CC BY
32
2. Каяцкас А.А. Основы радиоэлектроники. - М.:Высш.шк.,1988. 464 с.
3. Манаев Е.И. Основы радиоэлектроники. - М.: Радио и связь. 1985. 488 с.
4. Трохименко Я.К. Ошибки формальной теории усилителей с обратной связью. //
Радиоэлектроника. - 1973. № 2. С. 1 27 - 134.
В. Д. Сташук К вопросу о классификации обратных связей в радиоэлектронных цепях. Показана необходимость анализа условий, при которых можно пренебречь прямой передачей сигнала через обратимый канал обратной передачи. Это позволяет обосновано подойти к определению вида обратной связи. V.D. Stashuk. To a question on classification of feedback in radioelectronic circuits. In the article, necessity of the analysis of conditions when it is possible to neglect direct transfer of a signal through the reversible feedback channel is shown. It allows to define a kind of a feedback correctly.
Надтшла доредакци 20 травня 2006року
УДК 621.372.061
АНАЛ1З Л1Н1ЙНИХ СИТЕМ В ОБЛАСТ1 ТРАНСФОРМАНТ КРАТНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ EIWAL
Pu6iH О.1., Ткачук А.П.
Запропоновано алгоритм розв 'язання диференцшних р1внянь р1вноваги лттних систем в базиЫ кратного ортогонального перетворення EIWAL.
Вступ. Постановка задачi
Розв'язання диференцшних piB^Hb piBHOBara лшшних систем, як вь домо, найбшьш ефективно реашзуеться при використанш перетворення Фур'е та спорщнених з ним (z-перетворення, перетворення Лапласа). Це забезпечило поширення перетворення Фур'е у нaйpiзномaнiтнiших галузях науки i технiки. Але розв'язання задач оброблення, пеpедaчi та apхiвaцil сигнaлiв часто вимагае переходу до шших, вщмшних вiд перетворення Фур'е ортогональних перетворень [1], як забезпечують краще стиснення шформаци або бiльшу зpучнiсть обробки [2-4].
Широкого розповсюдження набувають з цього приводу "кратш" орто-гональш перетворення, наприклад перетворення Фуp'е-Меллiнa, деяк ви-ди гомоморфних перетворень [5-6].
Метою дано! роботи е розроблення математичного апарату розв'язання диференцшних piвнянь в област кратного перетворення, оде-ржаного з власних вектоpiв дискретного оператора диференцдавання в базис Уолша-Адамара та перетворення Уолша, названого авторами перетво-ренням EIWAL (Eigenvector-Walsh).
Опис запропонованого методу
Як вщомо [7, 8], лшшне дифеpенцiйне piвняння
й х й х а---+ а .---+... + а.---+ а0 • х =
т йгт т-1 йгт-1 1 йг 0
Ь йпу йп-1 у Ь йу ()
= Ь —— + Ь ,--— +... + Ь- — + Ь0 • у
п йгп п1 йгп-1 1 йг 0 ^
в област трансформант Уолша-Адамара перетворюеться до вигляду
(2)
а • А + а , • А +... + а, • А• х + а0 • Е Xд
т т-1 1 О I д
==п ^=п-1
= I Ь • А + Ь ■ А +... + Ь • А• х + Ь • Е ЬУ
п-1 ^ .....^ ^ ' ^о ^ i -1 д
=к
де А =
Ж • Бе
; Е - одинична матриця; Ж - матриця (дискретний опе-
ратор) перетворення Уолша-Адамара; Бе - нормована (подшена на Ы) матриця похщних вiд оператора Ж; Т - символ транспонування; N - порядок квадратних матриць А та Е; Xд, У д - стовпцi амплiтуд спекав за Адамаром вiдповiдно реакцй та дй розмiру N х 1.
Розклавши оператор А на власш значення та власнi вектори, вираз можна записати у виглядi
П-(а •Х + а . •Х +... + а. + а0 • Е)•П • Xд =
V т т-1 1 О / ъ (3)
= П (Ьп •Xп + Ьп-1 -Хп-1 +... + Ь1 •% +Ьо • Е) •П^ Уд,
де X - дiaгонaльнa матриця власних значень матрищ А в степеш к, тобто - матриця з дiaгонaльними елементами Хкй; П - матриця утворена векто-
рами-стовпцями власних значень пй, а П - транспонована i комплексно
спряжена матриця П.
