CC BY
30
РАД1ОТЕХН1ЧН1 КОЛА ТА СИГНАЛИ
УДК 621.372.061
НОРМАЛЬНЕ ДИСКРЕТНЕ ОРТОГОНАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Рибт О.1., Шжебецъка Ю.Х
Запропоновано методику та алгоритм формування дискретних ортогоналъних пе-ретворенъ, для яких наданий одно- та двовим1рний сигнал е одтею з трансформант такого перетворення.
Вступ. Постановка задачi
Задача анашзу вщмш та подiбностей тестового та дослщжуваного сигналу (класифжащя сигнув) мае велике значення в сучаснш радютехшщ, медицинi тощо. Таку задачу розв'язують будуючи вiдповiднi класифжато-ри (метричш, структурнi [1]), основанi на використанш рiзних математич-них методiв. Одним з найпопуляршших методiв класифiкацii дослщжува-них сигналiв е iх погоджена фшьтращя. Класична лiнiйна погоджена фшь-трацiя [2] мае ряд недолтв при аналiзi детермiнованих сигналiв (або iх графоелементiв) в пачцi з шшими детермiнованими сигналами [3], що при-звело до розроблення косинусних фшк^в, як1 обчислюють кут мiж бага-товимiрним вектором, що описуе тестовий сигнал, та вектором аналопч-них ознак дослiджуваного сигналу. В роботах [4-15] запропоновано вико-ристовувати процедуру нормалiзацii дискретного ортогонального перетворення за тестовим сигналом [4-10] та процедуру нормалiзацii сигналу за обраним ортогональним перетворенням [11-15]. За процедурою нормалiза-цп тестовий сигнал (в певнш мiрi) вiдповiдае однш з трансформант дискретного ортогонального перетворення, внаслщок чого сигнал, який вщрь зняеться вiд тестового тшьки масштабом буде мати ненульовою тшьки ту трансформанту, яка за формою сшвпадае з тестовим сигналом. Наявшсть вiдхилень вiд тестового сигналу призведе до появи шших трансформант, вагу яких (стутнь спотворення) можна ощнити за коефiцiентом трансформант або за "гостротою" [9,10,15]. Нормалiзацiя вносить ряд незручностей та ускладнень в процедуру аналiзу, пов'язаних або з нееквщистантним кроком дискретизацii [4], або з неявною формою чисельноi ощнки спотво-рень [13]. Для швелювання цих незручностей i ускладнень нами запропоновано метод створення дискретного ортогонального екшдистантного перетворення, в якому перша трансформанта (одно- i двовимiрна) сшвпадае з тестовим сигналом.
Формування матриц одновимiрного дискретного ортогонального
нормального перетворення
Для визначеност i простоти iлюстрацii оберемо формат перетворення N = 4 (що у подальшому дозволить узагальнити отриманий результат на будь-який формат N = 2й, де п - цше число). Нехай еталонний сигнал
представлено його дискретними вщлжами вектором X = [х1 х2 х3 х4 ]Т. 1дея
полягае у створенш покрокових ортогональних перетворень, кожне з яких зменшуе кiлькiсть ненульових елеменпв спектру трансформант вдвiчi. Для сигналу X довшьно!' форми цього можна досягнути, створивши на пер-шому кроцi матрицю ортогонального дискретного перетворення у виглядi
Ж1
х1 х2 0 0
—х2 х1 0 0
0 0 х3 х4
0 0 х4 х3
(1)
Ясно, що для матрицi (1) умови ортогональност для рядкiв виконуються
N
X ^¡к °0,1 ф у
(2)
к=1
Добуток матрищ Ж1 на стовпець вiдлiкiв X дасть спектр Х1 першого ортогонального перетворення
X = [(х12 + х22), 0, (х32 + х42), 0]Т (3)
який, як i очжувалося, мiстить вдвiчi менше ненульових значень, шж вихь дний сигнал X. Тут Т - знак транспонування. Для забезпечення ортогона-льност одержаного перетворення пронормуемо одержану матрицю Ж, для чого знайдемо добуток у виглядi дiагональноi матрищ
Ж • = Diag {(хх2 + х22 ) (хх2 + х22) (х32 + х42 ) (х32 + х42)} . Кожен ^й
рядок матрицi Ж1 подiлимо на коршь квадратний iз значення ¿-го елементу дiагоналi. Одержимо
хЛ х-» _ _
ж =
2 . 2 хл + х2
х
х
2 2 2 2 а/ х^ + х2 л/ х^ + х2
0
0
х
х
4-
22 х3 + х 4
4
22 х3 + х4
х
х
V
22 х3 + х4
4
22 х3 + х 4
(4)
внаслiдок чого добуток W1N = Е, де Е - одинична матриця i
=-1
= Жш . Елементи матрищ Ж1
х.
