CC BY
30
4. Ahnazarova, S. L. Ispolzovanie funktsii zhelatelnosti Harringtona pri reshenii optimizatsionnyih zadach himicheskoy tehnologii [Text] / S. L. Ahnazarova, L. S. Gordeev. - Moscow: izd-vo RHTU, 2003. - 76 p.
5. Bandi, B. Metodyi optimizatsii. Vvodnyiy kurs [Text] / B. Bandi; perevod s angl. - Moscow: Radio i svyaz, 1988. - 129 p.
6. Sanginova, O. Multi-objective optimization in formation tasks of leather and fur materials [Text] / O. Sanginova, A. Danylkovych, S. Branovitskaja // ScienceRise. - 2014. - Vol. 2, Issue 2. - P. 43-50. doi: 10.15587/2313-8416.2014.27262
7. Danylkovych, A. G. Application of Box method for multi-objective optimization problems [Text] / A. G. Danylkovych, S. V. Branovitskaja, S. G. Bondarenko, O. V. Sanginova // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. - 2013. - Vol. 3, Issue 4 (63). - P. 4-8. - Available at: http://journals.uran.ua/eejet/article/view/14743/12521
8. Kats, M. A new method for solving the problems of identification, diagnosis, prognosis and optimization of complex systems [Text] / M. Kats // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. - 2011. - Vol. 3, Issue 12 (51). - P. 17-28. - Available at: http://journals.uran.ua/eejet/article/view/2467/2268
9. Zraychenko-Polozentsev, A. V. Evaluation of potential reserves of production for melting synthetic iron [Text] / A. V. Zraychenko-Polozentsev, O. S. Koval, D. A. Demin // Technology audit and production reserves. - 2011. - Vol. 1, Issue 1 (1). - P. 7-15. -Available at: http://journals.uran.ua/tarp/article/view/4081/3747
10. Ekologichno orientovani tehnologiyi virobnitstva shkiryanih ta hutrovih materialiv dlya stvorennya konkurentospromozhnih tovariv. In 2 part:, Part I [Text] : monografiya / A. G. Danilkovich, V. I. Lischuk, V. P. Plavan, E. E. Kasyan, O. G. Zhigotskiy; A. G. Danilkovich (Ed.). - Kiev: FenIks, 2011. - 437 p.
11. Danylkovych, A. G. Innovatsiyni tehnologiyi virobnitstva shkiryanih i hutrovih materialiv ta virobiv [Text]: monografIya / A. G. Danylkovych, I. M. Grischenko, V. I. Lischuk et. al.; A. G. Danylkovych (Ed.). - Kiev: Feniks, 2012. - 344 p.
12. Lischuk, V. I. Vikoristannya bagatokriterialnoyi optimizatsiyi dlya poshuku kompromisnoyi oblasti protsesu zolinnya [Text] / V. I. Lischuk, T. G. Voytsehovska, A. G. Danylkovych // Legka promislovist. - 2007. - Vol. 1. - P. 37-39.
13. Danylkovych, A. G. Pidvischennya yakosti vtorinnogo pokrittya shlyahom optimizatsiyi pokrivnoyi kompozitsiyi [Text] / A. G. Danylkovych, A. S. Brayilko, N. V. Omelchenko // Visnik HNU. - 2010. - Vol. 3. - P. 129-134.
Статтю присвячено прикладним аспектам ттерваль-ного математичного моделювання оптимiзацiйних задач розмщення геометричних об'eктiв. Будуеться повний клас реалiзацiй ттервальног математичног моделi основ-ног ттервальног оптимiзацiйног задачi розмiщення геометричних об'ектiв. Пропонуються ттервальш математичш моделi низки оптимiзацiйних задач розмщення та модифка-ци методiв локальног та глобальног оптимiзацiг для гх реал^ зацп в ттервальних та евклгдових просторах
Ключовi слова: геометричне проектування, ттервальна геометрiя, ттервальна математична модель оптимiзацiйног
задачi розмщення
□-□
Статья посвящена прикладным аспектам теории интервального математического моделирования оптимизационных задач размещения геометрических объектов. Строится полный класс реализаций интервальной математической модели основной интервальной оптимизационной задачи размещения геометрических объектов. Предлагаются интервальные математические модели ряда оптимизационных задач размещения и модификации методов локальной и глобальной оптимизации для их реализации в интервальных и евклидовых пространствах
Ключевые слова: геометрическое проектирование, интервальная геометрия, интервальная математическая модель оптимизационной задачи размещения
УДК 519.6+514.1
|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.36753]
застосування 1нтервальних математичних моделей задач розм1щення геометричних
об'склв
Л. Г. Евсеева
Кандидат
фiзико-математичних наук, доцент Полтавське вище мiжрегiональне профестне училище вул. Бiрюзовa, 64а, м. Полтава, УкраТна, 36009 E-mail: lg.yevseeva@gmail.com
1. Вступ
На сучасному етат CTpiMKO зростае штерес до ефективного розв'язання оптимiзацiйних задач геоме-
тричного проектування, зокрема, задач розмщення, що пояснюеться розмайтям практичних застосувань i надзвичайною складшстю математичних моделей та методiв 1хнього розв'язання.