Вирази в дужках формули (3) можна записати як дiaгонaльнi матрищ
Хеа та Хеб , причому дiaгонaльнi елементи матриць з номерами (О,О), мають значення а0 та Ьо вiдповiдно, а елементи й-го рядка i й-го стовпця мають вщповщно вигляд
а а т а т-1 а
Хелй = а • Х й + а 1 • Х й +... + ал • Х, + ао;
ЕАаа т й т-1 й 1 й 0 ? (4)
ХЕБй = Ь •Х ,п + Ь . •Х ,п-1 +... + Ь-Х, + Ьо.
ЕБаа п й п-1 й 1 й О
Враховуючи (4), розв'язок зaдaчi aнaлiзу можна знайти у виглядi
X £ = П • Хеа • ^ЕБ • П • У £ = П • ХЕАБ • П • У £ , (5)
де Хеаб - дiaгонaльнa матриця, елемент дiaгонaлi (0,0) яко! мае вигляд
к
1 = Ь.
ЛХЛБ 00
а0
а елемент (й,&)
Ь -1 " + Ь 1 -1 "1 +... + Ь-1, + Ь0
Л _ и_а_и—_а_1_а_0 /АЛ
ЛЕЛБ^ ~ Л т Л т-1 Л ' (6)
а -1, + а 1 -1, +... + а, -1, + а0
т а т-1 а 1 а 0
Пiдстaвимо тепер в вираз (5) замють Xе та 7 е вирази
X е=£ - X' (7)
7 е= ж-7,
де Ж - нормований дискретний оператор перетворення Уолша-Адамара; Х( та У ( вщповщно стовпцi вiдлiкiв у час реакцп та дД1. Одержимо реакци
X , = Ж - П - 1?лб - п *- Ж - 7 , = ЁГЖ* - - ЕЖ - 7 ,, (8)
де Е1Ж = Ж - П та ЕЖ = П - Ж - дискретш мaтричнi оператори зворот-ного i прямого кратного перетворення вiдповiдно, названого у роботi EIWAL.
Порiвняемо вираз (8) з виразом для дискретного перетворення Фур'е
X , = 7*- Оа, (((у-ю))-7 - 7 ,, (9)
де 7, 7 - дискретш матричш оператори прямого та зворотного перетворення Фур'е; Diag((((-ю)) - дiaгонaльнa матриця функци кола, елемент 000 яко! мае вигляд
О = ^
00
а0
а елемент дорiвнюе
О = Ьп • 0'- )и + Ьп-1 - (7 - )и-1 + ... + Ь1 - (7 - ) + Ь0 (10)
^^ / . \ш / . \rn-1 / . \ • (10)
ат - () + ат-1 - () + ... + а1 - ()+ а0
Порiвняння (10) i (6) та (9) i (8) показуе, що щ вирази подiбнi. Звiдси виходить, що трудомютюсть aнaлiзу (8) за функщями EIWAL спiвпaдaе з трудомiсткiстю aнaлiзу з використанням перетворення Фур'е.
Бшьше того, оскiльки вирази (10) i (6) при зaмiнi на тотожнi, теореми про диференщювання та згортку оригiнaлiв, вiдомi для перетворення Фур'е, вiрнi також i для запропонованого перетворення EIWAL, а, наприклад, в теори кш можливо використовувати усi процедури пов'язанш iз введенням обрaзiв ' - юа • Ь ^ 1 й • Ь та 1/' - юа • С ^ 1/1 а • С.
Алгоритм формування матриць Е1Ж та Х
Оператор дискретного перетворення Е1Ж розмiром Nх N будемо фо-рмувати окремими шдматрицями, як е групою окремих трансформант, а
матрицю Х - окремими шдмножинами дiaгонaльних елемент1в Х й, що вщ-
повiдaють групам трансформант. Так, матриця перетворення Е1Ж склада-еться з п+1 пiдмaтриць, де п = 1о§2 (N). Кожна г-та пiдмaтриця мае розмiр
2г-1 х N при г = 1, 2,..., п. Нульова тдматриця мае розмiр 1хN. Вщповщно
маемо п+1 пiдмножин дiaгонaльних елеменпв мaтрицi Х.
