CC BY
24
Рис.5в. Реставрований сигнал 1
Рис. 6а. Тестовий сигнал 2
Рис.6б. Спотворений сигнал 2
Рис.6в. Реставрований сигнал 2
Лггература
1. Абакумов В.Г Сватош ЙА. Рибш О.1. Бюмедичш сигнали (генезис, обробка, мониторинг) — Кит: Нора -Пршт, 2001
2. Publications of technical and scientific papers of the technical university in Brno — Brno, Svazek A-46, 1991
3. Прэтт У. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1982_
Ключовi слова: деконволющя, образ, реставрация, ^мпульсна характеристика, фшьтращя
Наталенко С. С.
Деконволюция за критерием остроты импульсной характеристики при обработке образа в натуральных координатах
Показано обновление деконволюции за критерием формы результирующей импу льсной характеристики. Обновление заключается в изменении функции штрафов. Алгоритм реалзован в области натуральных^ координат
Natalenko S. ¿Deconvolution by sharpness of impulse response characteristic at processing of image in natural coordinates
Revision of the Deconvolution by criteria of the form of impulse response characteristic at processing of image is shown in the article. Revision lies in the changing of the fine funcion use. Algorithm is implemented in the domain of natural coordinates
УДК 621.372.061
АЛГОРИТМ ФОРМУВАННЯ МАТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА ДИСКРЕТНОГО НОРМАЛЬНОГО ПЕРТВОРЕННЯ
Рибш О.1., Шжебецъка Ю.Х.
Запропоновано алгоритм безпосереднъого створення матричного оператора дискретного нормального перетворення, що виключае покрокове формування матриц
Розв'язання задач! класифжащ! сигналiв часто-густо проводять iз вико-ристанням ортогональних перетворень [1-5. Але тестовi сигнали рщко збь гаються за формою з будь-якою трансформантою вщомих ортогональних перетворень. Це вносить сво1 незручност у проведення оцшки подiбностi дослщжуваного i тестового сигналу. Для виршення таких задач запропоновано нормальне дискретне перетворення (НП), для якого одна iз трансформант зб^аеться iз заданим дискретним сигналом довшьно!' форми, а, отже, спектр такого перетворення мютить лише одну ненульову складову при сшвпадшш дослщжуваного сигналу з тестовим, тодi як поява шших складових у спектрi свщчить про 1х вiдмiнностi. Процес формування мат-
рищ НП зводиться до створення операторiв часткових перетворень, кожне з яких зменшуе кшьюсть ненульових складових у спек^ тестового сигналу вдвiчi. Слщ зазначити, що при форматi N вхщного сигналу (N = 2п, де п - цше число), кiлькiсть крокiв формування матриць часткових перетворень дорiвнюватиме п, отже при реамзаци такого способу отримання матриц НП на ПЕОМ може накопичуватися операцiйна похибка. Тому слiд розглянути можливiсть створення алгоритму безпосереднього генерування матрицi НП, не вдаючись до створення операторiв промiжних стадiй.
Нагадаемо, що при покроковому формуванш матриц НП деякого формату N = 2п, де п - цше число, в основу якого покладено дискретш вщлжи тестового сигналу X, результуючий оператор перетворення ми одержали як добуток операторiв часткових перетворень. Так, для формату N = 4 маемо тестовий сигнал у виглядi X = [х1 х2 хз х4 ]т, i матриця НП матиме ви-
гляд добутку = Ж2N , де W1N та Ж2N - оператори покрокових перетворень, що для заданого N мають вигляд:
0 0
Wl N =
W2 N =
х,
х0
2 + х 22
х
V + х22
>/х12+х22+х32+х42
0
4
х32 + х42
х1
2222 2+х0 2+х-у + хА
0
2 + х 22
х
2 + х 22
л/х?
+х
0
I
х12 + х22+х32+х42
0 0
х
хз2 + х 4 2
х
V
хз2 + х4 2
х, + х/
^х12+х22+х32+х42
0
х12
+х2
х1
2222 +х-) + х3 2 + хА
0
х
V
х з2 + х 4 2
х
V
хз + х4
0 0
0
I
х12+х22+х32+х42
(1)
Зберiгаючи ортогональнiсть рядкiв, матрицю Ж2N можна подати як:
Ж
2 N
4х?
4*1
2 , 2 , 2 , 2 + хг + хз + х4
0
1
£
2222 + хг + хз + х4
2222 + хг + хз + х4
0
0
1
0
А2 + хз + ^4 0
2222 + хг + хз + х4
А2 + хз + ^4 0
2222 + ^2 + хз + ^4
0
1
2222 + хг + хз + х4
або
0
0
2
0
0
0
0
2
1
1
22
+ х
2
з4
0
22
+ х
з4
2
1
^ =
2 , 2 . 2 . 2 +Х3 + Х4
2222 +Х2 +Х3 + Х4
0
■/у
л/Х1
2222 +Х2 + Х3 +Х4
■Iх
2222 +Х2 +Х3 +Х4
У^
2222 + Х2 + Х3 + Х4
0
У?