Задачi розмщення е предметом дослiдження об-числювально1 геометрii, а методи 1х розв'язання - но-вим напрямом теорп дослiдження операцiй. Оптимiза-цшш задачi розмiщення виникають при дослвдженш актуальних проблем бiологii, мiнералогii, медицини, матерiалознавства, у наукових дослiдженнях в галузi нанотехнологiй, у робототехнiцi, при кодуванш ш-формацii, в системах розтзнавання образiв, системах керування космiчними апаратами, у хiмiчнiй промис-ловоси, енергетицi, машино-, судно-, авiабудуваннi, будiвництвi, порошковiй металургii тощо.
В б^ьшост застосувань оптимiзацiйних задач розмiщення потрiбно органiзувати упаковку даного набору об'екпв в межах певноi областi (наприклад, завантаження палуби судна, залiзничного вагона або компоновка електронних компонент на плап) i також необхiдно звести до мжмуму об'ем використаного простору або максимiзувати число розмiщених об'ек-тiв. Багато iнших застосувань включають тривимiрнi задачi: упаковка пiгулок в пляшку, розмiщення ящикiв та бочок у вантажному вщсжу, 3D лазерний розкрш, моделювання сипучих середовищ i рiдин, планування лiкування за допомогою радiохiрургii, задача форму-вання пористого порошкового матерiалу тощо.
Розробка сучасних шформацшних систем для розв'язання задач розмщення вимагае побудови адекватних математичних моделей для прогнозування розв'язку.
2. Аналiз лкературних даних та постановка проблеми
В робоп здшснено аналiз сучасного стану наукових дослвджень щодо методологii математичного моделювання i розв'язання задач розмщення та пiдходiв до прийняття ршень в умовах iнтервальноi невизна-ченосп, з якого можна зробити такий висновок: вiдомi математичнi моделi оптимiзацiйних задач розмiщення подаються, як правило, в iдеалiзованому виглядi, коли похибки вихвдних даних та параметрiв розмщення не враховуються. Через це вщсутня адекватнiсть матема-тичних моделей реальним постановкам задач розгля-нутого класу. Застосування елеменпв iнтервальноi геометрii е ефективним засобом математичного моделювання оптимiзацiйних задач розмщення геоме-тричних об'екпв з урахуванням похибок метричних характеристик та параметрiв розмiщення.
Тому наукову значушдсть набувае проблема ство-рення методологи математичного моделювання i розв'язання оптимiзацiйних задач геометричного проек-тування з урахуванням похибок.
Коло фундаментальних и прикладних проблем, пов'язаних з конструктивним математичним моде-люванням процесу розмщення реальних об'екпв i створенням ефективних методiв пошуку розв'язкiв задач розмiшення у вщповщносп до заданого критерiю оптимальности е предметом дослiджень теорii геометричного проектування [1]. Автором однiеi з перших монографш, присвячених розв'язанню задач упаковки та розкрою, е лауреат Нобелiвськоi премii Л. В. ака-демiк АН СССР Канторович Л. В. [2 - 4].
Фундаментальним дослвдженням в цих напрямах присвячеш роботи професора Стояна Ю. Г. та його уч-тв [5-9], а також багатьох шоземних науковцiв, а саме: Dowsland K. [10], Bennell, J. [11], Burke [12], Kendall, G.
