Анализ линейных систем в области обобщенного преобразования Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Melnyk A.D., Rybin O.I. Normalization of a test signal with preservation of an equal discrete step.

New method of normalization was proposed. This method applies normalization of signal using current values of the signal. The step of discrete of the processed signal is equal.

Мельник А. Д., Рыбин А.И. Нормализация тестового сигнала с сохранением эквидистантного шага дискретизации

Предложен новый метод нормализации - по мгновенным значениям, "по уровню" тестового сигнала, для которого шаг дискретизации эквидистантный, что преодолевает неудобства нормализации "по шагу'

УДК 621.372.061

АНАЛ1З Л1Н1ЙНИХ СИСТЕМ В ОБЛАСТ1 УЗАГАЛЬНЕНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ

Ткачук А.П.

Розглянуто можлив1сть анал1зу лшйних систем в област1 узагальненого перетво-рення, яке е класом перетворень, що починаеться з дискретного перетворення Адама-ра I заюнчуеться дискретним перетворенням Фур'е.

Вступ

В роботах [1-8] запропоновано алгоритми аналiзу дискретних систем в базис перетворення Уолша-Адамара, яке, як вщомо [9], е частиною класу узагальненого перетворення (УП), що включае найбшьш поширене дис-кретне перетворення Фур'е з г-перетворенням в теорп аналiзу дискретних систем. Тому виникае потреба розробки методу аналiзу, що забезпечив би едшсть математичного апарату та понять для всього класу УП. Постановка задачi

Вщомо [9], що для дискретно! послщовност {Х(т)} можна визначити множину з (N) ортогональних перетворень. Цей клас перетворень починаеться з перетворення Адамара й заюнчуеться дискретним перетворенням Фур'е. УП визначаеться як X^ = ОГ • Хг, де ОГ - матриця (дискретний

оператор) УП; N - порядок квадратно! матриц Ог; Хг - вектор-стовпець дискретних вщлтв сигналу в часовш област розмiру N х 1; X^ - вектор-стовпець ампл^уд спектра УП розмiру N х 1.

Матричний оператор УП можна записати як добуток розрщжених мат-

риць Ог =П^г (п), де Ог (д) = diag Яо (г),Яг (г),...,Яг-- (г) . Причому

z= 1

Rq (z ) = Rq (1)® E(z -1); Rq (1) =

W<<q>> - W <<q>> 1

, q = 0,1,...,2r -1;

-1

q = 2r,2r +1,...,2n-z -1;

де ® - знак Кронекерова множення матриць; E(m) - одинична матриця формату 2m х 2m; << q >> - число, що одержуемо в результат двiйковоi ш-версii (n -1) -розрядного двшкового представлення q (якщо

BicHUK Нащонального техтчногоутверситету Украгни "КП1" 29 Серiя — Радютехтка. Радюапаратобудування.-2007.-№34

q = 2п-2 qn-2 + 2п-3 qn-3 +.... + 21 q1 + 20 q0 е (п -1) -розрядне двiйкове представ-лення m, то << q >> = 2п-2 q0 + 2п-3 q1 +.... + 21 qn-3 + 20 qn-2).

В областi трансформант дискретного УП диференцiальнi рiвняння рiв-

новаги систем приймають вигляд

( =т Л_ ( =п \ ,

У a At

/ * т ^

у т

Уе =

У КМ

V п

X е,

(1)

де X^, У § - стовпщ трансформант д11 та реакцй вiдповiдно розмiру N х 1;

А^ = С,АОг - дискретний оператор диференцiювання в област трансформант; А - рiзницевий оператор. Матриця залежить вiд параметра г, що визначае конкретне ортогональне перетворення iз класу УП. 1ндекс г в по-дальшому опускатимемо. Матрицi А^ мають блочно-дiагональну структуру

А^ = сИа% 51,..., ~Вг,..., ~Б!-1), (2)

де В г -г-й блок; I - юльюсть блоюв дiагоналi, /=2г+1 + 2г 1о&, Г— 1 • Представимо

_ ^2 '

А^ поблочним ортогональним розкладом на власнi вектори й власнi числа

М = ПЛП , (3)