х
1N
V
2 , 2 х. I хi+1
та
i+1
V
22 х. I хi+1
можна
0
0
0
0
г
представити, як в1дпов1дно косинус 1 синус деякого кута фг.
Для подальшого зменшення кшькосп трансформант зробимо другий крок ортогонального перетворення (за т1ею ж схемою, що 1 рашше). Для цього знайдемо спектр трансформант Хш нормованого перетворення, який
/о о /о ОТ7
мае вигляд Хш = х1 + х2 , 0, ^х3 + х4 ,0] .
Матриця Ш2 другого кроку перетворення по аналог^' з (1) мае вигляд
^2 2 /22 Х1 + Х2 0 л/ Х3 + Х4 0
0 10 0
-4
2 , 2 Х3 I Х4
0 ТХ +Х2
0
0
0
(5)
де нульов1 значення стовпця Хш множаться на 1 в головнш д1агонал1. Матрицю Ш2 можна записати 1 в шшому вигляд1
0 V-
ж
а/Х1
2 + 2 Х] I Х2
/Х32 + Х42 0
0
1
0
1
4
Х3 + Х4 0 Л 0 -1
2 , 2 А
+Х2 0
0
1
чи Ш,-
0
I
2 + 2 Х IХ4
0
0
4
I
Х2 + Х22
0
2 + 2 Х IХ4
0
0
4
I
I
2 + 2 Х3 + Х4
2 + 2 Х IХ2
0
2 ^ 2 Х3 +Х4
0
I
2 ^ 2 ^Х I х
(6)
Як для матричного оператора (5), так 1 для матричного оператора (6) добу-
~ о о о о Т
ток на стовпець Хш дасть результат Х2 = (х1 I х2 I х3 I х4 ) 0 0 0 I ,
тобто результуючий спектр двох кроюв перетворення дасть едину складову. Шсля обчислення добутку
Ш2Ш2 = Diag{(х121 х221 х321 х42), 0, (х121 х221 х321 х42), 0} 1, в1д-повщно, нормування матриц Ш2 дшенням 11 на ^х121 х221 х321 х42 одер-
жимо матрицю Ш2N . Добуток матриць Ш2NW1N = 1 дасть матричний оператор дискретного ортогонального нормального перетворення.
В раз1 бшьшого формату N вхщного сигналу N = 2п, кшьюсть наведе-них вище крок1в формування матриць часткових перетворень дор1внюва-
тиме п . Якщо як тестовий сигнал обрати константу Х = [11 к 1]Т, то, в раз1
використання процедури поповнення матриц Ш ненульовими елемента-ми, зпдно (5), одержимо матричний оператор дискретного ортогонального перетворення Хаара, а для процедури зпдно з (6) - Адамара.
На рис.1 наведено деяк з трансформант нормального перетворення (формату N =32), одержаного для тестового сигналу у вигляд1 першо1' трансформанти косинусного перетворення.