[13], Milenkovic M. [14], Oliverra J. [15], Gomes, M. [15] Scheithauer, G. [16].
Нишшнш час характеризуемся збшьшенням числа галузей застосування методiв штервального аналь зу для розв'язання прикладних задач. Цш науковш царинi присвячено роботи таких закордонних авторiв, як Moore R. E. [17], Kaucher E. [18], Марков С. М. [19], Hansen E. [20], Alefeld G. [21], Herzberger J. [21], Калми-ков С. А. [22], Шокш Ю. I. [22], Шарий С. П. [23] та ш.
Необхвдно вiдмiтити, що методи iнтервального аналь зу е сучасним iнструментарiем оперування з невизна-ченостями, але до задач розмщення з урахуванням похибок 1х, на жаль, не можна застосувати безпосередньо через складшсть ввдповвдних матема-тичних моделей.
З метою здшснення единого тдходу до вирiшення проблеми урахування похибок при розв'язант зазна-ченого класу задач в 1992 рощ Ю. Г. Стояном закладено основи нового наукового напряму - штервально! гео-метрii [24-27].
Застосування штервальшл геометрп при моделю-ваннi та розв'язанш оптимiзацiйних задач розмiщення дае можливкть рацiонально враховувати похибки метричних характеристик i параметрiв розмщення гео-метричних об'ектiв та використовувати вiдомi оптимь зацiйнi методи для розв'язання задач даного класу.
Таким чином, актуальним е подальший розвиток геометричного проектування на базi використання теорп штервально! геометрп, розробка методiв розв'язання оптимiзацiйних задач розмщення геометрич-них об'ектiв як невщемна частина теорп геометрично-го проектування з урахуванням похибок.
3. Цшь та задачi дослiдження
Проведенi дослвдження ставили за мету подальший розвиток теорп iнтервальноi геометрii та теорп геоме-тричного проектування щодо математичного моделю-вання i розв'язання оптимiзацiйних задач розмiщення в iнтервальних просторах.
Для досягнення цiеi мети поставлено таю основш науковi задачi:
- сформувати повний клас реалiзацiй iнтервальноi математичноi моделi основноi задачi розмщення по вигляду штервальних вiдображень, як визначають критерii оптимiзацii та приймають участь в формуван-нi системи штервальних обмежень;
- розробити стратеги розв'язку основноi штер-вальноi оптимiзацiйноi задачi розмiщення на основi побудови штервальних вщображень занурення штер-вальних математичних моделей штервальних оптимь зацшних задач розмiщення в евклiдовi простори;
- розробити модифiкацii методiв локальноi i гло-бальноi оптимiзацii для розв'язання штервальних оп-тимiзацiйних задач розмщення;
- розробити вщповщне програмне забезпечення.
4. Прикладш аспекти штервальних математичних моделей
4. 1. Метричний штервальний просир (IHR, р)
Поняття п-вим1рного iнтервального простору введено в робой [28].
В даному дослщженш пропонуються iнтервальнi вщображення, якi е метриками iнтервальних про-сторiв:
1) евклiдова метрика
р«и>,<и2» = ^р2«Х1 >,<Х2» е R1,
(1)
де
де
р(<А>,<В>) = >/(Ь-а)2 + (уь -уа)2 е R1, <А> = <а,>е1Д , <В> = <Ь,Уь>еIsR , <и>=(<Х1 >,...,<Хп>) е^я ,
<Х]> = <х', ] е Jn, 1 = 1,2.
2) штервальне вiдображення м: П^ IsR виду
ц(<и>,<и2>)= ц2(<Х>,<Х2>) ,
<Ц > = (<Х1 >,...,<ХП>)еП , <х;> = <4 V] е 1 = 1,2,
ц: 15Я ^ 15Я - штервальна метрика на IsR :
ц(<А>, <В>) =
|<А>-<В>| ,якщо va-v|J>0 якщо va - v|J < 0,
(2)
при виконанш умови <Х] >е1+1, V] е ^ .
Надалi метричний iнтервальний проспр (1ПК,р) будемо позначати InR i, при необхiдностi, окремо вка-зувати, яку з поданих метрик будемо використовувати в конкретному випадку.
