CC BY
12
2. Система уравнений (12) при Dk(0) = E (k = 1, ..., n) должна иметь положительное решение Bk > 0 (k = 1, ..., n).
3. Должен сходиться метод последовательных приближений (14).
4. Оператор L должен иметь спектральный радиус меньше единицы.
5. Для L2-устойчивости решений системы (1) достаточно, чтобы выполнялись неравенства
n ш
Bk - Z J4kS(t)CksNs(t)bn*(t)Cksdt>о (k = 1, ..., n)
s=1 0
при некоторых матрицах Bk > 0 (k = 1, ., n).
Литература
1. Валеев К.Г., Карелова О.Л., Горелов В.И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами. М., 1996.
Институт информационных технологий и систем управления (г. Москва);
Ставропольский институт управления 15 марта 2005 г.
УДК 517.54
О ЗВЕЗДООБРАЗНОСТИ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
© 2005 г. Т.П. Сижук
It is considered a question about starlikeness of a certain integral operator, which depends on several parameters on classes of regular functions.
Пусть R - класс функций fz) = z + a2z2 + ..., регулярных в круге E, S*(fi), 0 < в < 1 - класс звездообразных порядка в функций из R, т.е. функций fz) е R таких, что Re{z/(z)/fz)} > в, z е E. Имеем: S*(fi) с S*(0) = S* -класс звездообразных функций из R, т.е. функций w = fz) е R, отображающих однолистно круг E на область, звездообразную относительно точки w = 0.
В [1] доказано, что интегральный оператор Mf) = F(z), где
- z -|1/(a+Y)
F (z) = ^^S tV+Y-1f а№ _ z 0 _
при a > 0, у > 0 и v + у > 0 отображает S* в S*, а в [2] в частном случае при
a = v = 1 и у = 0 получен точный результат - найден порядок звездообраз-
ности оператора Mf) в классе S*, который определяется как наибольшее
число в такое, что M(S*) с S*(e). Следующая теорема показывает, что в
[1] требование звездообразности f(z) можно ослабить, причем при ком-
= ^ + ..., (1)
плексном V.
Теорема 1. Если /г) = z + а^2 + е Я, а > 0, у > 0, Яе V + у > 0 и
Яе ^^ >-ст, z е Е, (2)
/ (z) "
где
„ ___(3)
° =-, =, (3)
а2 + |п|2 +^1(а2 - |П|2)2 + 4а21ш2у П = 1 + V, тогда определяемая формулой (1) функция принадлежит Б*.
Доказательство. Функция/l(z) = /(z)/z = 1 + а^ + ... регулярна в Е как сумма степенного ряда, сходящегося в Е, и ввиду (2) /1(2) Ф 0 в Е. Поэтому функция
F,(z) = а+П I ta+nlfia(t)dt (4)
a+n z ' 0
регулярна в E и Fi(0) Ф 0. Пусть г* = sup{r : Fi(z) Ф 0, |z| < r}. Тогда функция
P(z) = 1 + ^ (5)
aFl (z)
регулярна в |z| < r* и P(0) = 1. Из (4), (5) и определения f(z) получаем
zP'(z) zf'(z)
P(z) +-Pf- = f-f |z| < r*. (6)
П + aP (z) f (z)
Опираясь на это равенство, докажем, что Re P(z) > 0 в |z| < r*. Для этого нам потребуется
Лемма [3]. Если функция m(z) регулярна в круге |z| < r < 1, ю(0) = 0 и
|®(z0)| = max | а>(z) |, тогда |z|=r
z0m'(z0) = m ffl(z0), m > 1. (7)
Предположим, что существует в |z| < r* точка z0, |z0| = r0 > 0, такая, что ReP(z0) = min ReP(z) = 0. Тогда для регулярной в |z| < r* функции
|z|=r0
m(z) = (P(z) - 1)/ (P(z) + 1) будет иметь место равенство |ffl(z0)| =
= max|®(z)|. Применением леммы к функции m(z) получим z0P'(z0) =
|z|=r0
= k(1 + Im2P(z0)), k < -1/2, что влечет неравенство Re{P(z0) +
z P'(z ) 1
+--0-0— > < —а, которое совместно с (6) противоречит (2) при z = z0 e
n + aP( z0)
e E. Значит, Re P(z) > 0 в |z| < r*.
Теперь на основании (5) имеем при а > 0 неравенство
Ке >-а (8)
в < г*. Следовательно, Е^) Ф 0 в круге Е и в нем имеет место неравенство (8). Из (1), (4) и (8) выводим неравенство Яе^Е'^)/.^)} > 0, г е Е, означающее, что Е(г) е Б*. Теорема доказана.
Теорема 2. Если $(1) е Б*, а > 0, у > 0, Яе V + у > 0, тогда определяемая формулой (1) функция принадлежит классу Б*(в), где в > И - наибольший на интервале (0, 1) корень уравнения
у-8/и + (1 -/(Яе^ + ф)[¿2(1 - /)2 + |^+ф|2 +
I-1-1 (9)
+ V (S2(1 -/и)2 -1 v + S/ |2 )2 + 4S2 Im2 v(1 - /и)2
в котором д = а + у.
Доказательство. При сделанных предположениях относительно fz), а, у и v в силу теоремы 1 функция F(z), заданная (1), звездообразна в E, так что F(z) регулярна и F(z)/z Ф 0 в E. Поэтому функция
а z) = zF'(z)/F(z)-1 , ffl(0) = о, (10)
zF' (z)/ F (z) +1 - 2/ где ц, 0 < ^ < 1, - наибольший корень уравнения (9), регулярна или меро-морфна в E.