У^
2222 +Х2 +Х3 + Х4
0
4*1
2222 +Х2 + Х3 +Х4
0
Уу
У^
2222 +Х2 +Х3 +Х4
(2)
При цьому спектр тестового сигналу так само матиме едину складову в ба-зисi запропонованого перетворення, а вiдмiннiсть мiж результуючими операторами перетворень полягатиме у тому, що при використанш виразу (1) матриця НП матиме у складi сво!х трансформант "нулГ', кiлькiсть яких бу-де рiзнитися вiд рядка до рядка, тодi як при використанш виразу (2) всi комiрки матрицi будуть заповненi ненульовими значеннями. Для зручностi назвемо матричний оператор НП, що спираеться на вираз (1) матричним оператором першого виду, а матричний оператор, що спираеться на вираз
(2) - матричним оператором другого виду. Вщтак, для формату N = 4
х 1 Х 2 Х 3 Х 4
А А А А
матриця НП першого виду матиме вигляд: — £1. 0 0
м4 л = 3 3
— х 1Ь — х 2 Ь х 3 з х 4 з
Аз Аз АЬ АЬ
0 0 — £± £3_
Ь Ь
Х1 Х 2 Х3 Х4
А А А А
а матриця НП другого виду - вигляд: М л = Х2 £1 Х4 Х3
А А А А
— х1Ь — х2 Ь х3 з х4 з
Аз Аз АЬ АЬ
X 2 Ь — х1 Ь х4 з х3 з
Аз Аз АЬ АЬ
а=Т£
2 . 2 . 2 . 2 + Х2 + Х3 + Х4
з=
у/х? + Х22 ; Ь=у[
22 Х3 + Х4
де
Виходячи з розгляду символьних виразiв матричних операторiв рiзних по-рядкiв, алгоритм формування матрищ НП мае единий вигляд для кожного виду. Отже, запропонована процедура створення матричного оператора НП другого виду передбачае наступш кроки:
1. Генерувати матрицю Адамара N-го порядку, знаки одиниць яко! (+1 чи -1) будуть вiдповiдати знакам елементiв, що мiстяться у вщповщних клiтинах матрицi НП.
2. Помножити елементи матрищ Адамара на дискретш вщлжи сигналу
X = [х1,х2, к, хл ], при чому в уЫх непарних рядках (вiдлiк рядюв та сто-
22
2
0
34
0
22
34
2
0
22
34
2
0
34
2
впщв ведемо з одинищ) порядок розташування елеменпв х. вектору X за-лишити незмiнним, тодi як в уЫх парних рядках в кожнiй парi дискретних вiдлiкiв IX П03ицii помшяти мiсцями, тобто (х2 х1, х4 х3, ..., хм хм_1). Пiсля
проведення цих операцiй одержимо матрицю .
3. Обчислити коефщенти а(Х) = д/х12 + х22, а^ = д/х32 + х42,...,
а$/2 хм_2 + х/ для всiх пар вiдлiкiв, починаючи з першоц
(2) = I 2+ Т~ Т~ 2 (2) = I Т~ Т~ Т~ 2 (2) = I Т~ Т~ 2
а1 = V х1 + х2 + х3 + х4 , а2 = V х5 + х6 + х7 + х8 ' ^ а N / 4 = V хМ_3 + хЫ_2 + хМ_1 + хМ
для вшх часткових послiдовностей по чотири вщлжи; а((3) = , а23) = •] Т х+82а юз =<! Т -м2 для всiх часткових послiдовностей
' ' — ' [^Т
по вiсiм вщлшв з вектору X i т.д., до а(п 1) = уТх1 , де N = 2п.