Нульова тдматриця е нульовим рядком матрищ Е1Ж, який визнача-еться виразом
Eiwal0(0,т) = ехр(] • 0 • т), (11а)
де т = 0, 1,..., N - 1.
Перша тдматриця е першим рядком матрищ Е1Ж, який визначаеться виразом
Eiwal1 (0,т) = ехр(] • п • т),
де т = 0, 1,..., N - 1.
Елементи г-! шдматрищ визначаються як
Eiwalr (к,т) = Eiwalr(2г-1 - к -1,т) =
(11 б)
ехр
] •п
(2 • т +1)(2 • к +1)'
2г
(11в)
де к - порядковий номер базисно! функцй в окремш r-тiй пiдмaтрицi, к = 0, 1 ,...,2Г-2- 1; г = 2, 3 ,..., п; т = 0, 1 ,..., N - 1; - знак комплексного спряження.
Вщповщш шдмножини дiaгонaльних елемеш!в Х1 мaтрицi Х:
Л = 0:
К =1 + ехР( ] •Фк),
де ф к = п •
1 -
2 • к + 1
2г-1
рaдiaн або ф к = 180'
1-
2 • к + 1'
2г-1
(12а) (12б)
грaдусiв;
к - номер елемента дiaгонaльноl матрищ у окремш г-тш пiдмножинi, к = 0, 1,...,2г-1-1; г = 1, 2, п.
Алгоритм аналiзу диференцшних р1внянь в базисi перетворення EIWAL
Алгоритм aнaлiзу лiнiйних систем в базис перетворення EIWAL мае наступний вигляд.
1. Замшити ус ди !х образами вiдносно X (так само, як це робиться для перетворення Лапласа вщносно р), або обчислити "спектри" за формулою
прямого перетворення 71=Е1Ж - 7 (.
2. Символiчним методом вщносно операнди X знайти необхщт реакци кола в символiчному виглядi.
3. Пiдстaвити значення 1 а (вiдомi i незмiннi для мaтрицi дискретного
оператора диференцшвання Л в (2)) в вщповщт вирази (6) i знайти для кожно! реакци,
х 1 а = ^т.лбси - У1 а .
4. Для одержаних "спектрiв" реакци х х а знайти зворотне перетворення EIWAL
X , = Е1Ж - X 1, (13)
де X1 = [х 10, X1 !,... хх а,... хх N-1 ] .
Таким чином, алгоритм розв'язання диференцшних рiвнянь рiвновaги лiнiйних систем (^м базисних функцiй Eiwal(и,í), дискретш вiдлiки яких знаходяться в матриц EIWAL i "частот" цих базисних функцш) не вiдрiз-няеться вщ вiдомого алгоритму розв'язання лiнiйних диференцшних рiв-нянь (aнaлiзу лiнiйних систем) за методом перетворення Фур'е.
Швидкодiя запропонованого методу залежить вiд можливост анал^и-чного опису функци Eiwal(и,í) та оргашзаци вiдповiдного швидкого перетворення, що е окремою задачею, якш буде присвячена спецiaльнa робота.
1люстращя одержаних результатiв
Розглянемо класичний приклад коефiцiенту передaчi паралельного резонансного контуру.
Коефщент передaчi контуру у виглядi К(' - ю) та К(1 i):
^ ^/п g
к(7-ю- ) =---—; к(\ )= 1
g + '-ю ■ С + ----g + Х. • С +
7 - юг - Ь 1 1 г - Ь
Для простоти обчислень приймемо g = 1.
Нехай резонанс мае мюце на середнiй нормовaнiй чaстотi. Тодi
N
N
2-Л-aLC 4
= —, звщки LC= (2/ п)2
Оберемо значення: L = ^ • (2/ п)2, C = 10 • (2/ п)2.
На рис. 1 наведет нормоват амплiтудна та фазова характеристики ко-ефщента передачi K (^ г ) в област перетворення EIWAL, а на рис. 2 при перестановщ вiдлiкiв зпдно двiйковоï iнверсiï ïx номерiв. Пунктирною ль тею на рис. 2 показано K (( • ю. ). Розрахунки проведено для формату перетворення N = 512.