4. 2. Постановка основно! оптимiзацшноi' штервально! задачi розмiщення
В штервальному просторi дано множину
штервальних геометричних об'ектiв Т, с , 1 е Jn , i область Пс , геометрична iнформацiя про якi однозначно описуеться кортежами
gTl = (Т,,т„«и,>, <0, >)), gп = (П,то,(<ио>,<0О>)) ,
т, = (<А1 >,<А2>,...,<Ак, >) , <А'> = <ai,valМ^е^, ,
1 е {0}и ^ , <V,> = <V><V,> = (<Х1 >,...,<ХП>) е 1ПИ ,
<Х,> = <х',Vxi>еIsR , ]е^ , ,е^ .
Нехай при розмщенш об'екта Т, використовуеться його транслящя на iнтервальну направлену множину >е1ПИ i обертання навколо свого полюса на штер-вальний кут <0, >е15И . Тодi вектор параметрiв розмь щення мае вигляд <и,> = «V,>,<0,>) е1п+1И . Позначимо Т,(<и, >) с 13И , , е Jn, П(<и>) с .
Необхiдно упакувати iнтервальнi геометричш об'екти Т,, , е Jn , в штервальну область й, тобто знай-ти iнтервальну направлену множину параметрiв розмiщення <и, >е1П+1И таку, щоб усi Т, належали област й (у вiдповiдностi до поняття штервально! належностi елементiв iнтервальних просторiв) без взаемних перетинiв, i при цьому штервальний кри-терiй якост к(<и>) розмiщення приймав найкраще значення, яке розумiемо у вiдповiдностi до вщношення порядку, введеного в просторi (15Я,р) .
4. 3. 1нтервальна математична модель основно! оптимiзацшноi' штервально! задачi розмiщення
За математичш моделi геометричних об'ектiв, що мають змiннi метричнi характеристики, якi породжу-ються похибками вихiдних даних, пропонуються ш-тервальнi множини як точковi множини iнтервальних просторiв. 1нтервальне моделювання геометричних обмежень виконаемо у вщповщност до основних по-ложень штервально! геометрп [23]. За iнтервальний критерш к((V),(0)) якостi розмщення (штервально-го цiльового вiдображення) на основi гомеоморфiзму просторiв 18И и Я2 обираемо таке: мiнiмум одше! з метричних характеристик областi розмщення (напри-клад, «штервальну довжину» або «штервальну висоту» <Н> зайнято! частини iнтервальноi областi П(<и0>) як характеристику результату розмщення в нш штервальних об'екпв, максимум коефвдента заповнення областi, мiнiмум вiдходiв, мжмум ввдхи-лення вiд центра ваги, максимум використано! площi або об'ему, мжмум використано! кiлькостi порошку для виготовлення сплаву певно! пористостi).
Не порушуючи загальностi, надалi будемо розглядати лише задачi на мiнiмум, який розумiемо у вiдповiдностi до ввдношення порядку, введеного в iнтервальному просторi .
В роботi [29, 30], виходячи з основних положень теорп геометричного проектування, штервально! геометрп та сформульованих задач дослщження, по-будовано iнтервальну математичну модель основно! iнтервальноi оптимiзацiйноi задачi розмщення:
Ы F (<и>, <0>) ,
(3)
(<и>,<0>,<Н>) = (<и>,...,<ип>,<01 >,...,<0п>,<н>) е D с 13п+ И ,
де F: 13п+1И ^ 15И - штервальне ввдображення (штер-вальний критерш якост розмщення), D - штерваль-на область допустимих розв'язюв задачi, яка описуеть-ся системою виду
ф0,(<и0>,<и,>)>р0, ,е ф««и, >, ОД-Р,- > 0,
(<и,>,<ил>) + р,+ >0,,,]е¿,,,<(4)
V, е {0} и V] е Jn = {1,...,п}, 0 = <0,0>е1,И , 13п+И -(3n+1)-вимiрний штервальний проспр з штерваль-ною метрикою р (вигляд метрики обираеться в залежност вiд конкретно! оптимiзацiйноi задач^, <и,> = (<Х, >,>,<Z1 >) е13И , , е Jn , 15И - розширений проспр центрованих iнтервалiв, р- , р+ , р- , р+ - мь
н1мальн1 i максимальш допустим1 1нтервальн1 В1дстан1 м1ж об'ектами, що розмшуються, об'ектами i областю розмщення вiдповiдно, «J>0i((U0), (U)) i ^((U), (Uj)) e нормалiзованi iнтервальнi Ф-вiдображення,
4. 4. Класифжащя реалiзацiй штервально! математично1 моделi основно! штервально! оптимiзащйно¡ задачi розмiщення
Незважаючи на pi3HOMaHiTHicTb просторових форм геометричних об'екпв, ix метричних характеристик, яю породжуються науковою та практичною необхщ-нiстю, iнтервальна математична модель основноi ш-тервальноi оптимiзацiйноi задачi розмщення описуе будь-яку оптимiзацiйну задачу розмщення геометричних об'екпв з урахуванням похибок вихвдних да-них i обмеженнями на мiнiмально и максимально допустимi вiдстанi.