0.25 0
-0.25
-0.5 N2 0.25
О
-0.25
О Ч> <и и 9—I * —р п
0 5 10 25
-0.5
0.25 О
-0.25 -0.5
0.25
< П п ■ ^¡П п
, J 15 J и. 30
-0.25
Тит т и п
0 5 , Л"— 10 ~ 15 20 2Г> < 1
п '1—1 П Т^- л, п
0 1С ^^ 14л 2С ч 25 3 з
-0.5
Рис.1. Трансформанти нормального перетворення при еталонному сигналi у виглядi першоi трансформанти косинусного перетворення
Формування матричного оператора двовимiрного нормального дискретного ортогонального перетворення
Запропонований для одновимiрного сигналу (одного аргументу) шдхщ по створенню нормального перетворення можна поширити i на багатови-мiрний дискретний сигнал (двох i бiльше аргументiв). Для наочноi шюст-рацii розглянемо алгоритм створення двовимiрного ортогонального перетворення. Нехай надано двовимiрний образ (рис.2), який е функщею двох координат х та у. Розiб'емо площину образу на рядки та стовпщ. Формат образу для простоти оберемо Ых = N = N=8. Будемо тепер вважати
i -й рядок образу рис.2 одновимiрним сигналом ^0(х{, у), i для кожного сигналу побудуемо (зпдно з вищенаведеним алгоритмом побудови нормального перетворення) вщповщне дискретне нормальне перетворення. Для такого перетворення добуток кожного рядка тестового сигналу на вщповщ-ний нормальний матричний оператор дасть тiльки одну ненульову трансформанту (з номером 1 вщповщно до рис.2). Тобто спектр такого перетво-
рення буде мютити стовпець ненульових трансформант, номер рядка еле-менту якого вщповщае номеру нормального матричного оператора пере-творення. При цьому, оскшьки для ушх рядк1в нормалiзацiя проводилася незалежно, амплггуди ненульових трансформант будуть рiзними.
Рис. 2. Двовимiрний образ, взятий за основу побудови двовимiрного нормального перетворення.
Задачею двовимiрного нормального ортогонального перетворення е одержання однiеi трансформанти на площинi двовимiрного спектру, якщо дослiджуваний сигнал спiвпадае з тестовим. Тому для отриманого (при но-рмалiзацii за рядками) спектру слщ провести додатково таку ж само нор-малiзацiю, але вже за стовпцями (рис.2). Таким чином, визначення двови-мiрного нормального перетворення можна записати як вираз у матричнш форм^ подiбнiй до запису двовимiрного перетворення Уолша-Адамара в
[16]: X = Жт 12, де X - спектр сигналу £ в област двовимiрного нормального перетворення, яке передбачае нормалiзацiю по рядкам, що здш-
снюеться матричним оператором Жт 1 та по стовпцям, що здшснюеться
оператором Жт2. Одержаний тривимiрний матричний оператор нормального перетворення при сшвпадшш дослiджуваного сигналу з тестовим при пошуку результуючого спектру дасть на площинi спектру лише одну нену-льову трансформанту з номером (1,1). Для образу рис.3 першу другу та шо-
сту трансформанту ненормованоi матриц Жт 1 наведено як приклад.
Спектр Х0 сигналу £0, який з точнiстю до постшного множника спiвпадае з тестовим, наведено на рис.4.
Для сигналу (рис.5), який "мало" вiдрiзняеться вщ тестового спектр нормального перетворення наведено на рис.6, а для сигналу рис.7, який "сильно" вiдрiзняеться вщ тестового, - на рис.8.
Рис.3. Перша, друга та шоста
трансформанти матриц Жт 1 дво-вимiрного нормального перетво-рення
Рис. 4. Спектр сигналу 50 в обла-стi двовимiрного нормального пе-ретворення
Рис. 5. Дослiджуваний сигнал, що "мало" вiдрiзняеться вiд тестового сигналу
Рис. 6. Спектр сигналу рис.5 в об-ласт двовимiрного нормального перетворення.
