CC BY
17
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2011, том 54, №4_____________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
С.С.Хоразмшоев
Для класса дифференцируемых периодических функций, задаваемых модулями непрерывности т -го порядка сот (/; I) и удовлетворяющих ограничению
где т, и, г,уе М, Н > 0, 1/ г < ц < 2, Ф - произвольная непрерывная возрастающая при и > 0
функция такая, что Ф(0) = 0, вычислены точные значения различных и -поперечников.
Ключевые слова: наилучшее полиномиальное приближение - модуль непрерывности т-го порядка -п-поперечники.
1. Пусть £2 = £2[0; 2^] - пространство измеримых по Лебегу вещественных 2п -
периодических функций /, имеющих конечную норму
Символом ЗиЧ обозначим подпространство всевозможных тригонометрических полиномов порядка, не превосходящего и — 1. Хорошо известно, что для произвольной функции / е £2, имеющей разложение в формальный ряд Фурье
Адрес для корреспонденции: Хоразмшоев Саидджобир Саиднасиллоевич. 734042, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. ак.Раджабовых, 10. E-mail: [email protected]
О
величина ее наилучшего приближения тригонометрическими полиномами из ЗиЧ равна
=11 /—3,_,(/)||=\]Ер;(/) ,
где
а0(/)
и—1
^„—1(/) = -°Т— + Е (ак (/) Сте кх + Ьк (/) 81п кх)
2
к=1
- частная сумма порядка и — 1 ряда Фурье функции /, а р2(/) = —2(/) + Ь2(/). Модулем непрерывности т -го порядка функции / е Х2 называется величина
,(/,г) = БиР{|| Лт(/) ||:| Н |< ф
где
{ тЛ
т V т
Лт (/, х) = £ (—1)т—к /(х + кН)
к =0
V к J
- разность т -го порядка функции /(х) с шагом А в точке х.
Под 1^(Г)(г е X ; = £2) понимаем множество 2я -периодических функций / е Ь2, у кото-
рых производные (г — 1) -го порядка абсолютно-непрерывны, а производные г -го порядка /(г) е £2. Из работы Н.И.Черных [1] вытекает следующее равенство
■ир , 22т~"м<.(/>______+_^1.—'.
Гч я/и * г^т _ , 1 I
) Г ^ (г) , . ч.1 2 т +1
| ®2(/(г), г) (б1п и + ^ЙП Ы) &
0
Здесь мы сформулируем более общее утверждение.
Теорема 1. Пусть т, и е М, г е Х+, 0 < Н < я / и и 1 / г < ч < 2, г е N. Тогда для любого V е N справедливо равенство
2т+1/ч-иг—1/чЕп_х (/)
Бир
(г) ГА ... 11! ^
\ Н ^ (/(г), г)( б1п +1 §1п иг)
&:
иА/2
Л 1/ч
I ■1птчV(1+соб гуж\ .
Доказательство. Воспользовавшись следующим вариантом неравенства Минковского (см,например, [2, стр.104])
О V к=n
q/2
ф(і )dt
і/2 /
>
( h
Е \rn(t)iq фи)dt
\ 2/q Л
і/2
V О
, О < q < 2,
получаем
>2
ml 2
Ер,2 j krг І (і — cos к )mr 21 sin n. +1 sin nt J dt j
(1)
В работе [3] доказано, что если весовая функция р(г), заданная на отрезке [0, Н], является неотрицательной и непрерывно-дифференцируемой и при некоторых г е И, 1/ г < ч < 2 и любых г е [0, А] выполнено дифференциальное неравенство
то для функции
(rq—!)p(t)—tp (t) > О,
h
(y) н yrq І (і — cos yt)mq/2 p(t)dt
выполняется соотношение mf j J(y) : y > и j = J(и). Для функции
имеем
, s ■ nt і . - .
pt) н sin----h — sin nt, О < t <ж/n
2 2
(rq — 1)p(t) — tp (t) н (rq —1)( sin n +1 sin nt
vn ( . nt і . 1 1 ( nt ! Г nt і . Y 1
—t----sin----h —sin nn • cos-----b cos nt н sin--h —sin nn Х
2 І 22 J І 2 J І 22 J
, 1N( . nt 1 . Л vn ( nt
(rq — 1) sin----------b — sin nt-----------1 cos---------b cos nt
І 2 2 J 2 І 2
> О
и, следовательно,
inf {^ (y) : y > n} н ^(n) н nrq J" (1 — cos nt )mq / 2 • ^ sin n. +1 sin nt J dt,
а потому, продолжая неравенство (1), имеем:
О
V
Х
> 2m • nr • En—і (f) •
h
nt
J sin mq™ •
. nt 1 . ,
sin----------1— sin nt dt
V 2 2 J
y/q
2m • nr • E„4 (f) • j J sinmq+v • | 1 + cosJ dt
nt
2
\1/Г
J
nh/2 У/г
sinmq+vt • (1 + cos t )v dt
О J
Из неравенства (2) получаем
2m+1/Г • nr—і/Г • E„4 (f )
J °m(f (r),.)(sin n+1 sin nt jdt
1/Г
<
nh/2
1/Г
<j J sinmqhvt • (1 + cos t)vdt\ .
