Порядок звездообразности оператора Бернарди в классе звездообразных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ы_

^ Сижук Т. П.

ЕЩ| Порядок звездообразности оператора Бернарди в классе звездообразных функций

ПОРЯДОК ЗВЕЗДООБРАЗНОСТИ ОПЕРАТОРА БЕРНАРДИ В КЛАССЕ ЗВЕЗДООБРАЗНЫХ

ФУНКЦИЙ

Т. П. Сижук

STAR-SHAPEDNESS ORDER OF BERNARDY OPERATOR IN STAR-SHAPED FUNCTIONS CLASS

Sizhuk T. P.

By the positive value of the Bernardy integral operator the star-shapedness order of the operator has been found in the class of star-shaped functions in a circle.

При положительном значении параметра интегрального оператора Бернарди найден порядок звездообразности оператора в классе звездообразных функций в круге.

Ключевые слова: функция, регулярная, однолистная, звездообразная, оператор, порядок звездообразности.

УДК 517.54

Пусть £ * - класс всех регулярных однолистных в единичном круге Е = {г : |г| < 1 } функций w = /(2), нормированных условиями / (0) = 0, /'(0) = 1 и отображающих круг Е на звездообразные области относительно точки

W = 0 . Функции класса £ называются звездообразными и они, как известно [1, с. 92], характеризуются неравенством

/'( г)

Re-

> 0, z е E.

(1)

щих в круге Re( zf'(z)/f (z)) > a.

/ (г)

Обозначим через £ * (а), 0 < а < 1,

класс функций /(г) Е £ , удовлетворяю-

Е неравенству Функции класса

£ * (а) называются звездообразными порядка а (по определению М. Робертсона [2]). Ясно, что £ * (0) = £ * и £ * (а) е £ * при

0 < а < 1.

В работе [3] доказано, что интегральный оператор Бернарди

с +1 "

B(f) = F (z) = — f tc-1f (t )dt

(2)

при каждом комплексном с, Ке с > 0, ото/- О* О* Т~)/С*\ о*

бражает класс о в о , т. е. в(Ь ) е о , а в

работе [4] в частном случае при с = 1 получен точный результат - найден порядок звездообразности оператора В(/) (при

63/2009

Вестник Ставропольского государственного университета

c = 1) в классе S*, который определяется как наибольшее число a = a[B(S*)] такое, что

B(S *) с S * (a).

Цель настоящей работы - найти порядок звездообразности интегрального оператора Бер-нарди (2) при всех положительных значениях параметра С .

Теорема. Если с > 0 , то порядок звездообразности интегрального оператора (2) в классе

S* есть число a = 1 4J xc (1 + х) 2 dx

1 ö

xc (1 + ."4-2

-1

- c.

0

*

Доказательство. Пусть / (г) е £ *. Тогда функция Е (г), задаваемая формулой (2), в которой с > 0, звездообразна в круге Е (принадлежит классу £ *). Поэтому Е'(г) Ф 0 и Е(г)/ г Ф 0 в Е. Значит, функция

/ ч гЕ'(г) Е (г)

регулярна в круге Е, причём р(0) = 1. Используя формулы (2) и (3), приходим к равенству

, , гр'(г) г/Е Р(г) + Г , г е Е. (4)

Р( г) + с / (г)

Так как условие (1) для регулярной в круге Е функции / (г) = г +... равносильно подчинённости [5, с. 357]

/М • , г е Е, / М 1 - г

то ввиду (3) и (4) порядок звездообразности оператора В(/) = Е (г) в классе £ * есть число [6]

а = ^ Ц(-г), (5)

ге(0,1) -1 4 ' У^)

где Ц(г) - регулярное и однолистное в круге Е решение дифференциального уравнения

, гц' (г) 1 + г

Ц( г) + Л = 1-.

ц(г) + с 1 - г

Поскольку для параметра с > 0 выполняется неравенство |1 — с| < 1 + с, то ц (г) можно записать в виде [7]

Ц(г) = гс+' ((1 - г)21(г))—1 - с,

|=1 Е (1 -1 '

где I(z) = Jtc (1 -1)-2dt.

Отсюда, произведя в интеграле I(г) замену переменной интегрирования по формуле ? = гх , имеем

Ц(-г) = X (г) °((1 + г)2Ц (г))-1 - с, (6)

где

ц (г) = |хс (1 + гх) 2 дх. (7)

0

Несложными вычислениями, используя правило Лейбница дифференцирования собственных параметрических интегралов [8, с. 405], по формулам (6) и (7) находим

Сижук Т. П.

Порядок звездообразности оператора Бернарди в классе звездообразных функций_

X '(г) = -(1 + г)-3 (п (г ))-2 С (г),

1

где С (г) = | (1 - х)(1 + гх)дх .

0

Видим, что X'(г) < 0, 0 < Г < 1. Следовательно, функция X(г) монотонно убывает на (0, 1). Поэтому тГ а (-г) = X (1). Но согласно (6) и (7)

ге(0,1)

Y1

-2

- c.

X (1) = 1 4[ хс (1 + х)-2 дх V 0 0

что вместе с (5) доказывает теорему.

Следствие. Порядок звездообразности интегрального оператора Либеры

2 2

Ц/) = ^(2) ° -1 /«д (8)

z 0

в классе $* есть число а = (3 - 41п2)/(41п2 - 2).

Доказательство. Согласно теореме порядок звездообразности оператора (2) при с = 1 или, что то же самое, оператора (8) на классе $ есть число

' 1 V1

a = I 4J x(1 + x) 2 dx

-1.

J х(Ь

V о

Но

1

1 + x)-2 dx = ln2 -1/2,

о

так что a - число указанное в следствии.

Замечание. Порядок звездообразности интегрального оператора Либеры на классе S найден ранее в работе [4] из других соображений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров И. А. Введение в геометрическую теорию функций. - Донецк: Изд-во Донецкого гос. ун-та, 1972.

2. Robertson M. S. On the theory of univalent functions// Ann. of Math. - 1936. - V. 37. - P. 376-408.

3. Bernardi S. D. Convex and starlike univalent functions// Trans. Amer. Math. Soc. -1969. - V. 135. - P. 426-446.

4. Mocanu P. T., Reade M. O., Ripeanu D. The order of starlikenes of a Libera integral operator // Mathe-matica. - 1977. - V. 19(42). - № 1. - P. 67-73.

5. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций. - М.: Наука, 1966.

6. Ruscheweyh St., Wilken D. R. Sharp extremates for certain Briot - Bouquet subordinations //Rev. Roumaine Math. Pures Appl.- 1985.- V. 30. - P. 559-569.

7. Miller S. S., Mocanu P. T. Univalent solutions of Briot-Bouquet differential equations // Lect. Notes. Math. -1983. - V. 1013. - P. 292-310.

8. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. -М.: Дрофа, 2003.

Об авторе

Сижук Татьяна Петровна, Ставропольский государственный университет, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа. Сфера научных интересов - теория однолистных аналитических функций. Автор 28 научных публикаций. [email protected]