Через це наукову значушдсть набувае проблема класифiкацii штервальних математичних моделей оп-тимiзацiйниx задач геометричного проектування на осшж особливостей штервальних вщображень штер-вальних математичних моделей в евклiдовi простори.
1. 1нтервальна оптимiзацiйна задача з квазилшш-ними обмеженнями.
Нехай hj: I^R ^ IsR , i е Jn , gj: I^R ^ IsR , j e Jm , -квазилiнiйнi iнтервальнi вiдображення виду:
F(U) = £ (Cj )*(Xj).
i=i
Тодi iнтервальну математичну модель (3)-(4) набуде виду:
F(U) ^ inf, U eD с InR , (5)
AU < B,
A = [(Ajj)]mxn, (Aij)eIsR , je Jn , je J,^
B = ((Bi ),(B2),..., (В, )), (Bj )eIsR,i ^Jm,
U = ((Xi),(X2),...,(Xn)) e InR, (Xi) = (Xi, vXi )e ISR ,
i e Jn.
Обмеження (5) e системою штервальних нерiвностей виду
£ (Aj )*(Xj )<(Bj ),i ^Jn.
j=i
2. Квазилiнiйна iнтервальна задача оптимiзацii:
F(U) = (Ci)*(Ximin ,
i=i
AU < B , U eInR , xi > 0, vx_ > 0, i e Jn .
3. Квазиквадратична iнтервальна задача оптимь зацii.
F(U) = £ J (Cij)*(Xi)*(Xj) + ]T (Di)*(Xi).
i=i j=i i=i
де
4. 1нтервальш задачi оптимiзацii на ie множит ( ie -задач^. Якщо штервальна область допустимих розв\язюв е штервальною e -множиною, або ie -мно-жиною, IE = G(IM) cinR (образом комбiнаторноi мно-жини в результат вiдображення занурення ii в InR ).
5. Мтацшне штервальне моделювання.
5. Стратеги реалiзацii штервальних математичних моделей
Вибiр стратегii реалiзацii iнтервальних математичних моделей оптимiзацiйних задач розмщення залежить вщ того, до якого класу вони належать. З метою застосування шнуючих мее тодiв геометричного проектування для розв'язан-ня оптимiзацiйних задач розмiщення перейдемо ввд штервального простору IgR до 1зометричного йому евклвдова простору R2g , g е J2n+1.
Один 1з способ1в реалiзацii iнтервальноi матема-тичноi моделi задачi (3)-(4) базуеться на застосуванш вiдображення занурення iнтервальноi математичноi моделi в евклiдiв простiр. При побудовi iнтервальних вiдображень iнтервальних математичних моделей в евклiдовi простори використовуються властивост ш-тервальних операцiй, метрики та вщношення порядку. При цьому для одних i тих же iнтервальних моделей застосовуються рiзнi види вщображень в евклiдовi простори рiзних вимiрностей. Наприклад, штерваль-ну математичну модель оптимiзацiйноi задачi пере-творюемо на двохкритерiальну оптимiзацiйну модель в евклщовому просторi.
Виходячи з особливостей обласи допустимих розв'язкiв для iнтервальноi оптимiзацiйноi задачi розмiщення, здiйснюемо перехвд вiд задачi (3)-(4) з векторною функщею цiлi до послiдовностi однокри-терiальних задач.
В залежностi вщ результату, який вимагаеться, векторного або числового, обираемо таю варiанти перетворення щльового вiдображення задачi з штервального простору в евклiдiв у виглядi iнтервальних вiдображень ^: ^ R1,i е J3:
Ti((L» ^Tl^+Vf;
^((L)) = | l l + lvj, *3((L)) = (l,v,).