де Л - дiагональна матриця власних значень; П - матриця власних векто-рiв; * - знак транспонування й комплексного спряження. Тодi (1) матиме

П У ^ = П

V п у

вигляд П

У ат Л

/ ' т

\ т

У Ьп Л -П X . З (2) та (3) випливае, що мат-

риця власних векторiв П буде мати блочно^агональний вигляд вщповщ-но операторовi . при цьому можна записати

_ В, = Пг - Лг - Пг, (4)

де ЛI, Пг - i-тi блоки дiагоналi матриць Л i П, вщповщно. Тобто мае сенс шукати власнi значення й власнi вектора для кожного блоку окремо.

Дискретний оператор Л^ можна представити квадратними шдматриця-ми (т), де т=0,1,...,п, у виглядi

_ Аг = (А^г (0),...,А^ (т),..., А^ (п )) (5)

Розмiр А%(т) дорiвнюе 2т-1 х 2т-1 при т=1,..,п i 1 х 1 при т=0. Кожна пiдматриця А^ (т) мiстить у собi множину блокiв {Вг} т

А (т) = diag(ВРт,...,Врт+Ч,...,Врт+ат-1), q = °Л,...,<2т -1 (6)

при т < г+2: От = 2т-1, рт = 2т-1, при т > г+2: От = 2г, рт = 2+1 (т-г-2)+2г+1.

30 Вкник Нащонального техтчногоутверситету Украти "КП1"

Серiя — Радютехтка. Радюапаратобудування.-2007.-№34

Нехай {X т (k)}, {Пт (k)} - множини власних значень i власних BeKTopiB вiдповiдно блокiв {Bi} т, що входять у пiдматрицю A%r(т). Елементи множин {Xт (k)} й {nm (k)} позначимо як Хт (k) й пт (k). Таке представ-

лення П й Л мае сенс з точки зору структурно! простоти алгоритму.

Власш значення нульового й першого блоюв Bo й Bi, яким вщповща-ють множини {X0 (k)} й {X1 (k)},

Л о = [0]; Л1 =[2]. (7а)

Або {X0(k)} ={0} й {X1(k)} ={2}. Будь-який k-й елемент т-i множини власних значень {Xrn(k) }, т = 2,...,log2 (N), можна знайти за формулою

^т (k) = 2 C0S (Фт (k)) eXP (Уфт (k)) > (7б)

де Хт (k) - k-й елемент т-i множини власних значень {Xrn(k) };

Фт(k)=

п

1 -

2<< k >>+1

>т-1

; <<k >> - число, що одержуемо в результат

двiйковоi шверси (т -1) -розрядного двшкового представлення k; k = 0,1,...,2т- -1; j = V-i. Взагалi, для будь-якого ортогонального пере-

П т +1 (k ) =

творення О г першi 2г блоки ПI будуть мати вигляд

П, =[1], (8а)

де I = 0,1,...,2г+1 -1. Або, що те ж саме, {По (к) }={[1]}, {П (к) }={[1]}, ..., {Пт(к)}={[1],...,[1]]}, де т < г + 2, а к = 2т-1 -1.

Будь-який к-й вектор т-1 множини {пт (к)}, т = г + 2,...,^2 (Ы), можна знайти за алгоритмом

] • 81П (фт+1(к ) ) . С08 (фт +1(к)) _

] • 81П (фт+1(к ) )

_ С05 (фт+1(к)) _

де пт (к) - к-й вектор т-1 множини {Пт (к)}; фт (к) - число, що вщповщае значенню аргументу вiдповiдного к-го комплексного власного значення т-1 множини {X т (к) }.