(2)
(3)
Легко проверить, что для функции f(x) = cos nx e L2) неравенство (3) обращается в равенство. В самом деле, так как
К—іШ н 1,0m (f0 r) , t) н 2" • пГ •! sin I , О < nt <Л..
nt
то имеет место равенство
2""iq • п'-1/q • En_,t/о)
[.J °l(f0(r), <■)(sin f + -2 sin ntУЛ j
nh/2
-і/г
J sinm v t(1 + cos t)v dtj ,
чем и завершаем доказательство теоремы 1.
2. Через Ъп(М,Ц2), ёп(М,Ц,), dn(М,Ц2), 8п(М,Ц2), Пп(М,Ц2) обозначим соответственно бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный п-поперечники некоторого центрально-симметричного компакта М в пространстве Ь2. Для этих ап-праксимационных характеристик выполняются следующие соотношения [2; 4]
bn (M, L) < dn (M, L2) < dn (M, L) н (M, L2) н П„ (M, L)
(4)
m
Введем также обозначение
Е„ (М) = зир{Е„ (/): / е М}.
Всюду далее через Жг) А - обозначим класс функций / е 1^), которые для любых т, и,ге М, 1 / г < ч < 2 и произвольного А е (0; ж / и] удовлетворяют ограничению
а через ^^ А (Ф) обозначим аналогичный класс функций / є Цг), которые для тех же значений
указанных параметров удовлетворяют условию
| < С/(Г), і)І віп П +1 ^іп пі 1 Лі < Ф9 (И),
2 2
0 х "
где Ф - произвольная непрерывная, возрастающая при и > 0, функция такая, что Ф(0) = 0. Положим также
. пі 1 I ( . пі І Л ж л ж
si^— І = «І I , если 0 <і <—; 1, если і >-^
(5)
Теорема 2. Пусть г, т, и е М, 1/ г < ч < 2 и число А > 0 удовлетворяет условию 0 < иН < ж. Тогда справедливы равенства
^2и—1 (Жт,ч,к , ^2) = ^2ш (Жт,ч,к , ^'2) = Еи—1 (Жт,ч,к ) =
\—1/ч
Цш иг.....................
= 2-тп г
пі I ,
1 + сов— | Лі 2
У
где !Лк (•) - любой из вышеперечисленных и -поперечников.
Следствие 1. При выполнении условий теоремы 2 для любого и, V е М имеет место равенство
эир{|ап(/) |,| Ъп(/) |:/єжтг)
т,9,И
= 2- тп
И Ґ +\тч+У ґ
пі
Л віпп-
пі I , 1 + сов— | Лі 2
У
где ап (/) и Ьп (/) соответственно косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции / е £2. Введем обозначение
И
V
ж/п
' \ та+у / \ V
.пі І Л пі І , віп у І 11 + сову І Лі
и сформулируем основной результат работы.
Теорема 3. Пусть 1 / г < ч < 2, г е N и мажоранта Ф удовлетворяет условию
>
> 5-1
ш г
т,п,ду
Ф9 (ж/ п)
И
I (біп пі)та^(1 + СОБ п±у Лі,
0
И
5т,„^+ I біпу-§- (1 + СОБ у) Лі, если И >ж/п.
если 0 < И < ж / п
ж/п
Тогда для любых чисел т, п є N справедливы равенства
№п-1 , п (Ф), і, ) = ^ п №,.„/п (Ф), і ) = £—1 (<,), п (Ф)) =
ж/п
\-1/9
= 2-
’п :I |(віп у)т9+у(1 + сов у)Vdі Ф(ж/ п)
_-( т+-) - :+-М
= 2 ( 9) п 9
'ж/2 у1/9
| (віп і )т9+V (1 + сов і У Лі Ф(ж / п).
(6)
Множество мажорантных функции Ф, удовлетворяющих условию (6), не пусто.
Доказательство. Из неравенства (3) с учетом определения класса Ц^/ДФ) при И = ж/п для проекционного п -поперечника получаем
п2п(Ф),ц)<п2п_1 (ит> п(Ф),І2)<Еп_1 (пт*,п(Ф))<
< 2- тп
ж/п
пі
. тд+у /
віп-
ж/2
пі I 7 1 + сов— | Лі 2
2/ п—1V т,9,ж/п'
V Л-1/9
Ф(ж/ п) =
У
2 (т+9) п :+ 91 | (віп і)т?+у(1 + сов і) Лі Ф(ж/п).