(6)
Одержуемо математичну модель двоxкритерiальноi оптимiзацiйноi задачi в просторi R2n , яка вщноситься до багатовимiрниx багатоекстремальних задач математичного програмування:
Y(T) = (^i(T), ^(T)) ^ min,
TeWcR2m, T = Hm(0), ^(T) = h, Y2(T) = vh.
При розробцi модифiкацii методу меж та плок в iнтервальному просторi використано поняття iнтервальноi гiперплошини, iнтервальноi m -площини в просторi InR , 1х властивостi та властивостi штер-вально'1 множини E nq(G).
Один iз способiв реалiзацii iнтервальноi матема-тичноi моделi даноi задачi базуеться на релаксацп до вiдомоi iнтервальноi оптимiзацiйноi задачi меншоi вимiрностi. При розробщ модифiкацii методу меж та
плок в штервальному простор1 використано власти-вост комбшаторно! множини штервальних полшере-ставлень, занурено! в евклдав прост1р.
Стратепя розв'язання Грунтуеться на комбшацп наближених та точних метод1в оптим1зацп й викори-стовуе схему методу апроксимацп, модифжованого методу окол1в, що звужуються [1].
Будуються математичш модел1 задач в штерваль-ному виглядь Здшснюеться вщображення штерваль-но! област1 припустимих розв'язюв зазначених задач та штервально! функцп щл1 в евклдав прост1р. Задач1 розглядаються як двохкритер1альнь Пропонуються способи розв'язання, що Грунтуються на модифжа-щях методу оптим1зацп по групах змшних 1 методу плок та меж. Розроблено вщповщне програмне забез-печення.
Ц (и, ) = >-<Х1 >-<А'> + ^, - X
= -(<Х]>-<Х1>)-<Л'>-^^,
ВД,^) = -(<YJ>-<Yl>)-<В'>-^ +VЬJ, vьl -VЬJ>,
(и,,Ц) = (<Zj>-<Zl>)-<С'>-<vCl + vCJ,vCl - vCJ >,
6. 1нтервальш математичнi моделi задач розмщення
6. 1. Оптимiзацiйна задача розмщення штер-вальних паралелепiпедiв
1нтервальну математичну модель (3)-(4) оптим1за-цшно! задач1 упаковки штервальних паралелепшед1в [31, 32] Р,(и,), 1 еJn , в штервальнш област1 Р0(и0), виходячи з особливостей постановки задачу подамо у вигляд1 [31]:
inf <Н>,
(Ц,<И>^С13п+^
Фо,(ио,и,) > 0, 1 е . , Ф^Ц^) > 0, 1 е ^ е 1 <
и = (и1,и2,...,ип) е 13пК,
(7)
(8)
16(Ц ,Ц) = -(^ >-<^ >) -<С'>-^ + VcJ, Vcl -VcJ>,
<А'> = <Л,>+<^> , <В'> = <В,>+<Bj> , <С'> = <С1 > + >.
де Ф01(и0,и,), 1 еJn , - штервальне Ф-в1дображенн ня Р1(и1) 1 Р0*(и0), Ф1j(U1,Uj) - штервальне Ф_-ш-дображення Р1(и1) 1 РД^), а <XJ>-<X1 >, <^>-<У1>, <ZJ> - координати штервально'! направлено'! множини и = Ц;- и1 , и1 = (<Х1 >, <У1 >, ^ >), 1 < j, еJn , <Х> = <х,vx> = <х,-Vx>еIsR - спряжений до <Х>е1Д.