Алгоритм формування матриць Л i П

Матриц власних векторiв i власних чисел на mдставi (2) - (8) формуються

diag (л

- I k

П

' 2

- I k - 1

П

k = 0,2,...,2т; k = 1,3,...,2т - 1;

(8б)

як Л = ,

, Л1,..., Л iЛ

I-1 ? и =

П = diag (П0, П1,..., П i,..., П1-1), де

Nm = Т- , q = 0,1,.-1,ht = i - 2r int

N_ , . I i - 2r+1 ^ _r+, . I i - 2r+1 +1 ^

2r

v z

- 2r , т = int

-2> i

BicHUK Нащонального техтчногоутверситету Украти "КП1" 31

Серiя — Радютехтка. Радюапаратобудування.-2007.-№34

Л, =

п, =

[X0(0)] , i = 0;

[Xm(k) ], i = 1,...,2r+1-1, m = int(log2 (i))+ 1, k = i - 2m-1;

diag (X m (ht ) ,...,X m (ht + q ) ,...,X m ( + N ml 2r - l)) , i > 2'+1; [1] .i =0;

П i

(k )

i = 1,

,2r+1 -1,

m

= int (log 2 (i))+ 1, k = i - V

п„ (И, ),...,п„ (И, + д),...,п„ ( + N„/2г - 1)] , I > 2г+\ Висновки

Показана можливють аналiзу лiнiйних систем на mдставi ортогонально! декомпозици дискретного матричного оператора диференщювання в обла-ст трансформант узагальненого перетворення. Запропонований вигляд власних векторiв е оптимальним в сенс необхщно! кiлькостi обчислюва-льних операцш тому, що компоненти вЫх векторiв е дiйсними або уявними величинами. Метод дае можливють аналiзувати системи, що описуються лiнiйними диференцшними рiвняннями, в областi трансформант дискрет-них ортогональних перетворень Уолша-Адамара, Фур'е т.iн., що належать до класу узагальненого перетворення, забезпечуючи еднiсть понять та ма-тематичного апарату.

Лггература

1. Рыбин А.И., Пилинский В.В., Родионова М.В. Анализ электрических цепей в натуральных координатах на базе ортогональных преобразований с действительным ядром.// Пращ 1н-ту елекгродинамки НАНУ: Зб.наук.праць. 2004. №1(7). С. 7-12.

2. Рыбин А.И., Шарпан О.Б. Диагностика пульсограмм на базе ортогональных преобразований с действительным ядром.//Вим1рювальна та обчислювальна техшка в технолопчних процесах. - 2004. - №1. - С.186-141.

3. Рыбин А.И. Анализ линейных цепей в базисе преобразования Уолша.// Радиоэлектроника. - 2004. - №5. - С. 36-41.

4. Рыбин А.И. Метод модификаций для анализа линейных цепей в базисе функций Уолша.// Радиоэлектроника. - 2004. - №6. - С. 36-41.

5. Рыбин А.И., Григоренко Е.Г., Родионова М.В. Алгоритм анализа электрических цепей в базисе ортогональных преобразований с действительным ядром в области трансформант//Пращ 1н-у електродинамши НАНУ:Зб.наук.праць. 2004. №3. С. 10-14.

6. Рибш О.1., Ткачук А.П. Анал1з лшшних систем в обласп трансформант перетворення Уолша-Адамара.// Вюник НТУУ "КШ". - 2006. - Вип. 33. - С. 14-23.

7. Рибш О.1., Ткачук А.П. Анал1з лшшних систем в обласп трансформант кратного перетворення БШАЬ.// Вюник НТУУ "КШ". - 2006. - Вип. 33. - С. 31-38.

8. Рыбин А.И., Ткачук А.П. Анализ линейных систем в области трансформант и собственных частот преобразования КТЕ.//Радиоэлектроника.-2006.- №11-С. 56-63.

9. Ахмед Н., Рао К. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов: Пер. с англ./Под. Ред. И. Б. Фоменко. - М.: Связь,1980. - 248 с., ил._

Ткачук А. П. Анализ линейных систем в области обобщенного преобразования.

Предложено алгоритм анализа линейных систем в области трансформант обобщенного преобразования, являющееся класом преобразований, который начинается с преобразования Уолша-Адамара и заканчивается преобразованием Фурье

Tkachyk A. The analysis of linear systems in basis of Generalized Transformation.

The algorithm for analysis of liner systems in basis, which is the class of transformation, which includes Walsh-Hadamard transformation and Discrete Fourier Transform is suggested_

32 BicHUK Нацюнального техтчногоутверситету Украгни "КП1

Серiя — Радютехтка. Радюапаратобудування.-2007.-№34