Пусть rb 0 < r1 < 1, - расстояние от начала координат до ближайшего полюса функции m(z). Докажем, что |ffl(z)| Ф 1 в |z| < rb Из (1) и (10) находим
zf (z) y , S1 + (1 -2/Мz) + 2S(1 -и)za'(z) (11)
a-= -y + S--1--. (11)
f (z) 1 -ю{ z) (1 -ю( z))[S + v + (S-v- 2Sf£)a( z)]
Так как функция m(z) регулярна в круге |z| < rb то модуль |ffl(z)| достигает своего максимального значения на каждой окружности |z| < r, 0 < r < < rb Предположим, что max | со(z) |= 1 для некоторого r, 0 < r < rj. В точке
| z|=r
z0 окружности |z| < r, в которой |ffl(z0)| = 1, согласно лемме должно выполняться равенство (7). Учитывая его, равенства
„ 1 + ®П т 2 I 1 + ®п
Re-^ = 0,1 + Im21 0
1 -®0 V1 -®0 у
л
4®0
(1 -®0)2
где ю0 = ю(г0), и определение и из (11) при а > 0, придем к неравенству Ке^^ХгО/ДГо)} < 0, которое противоречит тому, что $2) е Б*. Следовательно, |ю(г)| Ф 1 в 2 < Г1.
Поскольку ю(0) = 0, функция |ю(г)| непрерывна и |ю(г)| Ф 1 в 2 < гь то функция ^(г) не может иметь полюса на окружности 2 < г1. Таким образом, функция ^(г) регулярна и ^(г) < 1 в Е. Поэтому ввиду равенства
zF' (z) ,1 + а( z) E
--М = (1 - М)-, z e E,
F (z) 1 -®(z)
следующего из (10), имеем неравенство Re{zF'(z)/F(z)} > ц в E, показывающее, что порядок в звездообразности F(z) в E не менее, чем ц. Теорема доказана.
Теорема 2 уточняет при Im v = 0 приведенный выше результат в [1], а при у = 0 - соответствующий результат в [4].
Сужая множества значений параметров в теореме 2 придадим утверждению этой теоремы несколько более общий и законченный вид - найдем порядок звездообразности интегрального оператора Mf) на классе S*(tf).
Из теоремы 1 и определения класса S*(ft) следует, что M(S*(ft)) с с S*(o) при а > 0, у > 0 и Re v > -у. Принимая это во внимание, назовем порядком звездообразности интегрального оператора Mf в классе S*(p) наибольшее число ц такое, что имеет место включение M(S*(fi)) с S*(ju).
Теорема 3. Если а, у, v - вещественные числа такие, что
а > 0, у > 0, v > -у + max {0, (1 - 2р)а - 1}, (12)
то порядок звездообразности интегрального оператора Mf = F(z), где F(z) задается формулой (1), в классе S*(fi) есть число
-1
М =
^a+z+v-l
(a+Y)4a(1-ß) \Х \2a(1-ß)
0
(1 + x)2a(1-ß)
Y
a + Y
Доказательство. Пусть /(г) е Б*(в) и .(г) задана формулой (1), в которой параметры а, у и V удовлетворяют (12). Тогда функция
Р(г)=Г1г.™-а (13)
^ а ) .(г) а
регулярна в Е, Р(0) = 1. Используя формулы (1) и (13), находим
гР' (г) г/'(г)
Р( г) +--Р-: = /Т • (14)
у + у + аР( г) / (г) Так как функция /(г) из Я принадлежит Б*(в), если и только если г/'(г) ^ 1 + (1 - 2в)г г е Е /(г) 1 - г ' ' где — - знак подчинения, то ввиду (12)—(14) порядок звездообразности оператора М(/) = .(г) есть число [5]
!л=^- + -а М ~д{-г), (15)
а + у а + уге(0,1)
где д( г) — однолистное решение дифференциального уравнения
гд' (г) 1 + (1 - 2 в) г
q( z) +
v + Y + aq( z) 1 - z
Поскольку для параметров а, у и v, удовлетворяющих условиям (12), выполняется неравенство |а(1 —2ß) - у - v| < а + у + v, то q(z) можно записать в виде [6]
za+Y+v (1 - z)-2a(1-ß) Y + v
q( z) = —---— •
aj ta+Y+v-1(1 -1)-2a(l-ß) dt a 0
Отсюда, произведя замену переменной интегрирования по формуле t = zx, будем иметь
_ (1 + r) -2a(1-ß) Y + v q(-r ) = #(r ) = --(-)--1-.
aj xa+Y+v-1(1 + rx)-2a(1-ß) dx -0
Несложные вычисления показывают, что £'(r) < 0, 0 < r < 1. Значит функция £(r) убывает на (0, 1). Поэтому inf q(-r) = £(1). Но
re(0,1)
#(1) = ,
0
Это вместе с (15) доказывает теорему.
1 xa+Y+v-ldx П-1
J (1 + x)2a(1-ß)
Y + v
Из теоремы 3 при а = v = 1, у = ß = 0 получается результат в [2].
Литература
2. Miller S.S. et al. II Pacific J. Math. 1978. Vol. 79. P. 157-168.
3. Mocanu P.T. et al. II Mathematica. 1977. Vol. 19. T. 42. № 1. P. 67-73.
4. JackI.S. II J. London. Math. Soc. 1971. № 3. P. 469-474.
5. Ruscheweyh St. II Math. Z. 1973. Vol. 134. P. 215-219.
6. Ruscheweyh St., Wilken D.R. II Rev. Roumaine Math. Pures. Appl. 1985. Vol. 30. P. 559-569.
7. Miller S.S., Mocanu P.T. II Lect. Notes Math. 1983. Vol. 1013. P. 292-310.
Ставропольский государственный университет 25 марта 2005 г.