За штервальне щльове вщображення приймаемо «штервальну висоту» <И> = <Ь,vh> зайнято! частини штервального паралелепшеда Р0(Ц0) як результат розмщення в ньому штервальних паралелепшед1в Р1(и|), 1 е Jn. Очевидно,
Ц1 = (<Х1 >, (У1 >, <Zl >) е^Я, 1 е Jn ,
<И> = тах р (П0, Ц),
jеJn
Ф01(Ц0,Ц1) = шп^ЦЛ)}, к=1,2,...,6
111 (Ц0 ,Ц1 ) = -(<Х1 >-<Х0 >) + <Л> + ^ - Val , Vaо -Vai > ,
1021(Ц0,Ц1) =<Х1>-<Х0 >+<Л>+<-Vaо -Vai, Vaо -Vai > ,
^(ЦЛ) —(ТС >-<Yо >) + -V,, Vьо -Vь¡>,
1>1(и0,и1) = Ш-<%>+<B>+<-Vьо -V,, Vьо -Vь¡>,
^(ЦЛ) = -(<Zl>-<Zо>) + <B>+<-Vcо -V Vcо -V >,
1061(Ц0,Ц1) =<Zl>-<Zо > + <C>+<-Vcо -Vcl, Vcо -Vcl>,
<Л>=<Л0>-<л,>, <В>=<В0>-<в,>, <С>=<С0>-<с,>,
де р(П0,Пj) - штервальна вщстань м1ж штерваль-ною гшерплощиною виду Ц: 106(Ц0) = 0 , штервально! паралельно! координатнш площиш <Х 1 та-ко!, яка приймае участь у формуванш штервально! меж1 1гР0(Ц0), 1 штервальними гиперплощинами Ц: fJS(UJ) = 0 , j е .п , як1 приймають участь у формуванш 1гР1(Ц1) .
Задача (7)-(8) е штервальною оптим1зацшною задачею з квазилшшними обмеженнями. Тому виконано занурення штервально! математично! модел! в ев-клвдв прост1р. Одержано математичну модель двох-критер1ально! оптим1зацшно! задач! в простор! R2n , яка вщноситься до многовим1рних многоекстремаль-них задач математичного програмування:
При побудов! вщображень штервальних моделей в евкл1дов1 простори використовуються властивост штервальних операцш, метрики та вщношення порядку [31].
Здшснюеться перехщ [31], [32] в1д задач1 (7)-(8) в штервальному простор! до двохкритер1ально! задач1 в евклвдовому просторь Пропонуеться стратепя розв'язання, яка базуеться на використанш метода оп-тим1зацп за групами змшних 1 модифжованого методу
околiв, що звужуються. Рис. 1 шюструе результат розв'язання задачi оптимального розмщення па-ралелепiпедiв з урахуванням похибок метричних характеристик та параметрiв розмщення.
Аналiз результатiв дослiдження та порiвнян-ня з аналогами iдеалiзованих задач [32] доводять дощльшсть та ефектившсть застосування штер-вально! математично! моделi поставлено! задач1 та ефективнiсть запропонованих модифжацш ме-TOfliB оптшшзацп.
п = «Hli >,<Н >,...,<H?i >,..., <H12 >, <H?2 >,..., <H12 >,...,<HL >,...,<Hkm »,
<ffi> eG , i e Jk,je Jm,t e {ги,г12,..л'кт}
<Н,> = 1Л<
t=i t=i
v t +v
v t -v
>,
i e Jk,j e Jm,t e{qi1,qi2,...qkm}-
<u> = (<xi >, <x2 >,..., <xn >) = = (< xii >,...,< x11 >,...,< xkm >,..., <xrkm >) einr,
Eng(G) = 0(Png(G)) с inR - образ множини усiх штер-вальних перестановок [ ] при зануренш в n- вимiрний iнтервальних простiр ^R
п = (п1,п2,...,п ),
0: n^ü, <Xj> = <П'>.
Рис. 1. Iлюстрацiя в R3 розмiщення паралелепiпедiв: а — з урахуванням похибок; б — без урахування похибок
6. 2. Комбшаторна оптимiзацiйна задача розм^ щення iнтервальних паралелепiпедiв
Особливост метричних характеристик (довжина та ширина паралелепiпедiв е однаковою, але з рiзними похибками) геометричних об'ектiв, що розмщуються, та обмеження на 1х кольори дае можливiсть розглядати оптимiзацiйну задачу розмiщення таких iнтервальних паралелепiпедiв як комбiнаторну i приводять до понять штервальних комбiнаторних множин [6, 32].
Область допустимих розв'язюв задачi промо-дельована як шдмножини образiв Епч(О) множини всiх штервальних переставлень Pnq(G) пiсля 11 занурення в евклвдв простiр, тобто D с Enq(G) с InR , дослужено 11 властивостi, Епч(О) - штерваль-на комбiнаторна множина, породжена множиною О = {<G1 >,...,<Gn>} , (G1 >е1Д , 1 е Jn .