4. Матрицю Шх ,одержану в п.2, помножити на коефщенти а( к), а саме:
а) вш елементи матриц множаться на коефщент 1 / а^-1;
б) з кожних чотирьох рядюв для двох останшх (3-го та 4-го, 7-го та 8-го, 11-го та 12-го та ш. рядюв) вс пари елементiв, що утворюють частковi по-слiдовностi по чотири елементи множаться на коефщент а21) / а(1) для першоi пари першоi четвiрки та на а(1) / а21) для другоi пари першоi четвiр-ки, на а41) / а31) для першоi пари другоi четвiрки та на а31) / а41) для другоi четвiрки i т.д.. Остання четвiрка множиться на а(п1/)2 /а(п1/)2_1 (перша пара) та
на а(П/)2_1 / аП1/)2 (друга пара);
в) з кожних восьми рядюв чотири останшх (5 - 8, 13 - 16, 21 - 24 та ш.) множаться по часовим послщовностям, утвореним з восьми елеменпв в першш четвiрцi першо!' вiсiмки кожного рядка на а22) / а(2) та в другiй чет-вiрцi - на а(2) / а22). Для першо!' четвiрки друго!' вiсiмки - на а42) / а32) та на
а32) / а42) для друго!' четвiрки i т.д.;
г) з кожних шютнадцяти рядкiв вiсiм останнiх (9 - 16, 25 - 32 та ш.) для жршо!' частковоi послщовносп (кожного рядка) з 16 елеменпв множаться на а23)/ а(3) (першi вiсiм елементiв рядка) та на а(3)/ а23) друга вiсiмка першоi групи з 16 елементiв i т.д.;
д) останш Л/72 рядка матриц! множаться на с4л_2) /а1,"-2' для перших х 1 Л/72 елеменпв кожного рядка та на а[л_2) /(4Л_2) - для останшх. 0
Наведемо деяю з трансформант матриц! НП, отримаш за допомогою описаного алгоритму, взявши за тес-товий сигнал пульсограму (рис. 1), представлену на перiодi у формап N=32. Рис.1
Рис. 2а
Рис. 2б
Рис. 2в
Рис. 2г
0.5
-0.5
•ТТ1, тгТ
Ш. J <
Ри с.
2д
10 15 20 п
25 30 35
Рис. 2е
Рис.2. Трансформанти матрищ НП другого виду(1 - 5, 8, 16)
Рис. 2ж
Для iлюстрацii роботи алгоритму складемо перевiрочну табл.1, включивши до неi довiльно вибранi елементи матрищ з кожноi iз зображених на рис. 2 (а-ж) трансформант, наведемо iх значения та формулу обчислення. Перейдемо до алгоритму створення матрищ НП першого виду: 1. Обчислити кшьюсть та визначити мюце розташування ненульових елементiв матрицi наступним чином. Кшьюсть ненульових елементiв кожного рядка буде залежати вщ номеру рядку за наступним правилом: якщо число (1 -1), де 1 - номер вщповщного рядку, без остачi дiлиться на число
к / 2, де к = 2п, п = 1,2, • • •, log2 N, то цей рядок мютитиме к ненульових
елеменпв. Так, для N = 8 2-й, 4-й, 6-й i 8-й рядки матрищ мютять два, 3-й i 7-й рядки - чотири, а 1-й i 5-й - вiсiм елементiв. Розташування елементiв у рядку вщбуваеться за певним законом. Група з к елеменпв, що мютиться у даному рядку, зсуваеться на к позицш вiдносно першого елементу попере-дньо1 групи з такою ж кшькютю елементiв. Наприклад для к =2 у другому рядку елементи займають 1-шу та 2-гу позицii, у четвертому рядку - 3-тю та 4-ту, у шостому рядку - 5-ту та 6-ту, а у восьмому - 7-му та 8-му позицii.
Таблиця 1
Елемент матрищ Формула обчислення Значения
Х18 ХХ<3 0.064
Х2,3 - х / -0.257
Х3,5 - XX72 + X8^ X, + X^ -0.119
Х4,7 - X ^ X 52 + X ф X 72 + X ^ -0.128
Х5,3 - Х 3^/^^ -0.221
Х8,1 - х -0.316
Х16,16 /14 /12 1 8 ( / 16 /16 /16 /32 ^ Х1П IX,2 £ Х1.2 £ X, 2 £ X, 2 £ X/ X X,2 £ X2 \ 1=13 \ 1=9 \ 1=1 / ,=15 \1 =13 \ 1=9 \ 1=1 ) -0.151
2. Генерувати матрицю Хаара N-го порядку, знаки елеменлв якоi бу-дуть вщповщати знакам множникiв (+1 або -1) перед вмiстом вiдповiдних кмтин матрицi нормального перетворення.
3. Помножити отриману матрицю з елементiв 0, +1 та -1 на дискретш вщлжи сигналу X, при чому в уЫх непарних рядках ( вщлж рядкiв та сто-впцiв починаеться з одиницi) порядок розташування елеменлв х1 вектору
X залишити незмiнним, а в парних рядках в кожнш парi дискретних вщль кiв iх позицii помшяти мiсцями, тобто (х2 х1, х4 х3, к, xN х^). Внаслiдок
цих операцiй одержимо матрицю .
4. Обчислити коефщенти iдентичнi коефiцiентам, що приведенi у п.4 алгоритму створення матричного оператора НП другого виду.
5. Матрицю Шх, одержану в п.2, помножити на коефiцiенти а(к):
а) вш елементи 1-го рядку матрищ Шх множаться на коефщент 1/ а(л-1);
б) елементи вЫх рядкiв з кiлькiстю елеменлв к =2 множаться на коефщь ент 1/а(Х) для 2-го рядку, на 1/а^ для 4-го рядку, на 1/а3Х) для 6-го рядку, т.д.