а
arg№i))
90 т
45-
-45
-90
150 200 \ 25
400
б
Рис. 1. Нормоват амплпудна (а) та фазова (б) характеристики коефщента передачi в областi перетворення EIWAL
аг^)), аг^ к(^)
б
Рис. 2. Порiвняння амплiтудних (а) та фазових (б) характеристик коефщента передачi в област перетворень EIWAL та Фур'е
Висновки
1. Одержане ортогональне перетворення EIWAL мае базиснi функцп, тотожнi базисним функщям перетворення Фур'е з точшстю до фазових множникiв, тому амплггудш спектри перетворень EIWAL i Фур'е (при вщ-повiдному впорядкуваннi) сшвпадають, а фазовi спектри вiдрiзняються .
2. Дискретш частоти перетворення Фур'е - це уявш величини:
0; ±2л/'; ±2-2л/; ...; ±к-2л/; .. номер яких к лiнiйно зв'язаний з нормованим значенням частоти
/•©к = у-2л-к.
В разi перетворення EIWAL номер частоти i значення частоти зв'язат нелiнiйною залежнiстю. Частота мае дiйсну i уявну складову i розташо-вана на одиничному крузi на комплекснiй площиш з центром в точцi 1+/-0. При форматi перетворення N цей круг подiлено на 2-И рiвних секторiв, а
- це /-та точка, на верхньому твтш, починаючи з точки 0+/-0, якщо руха-тися за годинниковою стршкою (аналогiчно k_i - при рус з точки 0+/-0 проти годинниковоï стрiлки).
3. Теорема про диференцшвання оригiналу для перетворення формально сшвпадае з аналогiчною теоремою Фур'е перетворення:
x(t)^ x(à) ; X (À),
dt
хоча при диференцшванш вiдповiдноï базисноï функцiï X(X) одержано множник /ю (що i використовують в перетвореннi Фур'е).
4. Оскшьки для будь-якого номеру d > 0 X Ф j-2n-d, то амплiтуднi i фазовi характеристики функцш кiл для Фур'е перетворення i для перетворення EIWAL будуть вiдрiзнятися (iнодi суттево).
5. Запропоновану в робот методику одержання ортогонального перетворення з теоремою про диференцшвання орипналу, яка ствпадае з вщ-повiдною теоремою перетворення Фур'е, у подальшому слiд поширити на розклади операторiв диференцiювання шших перетворень з дiйсним ядром, таких як косинусощальне, Хартлi, похиле, REX, coREX i т. ш.
Л1тература
1. Ахмед Н., Рао К. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сиг-
налов//. Пер. с англ. под. общ. ред. И.Б. Фоменко. - М.: Связь, 1980.-248 с.
2. Рыбин А.И. Ортогональное экспоненциальное преобразование REX.// Радиоэ-
лектроника. - 2004. - №2. - C. 3 - 9.
3. Рыбин А.И. Нормализация дискретных ортогональных преобразова-ний тесто-
вым сигналом. Радиоэлектроника. - 2004. - №5. - C. 36 - 41.
4. Pratt W. K. Digital Image Processing J. Wile & Sons, - 1991.v. 1, 2.
5. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. Москва: Техносфера,
2005. - 1072 с.
6. Jiri Jan. Cislicovâ filtrace, analysa a restaurace signâlu. VUT v Brne (Cech rep.),
1997. - 438 s.
7. Рыбин А.И. Анализ линейных цепей в базисе преобразования Уолша.// Радиоэлектроника. - 2004. - №5. - C. 36 - 41.
8. Рыбин А.И., Григоренко Е.Г., Родионова М.В. Алгоритм анализа электрических цепей в базисе ортогональных преобразований с действительным ядром в области трансформант. // Пращ !нституту електродинамши НАНУ: Зб. наук. праць. - 2004.- №3(9). - С. 10-14.
Рыбин А.И., Ткачук А.П. Анализ линейных систем в области трансформант преобразования
ЕШАЬ.
Предложен алгоритм решения дифференциальных уравнений линейных систем в базисе преобразования ЕШАЬ.
Rybin A., Tkachyk A.
The analisis of linear systems in basis of
EIWAL transformation.
The algorithm for solution of differential equations of liner systems in basis of EIWAL transformation is suggested.
Надтшла до редакцИ 20 травня 2006року
