА

В. Н. Щенников, А. Н. Наумкина, Т. Н. Явкина, Ю. И. Голечков, И. Г. Башмаков

Дано развитие первого метода Ляпунова в части исследования окрестности нулевого решения обыкновенных аналитических дифференциальных уравнений.

Настоящая статья связана с результатами работ А. М. Ляпунова [3], Брио и Буке [5], А. Пуанкаре [7], Э. Пикара [6], а также с работами Н. П. Еругина [1], А. А. Шеста-кова [4], В. И. Зубова [2] и дает их дальнейшее развитие.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

йхь п

-тг = £ %ху + ^(х!, ...,хк), а£ ¿=1 (1)

к = 1, ...,п,

в которой а¿.у — постоянные; ^(х-ь .••, хп) — степенные ряды относительно переменных Ху, ..., хп, сходящиеся в заданной окрестности точки Х1 = к = хп = 0 и разложение

которых не содержит ни постоянных, ни линейных членов. Система (1) предполагается действительной и будут исследоваться действительные решения

Хк = Хк(£), к = 1, ..., п, (2)

которые асимптотически сходятся к началу

при t ^ +с», т. е. действительные решения, для которых

lim (xt2 + ... + х%) = 0. (3)

t^+св

Решения, обладающие свойством (3), называются 0+-кривыми. В дальнейшем их будем называть асимптотическими решениями.

При n = 2 известные результаты [3; 5 — 7] могут быть сформулированы в виде теорем 1 и 2.

Теорема 1. Пусть характеристические

II Wn'n

числа постоянной матрицы A = |a£./системы (1) являются либо отрицательными и при этом ни одно из них не является целым кратным других, либо сопряженными комплексными числами с отрицательными вещественными частями. Тогда все решения в окрестности нуля есть действительные асимптотические решения уравнения (1) при t ^ Если характеристические числа являются вещественными и противоположных знаков, то решение в достаточно ограниченной окрестности начала координат принад-

© Щенников В. Н., Наумкина А. Н., Явкина Т. Н., Голечков Ю. И., Башмаков И. Г., 2012