в) рядки, що мютять к =4 елементи множаться на коефщенти вщповщно
1/ а(2) для 3-го рядку, на 1/ а 22) для 7-го рядку, на 1/ а 32) для 11-го рядку, т.д. При цьому першi два елементи з групи у 3-му рядку потрiбно помножити на коефщент а^/а(1), а iншi два - на коефщент а(1)/а21); першi два елементи у 7-му рядку - на а^/а31), а iншi два - на а^/а^1) i т.д.;
г) для рядюв, що мютять к =8 елементiв характерним е множник 1/ а(3) для 5-го рядку, на 1/а (23) для 9-го рядку, на 1/а 33) для 13-го i т.д. До того ж перпи чотири елементи 5-го рядка слщ помножити на коефщент
а22)/ а(2), а iншi чотири - на кое-фiцiент а(2)/а22), першi 4-и елементи 7-го рядка - на а42)/а(32), а iншi 4-и -на а32)/ а42)
4
i т.д., Рис. 3а
0.5 О
-0.5
ж X
щд.
10
15 20 п
25
30
35
нарешп, рядки, що мютять к = N елеменпв множаться на коефщент 1/а|л_1). Додатково перша 1х поло-
'(л"27 а(л_2),
вина мiстить множник а
О.5
'2
а друга - множник а(л 2)/а(2"2)
На рис. 3 (а-ж) подано деяю з транс-
Рис 36 5 10 15 20 25 30 35
формант матриц нормального перетворення першого виду, отриманi за допомогою описаного вище алгоритму, взявши за тестовий сигнал пульсо-граму (рис.1). Для шюстрацп роботи алгоритму представимо перевiрочну табл. 2, включивши до не!' довiльно вибранi елементи матрищ з кожно! iз зображених на рис. 3 трансформант
Рис. 3в Рис. 3г
Рис. 3д
Рис. 3е
Рис.3. Трансформанти матриц НП першого виду (1 - 5, 9, 17)
Рис. 3ж
Таблиця 2
Елем. матрищ Формула обчислення Значення
X,/ /32 4 х2 0.237
Х2,1 - х ,Д/х+ х 2 -1
Х3,3 + X 1^ X 32 + X 4^ £ X,2 | 0.291
Х4,3 - Х 4 /V Х 32 + Х 4 2 -0.743
Х5,8 Х 8 ^ | х, у № х'2 1 V 1=1 ] 0.135
Х9,13 Ч х>1 /16 х*2 V V 1=9 16 л Ч х,2 V 1=1 у -0.34
Х17,31 Х 32^ 1х,2/ /32 4Ч х•! ч V,=16 32 лч ^2 V 1=1 -0.019
Наведений алгоритм значно спрошуе процедуру створення дискретного матричного оператора НП, легко програмуеться внаслщок формал1зацп, дозволяе уникнути накопичення операцiйноi похибки, як це мае мюце при покроковому формуваннi матричного оператора.
Л1тература
1. Рыбин А.И. Нормализация дискретних ортогональних преобразований тестовым сигналом// Радиоэлектроника. 2004. №7. С.39-46.
2. Мельник А.Д., Рибш О.1. Нормал1защя тестового сигналу 1з збереженням еквщис-тантного кроку дискретизацп//Вюник НТУУ «КП1». Радютехшка, Радюапарато-будування. 2007. Випуск 34. С.24-29.
3. Рибiн О.1., Сакалош Т.В., Шарпан О.Б. Аналiз пульсограм на базi процедури нормаль зацп ортогональних перетворень REX//Науковi вiстi НТУУ «КП1». 2005. №4. с. 25-33.
4. Рыбин А.И., Шарпан О.Б., Григоренко Е.Г., Сакалош Т.В. Коэффициенты трансформант нормализованных ортогональных преобразований и диагностика пульсо-грам// Вюник НТУУ «КП1». Приладобудування. 2005. Випуск 30. С.148-156.
5. Рыбин А.И., Ткачук А.П. Анализ линейных систем в области трансформант собственных частот преобразования КТР//Радиоэлектроника. 2006. №11. С.56-63._
Ключов1 слова: нормальне перетворення ^raaniB, алгоритм обробки raraaniB
Рыбин А.И., Нижебецкая Ю.Х. Алгоритм формирования матричного оператора дискретного нормального преобразования Предложен алгоритм непосредственного создания матричного оператора дискретного нормального преобразования, что освобождает от пошагового формирования матрицы Ribin O.I., Nizhebetska Y.Kh Algorithm of forming matrix operator of discrete normal transformation The algorithm of direct creation of matrix operator of discrete normal transformation is offered, that allows to avoid the incremental forming of matrix.