С целью получения оценки снизу введем в рассмотрение шар (2и +1) -го порядка степени и :
полиномов
^ п+1 =< Т єЗ_:| ТІ 1< 2-тп
п п п
ж/п / ,
Я віп*
-.„тц+у ^ ^ у Л 1/9
1 + сов — І Лі Ф(ж/ п)
0
и докажем включение $2и+1 ^ Ж^/„(Ф). В работе [5] доказано, что для любого полинома Ти е 3
имеет место неравенство
а
(T'), t )< 2" и'
m
nt m
sin------
v 2
(7)
Возведя в степень q (1 / r < q < 2, r e N) неравенство (7), умножая на функцию
^sinу + ~sinnt j , n,ve N и интегрируя в промежутке [0,h], h > 0 с учетом первого из неравенств (6), будем иметь для 0 < h < п / n :
J (тпr), t )|sin y+1 sin nt jdt <
h (. ntyy. nt і. y. omr
<J(si^—Л ( sin у + — sin nt Л dt • 2Г • n Г ||T|| <
<
ФГ(ж/n)J| sin — ! I 1 + cos — Л dtx
f ж/n / „ N mq+v ґ
nt
sin
V 0 І 2
v
nt Л 1 h cos— dt
2 J J
<ФГ (h).
(8)
Если же А > ж / и, то с учетом определения функции (5) и второго неравенства в условии (6)
имеем:
h / \ m1 / , nt 1 I . nt
< ФГ (ж/n) J( sin Пі Л | sin П Л | 1 h cos П Л dt x
'ж/nf ,\"Г+^ av Л 1
Д sin (1 h cos “^jdr
ж/п
2J
л"г+v(^ nt Y. r ( . nt Y( nt Y , | 1 h cos— J dt h J | sin— J 11 h cos— J dt \
-ФГ(ж/n)J J f sin] '• “ Kt
ж/n
ж/n ґ \"1+v V
J (sin^
І
-V Vі
nt \ ,
1 h cos— dt
2 J У
0
h
0
Х
h
0
0
*
x
x
(9)
Таким образом, из неравенств (8) и (9) следует, что £2и+1 ^ Ж^А(Ф). По известной теореме о поперечнике шара [4] для бернштейновского п -поперечника получаем
> 2~mn
1 + cos — I dt Ф(ж / n)
\-1/q
J (sin t)mq+v(1 + cos t)vdt Ф(ж/ n).
(10)
0
J
Утверждение теоремы 3 следует из сопоставления неравенств (9) и (10) с учетом соотношения (4) между всеми п -поперечниками.
Легко заметить, что условию (6) удовлетворяет мажоранта Ф„ (к) = к“, для
Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для любых ш, V е N имеет место равенство
1. Черных Н.И. - Мат. заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.
2. Pinkus. A. - «-Widths in Approximation Theory. - Berlin: Springer-Verlag, 1985, 291 p.
3. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - ДАН России, 2010, т.435, №2, с.178-181.
4. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: Изд-во МГУ,1976, 304 с.
5. Тайков Л.В. - Мат. заметки, 1979, т.25, №2, с.217-223.
6. Шабозов М.Ш. - Мат. заметки, 2010, т.87, №4, с.616-623.
а=
sup {an(f) 1,1 bn(f) |: f є wm ih (ф)}
Поступило 25.04.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
С.С.Хоразмшоев
ДАР БОРАИ НАЗДИККУНИИ БЕ^ТАРИНИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАВРЙ ВА ЦИМАТИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФ^ОИ ФУНКСИЯ^О ДАР ФАЗОИ Li
Донишго^и техникии Тоцикистон ба номи академик М.Осими
Барои синфи функсияхои даврие, ки ба воситаи модули бефосилагии тартиби m -уми ®rn (f; t) дода шуда, махдудияти
ро каноат менамоянд, ки дар чо m, n, r,ve N, h > 0, 1/ r < q < 2, Ф(и) - ихтиёри функсияи бефосилаи барои u > 0 афзуншаванда буда, барояш Ф(0) = 0 аст, кимати аники n -кутрхои гу-ногун хисоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: наздиккунии беутарини полиномиали - характеристикаи экстремали - модули бефосилаги тартиди m-ум - n-цутр^о.
S.S.Khorazmshoev
THE BEST APPROXIMATION OF PERIODICAL FUNCTIONS AND THE VALUE OF WIDTHS OF SOME CLASSES OF FUNCTIONS IN THE L2 SPACE
M.Osimi Tajik Technical University In the article for periodical functions, defined by the modulus of continuity of m -order com (f; t) and satisfy the conditions of
were m, n, r,VG N, h > 0, 1/ r < q < 2, O(u) - is arbitrary increasing function, for which 0(0) = 0, the exact value of different n -widths are calculated.
Key words: the best polynomial approximation - the modulus of continuity of m-th order - n-widths.