Рис. 7. Дослщжуваний сигнал, що "сильно" вiдрiзняеться вiд тестового сигналу
Кiлькiсна ощнка (за коефiцiентом
трансформант) £ =
N N
¿=1 ]=1 1 ,]ф1
тр 1х 2
>/х1,1
для сигналу рис.5 (спектр рис.6) складае &mpi = 0.24, а для сигналу рис.7 (спектр рис.8) kmp 2 = 3.68. Цдкаво, що, якщо тестовим сигналом е константа So( x, y) = 1, то запропонована процедура нормалiзацiï призводить до дво-вимiрного перетворення Хаара (за формулами типу (5)) або Адамара [16] (за формулами типу (6)).
Рис.8. Спектр сигналу рис.бв об-
ластi двовимiрного нормального
перетворення
Запропонований метод побудови нормального дискретного ортогонального перетворення е простим i легко реалiзуеться на ПЕОМ. В процесi формування матричних одно- та двовимiрного нормальних ортогональних перетворень може накопичуватися операщйна похибка, тому перспективною е розробка прямого методу генерування таких матричних операторiв. Нормальне перетворення дозволяе чисельно (за коефщентом трансформант) ощнювати мiру подiбностi чи розбiжностi тестового та дослщжува-ного сигналiв, що може бути використано при класифшацл та погодженiй фiльтрацiï образiв. До незручностей, що вносить запропоноване нормальне перетворення слiд вiднести вщсуттсть в отриманих трансформантах трансформанти з посййним значенням. Тому при додавант (та вiднiманнi) константи до тестового сигналу у загальному випадку формуються дещо рiзнi трансформанти нормального перетворення.
Лггература
1. Абакумов В.Г., Рибш О.1., Сватош Й. Бюмедичш сигнали. Генезис, обробка, мо-шторинг. - К.: Нора-пршт, 2001.- 516 с.
2. Финк Л.М. Теория передачи дискретных сообщений. М.: Сов.радио, 1970. 728 с.
3. Ян И. Нелинейные согласованные фильтры для анализа различий // Радиоэлектроника.- 1999.- №6. - с.51-58 (Изв. высш. учеб. заведений).
4. Рыбин А. И. Нормализация дискретных ортогональных преобразований тестовым сигналом//Радиоэлектроника 2004. №7, с.39-46 (Изв. высш. учеб. заведений).
5. Рыбин А.И., Григоренко Е.Г. Алгоритм подстройки дискретного ортогонального преобразования под тестовый сигнал // Вюник НТУУ "КП1". Сер1я Приладобу-дування.- 2004.- №7.- с.39-46.
6. Рибш О.1., Шарпан О.Б. д1агностичш можливосп процедури нормал1зацп ортогональних функцш при анал1з1 пульсограм // Вюник ЖДТУ. Техшчш науки.-2004.- т. 1.- №4.- с. 144-149.
7. Рибш О.1.,Сакалош Т В.,Шарпан О.Б. Анал1з пульсограм на баз1 процедури нор-малiзацiï ортогональних перетворень REX/ Науков1 вют НТУУ"КП1". 2005. №4.
8. Рыбин А.И., Шарпан О.Б., Григоренко Е.Г., Сакалош Т.В. Коэффициенты трансформант нормальных ортогональных преобразований и динамика пульсог-рамм // Вюник НТУУ "КП1". Серiя Приладобудування. 2005. Вип. 37, с.148-156.
9. Рибiн О.1., Данилевська В.Г. Погоджена фшьтращя на базi нормалiзованих ортогональних перетворень // Вюник НТУУ "КП1". Серiя Радiотехнiка. Радюапа-ратобудування.- 2007.- Вип. 35.- с.15-20.
10. Данилевська В.Г.,Луцук О.В.,Рибiн О.I.,Шарпан О.Б. Особливосп i можливостi
дiагностики за нормалiзованим перетворенням//Электроника и связь. 2006. №2.
