CC BY
58
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009 Математика и механика № 2(6)
УДК 517.54
П.И. Сижук, Т.П. Сижук ЗВЕЗДООБРАЗНЫЕ И ПОЧТИ ВЫПУКЛЫЕ ОКРЕСТНОСТИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
Находятся достаточные условия звездообразности порядка а и почти выпуклости окрестностей мероморфных в единичном круге функций, имеющих простой полюс в центре круга.
Ключевые слова', звездообразные окрестности, мероморфные функции, почти выпуклые окрестности.
Пусть ^ - класс мероморфных в единичном круге Е = (г :| г |< 1} функций с лорановским разложением вида
1 ГО
/ (г) = - + 2 ак гк . (1)
^ к=1
В работе [1] введено понятие 5-окрестности регулярной функции в Е. Распространим это понятие на мероморфные функции класса 2. Назовём 5-окрестностью N& (f) функции /(г) из ^ с разложением (1) множество функций
1 ю
г к=1
я (= -+ Е ькг к (2)
из 2, для которых £ к | а к -Ьк |< 8 , где 8 > 0 .
к=1
Рассмотрим вопрос о достаточных условиях звездообразности и почти выпуклости окрестностей функций f (г) е ^ .
1. Обозначим через ^ класс звездообразных однолистных в Е функций
/(г) из 2 , т.е. функции w = /(£) е 2, отображающих круг Е на однолистные области, дополнение которых до всей ^-плоскости есть звездообразная область относительно точки '№ = 0 [2, с.62]. Известно, что функции класса
Е*
характеризуются неравенством
Яе |< 0, 2 е Е .
1 /(г) I ,
Следуя М. Робертсону [3], назовём число
а. ¡„Же <-2'(2)
геЕ I Д2)
*
порядком звездообразности функции f (£) € ^ . Множество всех функций /(г), звездообразных порядка а, 0 < а < 1, в Е , обозначим через (а), так что
ГО
функции класса (а) характеризуются неравенством
Яе {-^^4<-а , 2 е Е . (3)
1 /(г) I , ( )
По аналогии с определением свёртки Адамара для регулярных в Е функций определим свёртку Адамара для мероморфных в Е функций /(г) и g(г) из класса Е:
1 ®
/ (2 )* 8 (2 ) = - + £ ак Ък 2 к ,
^ к=1
где ак и Ък (к = 1,2,...) - коэффициенты разложений (1) и (2). Легко проверить наличие у свёртки Адамара следующих свойств:
10 . ц/ (г) * К г) + vg (г ) * И( z) = И( г ) * [ц/ (г) + vg (г )], где ц и V - постоянные.
2°. г(/(г) * Я(г))' = г/'(г) * Я(г) = /(г) * ^ '(г).
Теорема 1. Если /(г) е £ и | г(f (г)*^(г)) |> с > 0 в Е , где
(1 + вю - 2аею )— + (1 - ею) 2
г 2(1 - а)
0 <0< 2п , то N (/) с ^ (а), 8 =
1 -2 ' 41 - г)2
с(1 -а)
(4)
(1 + а)
Доказательство. Характеристическое условие (3) принадлежности классу 2* (а) функции f (2) из £ равносильно неравенству
- * 1 +(1 - 2°)е* , 0 <0< 2п , г в Е .
/ (г) 1 - ег6
Запишем это неравенство в виде
[1 + (1 - 2а)вю ]/(2) + (1 - вю)2/'(2) * 0.
Отсюда, учитывая свойство 20 свёртки Адамара и равенство
' (г >-(7+г-1) * >(г > •
приходим к неравенству
[1 + (1 - 2 а) е;6 ] Г - + 1 * / (7) + (1 - ея) Г-- + ~^1 1* 0 ,
V 2 1 - г) \ г (1 - г)2 )
равносильному характеристическому условию (3). Используя свойство 1° свёртки Адамара и формулу (4), представим последнее неравенство в форме г(/(г) * Ь0 (z)) Ф 0 . Следовательно,
/(г) е 2 * (а) « /(г) е Е и г(/(г)* ^0(г)) Ф 0, 2 в Е . (5)
Звездообразные и почти выпуклые окрестности мероморфных функций 69
По формуле (4) получим разложение
1 го
¿е (г) = - + Е ск2к , (6)
^ к=1
в котором
к +1 - (к -1 + 2а)е1
Ск =-----------------, к = 1,2,...,
к 2(1 - а)е
так что | ск |< к + а , к = 1,2,.... (7)
1 -а
Пусть удовлетворяющая условиям теоремы функция f (z) имеет в Е разложение (1), а функция g(г) е (/) и имеет разложение (2). Тогда с учётом (6) будем иметь
I г(Я(г) * К (г)) I ^ I г(/(2) * ¿0 (2)) I - I г((/(2) - Я(^)) * ¿0 (^)) I ^
ГО
^с - ТI ск II ак- ък 1, 2 е Е. (8)
к=1
В силу неравенств (7) запишем
го 1 { го го
£1 ск 1|ак - Ък |^-------1 I к\ак - Ък | + а £ ак - Ък
к=1 1 ~а\ к=1 к=1
Приняв к этому во внимание неравенства
ГО ГО
1К - Ък\< I к\ак - Ък \<5, к=1 к=1
получим
М и 1/8(1 + а)
ЕIск IIа-Ък I----------------,
к=1 1 -а
что вместе с (8) влечёт
8(1 + а)
1 -а
I 2(8(2)*¿е(2))1 >с--
Откуда при 8 = ——— следует неравенство (1 + а)
I г( я (г)* (г)) | > 0 ,
означающее в соответствии с (5), что ^(г) € Е* (а). Теорема доказана.
2. Обозначим через £ (а), 0 < а < 1, класс функций g(г) из £ , для каждой из которых существует функция f (г) € £* (а) (зависящая от /(х)), такая, что
ЧтМ< °, г е г- (9)
Ввиду включения Е (а) с X , функции класса £ (а) почти выпуклы в круге Е [4].
Теорема 2. Если f (г) € Е* (а) и \г/(г) > т > 0 в Е , то N (/) с £ (а), где 8 = а т .
Доказательство. Для функций f (г) и g(г) из £ справедливо неравенство
^(/ '(2) - Я '(2))
Re J SML Re І f(f)
f (z) J I f (z)
а с учётом их разложений (1) и (2) оценка
f (f)
, z є E , (10)
|z2 (f'(z) - g'(z)) |< X k\ak - bk |, z e E . (11)
k=1
Считая, что f (z) € (а) и g(z) e N6 (f), из (10) и (11) с учётом (3) получим
ReJfgMj<-a + —-—, z e E ,
1 f (z) J |zf (z)|
что при |zf (z)| > m > 0 в E и 8 = am влечёт неравенство (9), т.е. g(z) e ^ (a). Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ruscheveyh Stephan. Neighborhoods of univalent functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. V. 81. No. 4. P. 521 - 527.
2. Александров И.А. Методы геометрической теории функций. Томск: Томский государственный университет, 2001. - 220 с.
3. Robertson M.S. On the theory of univalent functions // Ann. Math. 1936. V. 37. P. 374 - 408.
4. Libera R.J. and Robertson M.S. Meromorphic close-to-convex functions // Michigan. Math. J. 1961. V. 8. P. 167 - 175.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:
СИЖУК Пётр Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета. E-mail:
СИЖУК Татьяна Петровна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета. E-mail: [email protected]
Статья принята в печать 30.04.2009 г.