11. Рибш О.1., Мельник А.Д.Погоджена фшьтращя сигналiв при змш масштабу ix аргуменпв на 6a3i нормалiзованих вейвлет-функцiй // Вiсник НТУУ "КП1". Се-piя Рaдiотeхнiкa. Радюапаратобудування.- 2007.- Вип. 34.- С.18-24.
12. Мельник А.Д., Рибш О.1. Ноpмaлiзaцiя тестового сигналу 3i збереженням еквь дистантного кроку дискртизацп // Вюник НТУУ "КПГ'. Сepiя Рaдiотeхнiкa. Радюапаратобудування.- 2007.- Вип. 34. С.24-29.
13. Мельник А. Д., Рыбин А.И. Нормализация эталонного сигнала с постоянным шагом дискретизации//Радиоэлектроника. 2008. №1. С.71-75
14. Рыбин А.И., Мельник А.Д. Согласованная нормализованная фильтрация сигналов // Радиоэлектроника.- 2008.- №2. - с.77-80 (Изв. высш. учеб. заведений).
15. Мельник А.Д., Рыбин А.И. Согласованная вейвлет-фильтрация сигналов с изменённым масштабом//Радиоэлектроника. 2008. №3. С.76-80
16. Ахмед Н., Рао К. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: - Связь. - 1980. - с.130 - 133.
Ключовi слова: ортогональш перетворення, обробка сигнал1в
Рыбин А.И., Нижебецкая Ю^. Нормальное дискретное ортогональное преобразование Предложено методику и алгоритм формирования ортогональных преобразований, для которых даный одно- и двумерный сигнал является одной из трансформант. Ribin O.I, Nizhebetska Y.Kh. Normal discrete orthogonal transformation A method and algorithm of forming of discrete ortogonal transformations are offered, for which one or two dimention signal is one of transforms of such transformation.
УДК 621.372 061
ДЕКОНВ ОЛЮЦ1Я ЗА КРИТЕРШМ ГОСТРОТИ 1МПУЛЬСНО1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ ОБРОБЦ1 ОБРАЗУ В НАТУРАЛЬНИХ
КООРДИНАТАХ
Наталенко С. С.
Показано оновлення деконволюци за критер1ем форми результуючог ¡мпульсног характеристики. Оновлення заключается в зм1н1 застосування функци штраф1в. Алгоритм реал1зований в област1 натуральних координат.
Реставращя обр^в мае велике значення при розв'язанш задач технiчноi та медичноi дiагностики. Найбшьш поширеним пiдходом до розв'язання та^ задачi е вiдновлення саме образу, спотвореного (деградованого) за рахунок неточковостi iмпульсноi характеристики (IX) системи вщображення та наяв-ност1 адитивного шуму. В статт розглядаеться шдхщ, що полягае у створеннi корегуючого фiльтра, який би забезпечив максимальне наближення резуль-туючо!' IX до 5-функцп з урахуванням апрiорноi шформацп про шум
Метод деконволюцii за критерiем форми результуючо!' IX [1,2] вщно-ситься до сукупностi методiв лiнiйних оцiнок. На вiдмiну вщ умовно!' де-конволюцii i Вiнерiвськоi фiльтрацii за критерiй реставрацii тут беруть не рiзницю мiж первинним та деградованим образом, а вщхилення IX вiд 5 (х)- функци Дiрака. Суть реставрацii в побудовi корегуючого фiльтра Х(х), який перетворить IX деградуючоi системи g(x) в обрану с(х), яку за обра-ними критерiями вважають наближенням 5- функци Дiрака.
с(х) = g(х) *Х(х) ®5(х) (1)
Вкн^ Нaцioнaльнoгo meхнiчнoгoунiвepcumemу y^ainu "КП1" 15 Сepiя — Paдiomeхнiкa. Paдioanapamoбудувaння.-200S.-№37