1нтервальна математична модель задачi набуде ви-гляду
<H > = <h*, vh >= min <H>,
h (üeE (G)
<H> = <h',vh>= mm<H> <H> = max max tfj ,
<ü>eEng (G) 1<i<m 1< j<k J
Рис. 2. Зображення в R3 розв'язку штервальноТ комбшаторноТ задачi оптимального розмiщення iнтервальних паралелепiпедiв
Одержана iнтервальна математична модель реалiзо-вана в евклiдовому просторi модифжованими методами меж та гiлок, околiв, що звужуються, що забезпечуе прогнозування отриманих результапв, та може викори-стовуватися при розв'язаннi iнженерних, економiчних, дослiдницьких, в системах автоматизованого проекту-вання, дiагностицi програмного забезпечення i т. п.
6. 3. Оптимiзацiйна задача розмiщення iнтервальв них цилiндрiв в iнтервальнiй призмi
Виходячи з особливостей постановки задачу використаемо штервальну математичну модель (7)-(8), виконавши деякi побудови [33]:
®i(üi,üj) = ф(Ц - üj) = Ф(и,),
де üij = üi-üj, ü=(<X>,<Y>,<Z>)ei3R, <r>=<r;>+<r;>, <h>=<h;>+<h; >,
<R k > = <rk + vrk, vrk >,k = 1,2, <H k > = <hk + vhk, vhk >,k = 1,2.
Доповнення штервально! призми W(ü0) до ^R можна подати у вигляд1
Q-(üo) = (I3R \cl W (üo)) U fr W (üo)),
int W(üo) = {ü e I3R y(ü) = < y, v¥ > > <0, v¥ >},
V (ü) = min{ni(ü), П2 (ü),..., nm(ü), Xi(ü), X 2(ü)},
Xi(ü)=-Xi(ü)=<Z>-<Ho >=-<Z>+<Ho >,
x2 (ü)=-X 2 (ü)=-(-<Z> - <Ho >)=<z>+<Ho >
ni(ü) = ф(а1 <X>) + Ф(Ь1 <Y>) + <Ci> , i e Jm .
1нтервальне Ф-вiдображення об'ектiв Q*(üo) и Ck(ük) набуде вигляду:
Ф(üo,ük)=V(ük - üo)=V(ü)=v(üok), V (ü) = min{n' (ü), n2(ü),..., nm(ü), Xi(ü), X 2(ü)},
x1(U)=-Xl(U)=<Z>- <H>=-<Z>+<H>,
х2(и)=-х 2(и)=-(-<Z>-<H»=<Z>+<H>,
п;(и) = ф(а> (X>) + .(у>) + (С>-(Як>, 1 е J1I,
(С'> = (V +УГ[ |,|-УГ[ |> , (Н> = (Н0>-(Щ>,
де иок =((Х>-(Хк>,(У>-(Ук>) - iнтервальна направлена множина.
Здшснюеться [33] перехiд до двохкритерiальноi за-дачi в евклiдовому просторi. Запропоновано стратепю розв'язаннi задачi, що базуеться на використанш ком-бiнацii модифжованого метода околiв, що звужуються, i метода можливих напрямкiв.
6. 4. Застосування iнтервального моделювання в порошковш металургп
Побудовано iнтервальну математичну модель [34, 35] задачi оптимiзацii юлькост порошку, потрiбного для досягнення певного рiвня пористостi сплаву при виготовленш виробу з антифрикцiйних матерiалiв.
Розглядаеться задача оптимiзацii упакування великого числа штервальних куль в штервальний цилш-дричний контейнер. Будуеться штервальна матема-тична модель задачi. Розв'язання задачi зводиться до розв'язання послщовносп задач упаковки з фжсова-ним числом куль. Пропонуеться тдхщ до '¿х розв'язання на основi занурення iнтервальноi математичноi моделi в евклдав простiр.
1нтервальна математична модель iнтервальноi оптимiзацiйноi задачi розмiщення великого числа штервальних куль в штервальну цилшдричну трубу мае вигляд (3)-(8), якщо в спiввiдношення (3) розглядати максимум штервального цiльового вiдображення i за цiльове iнтервальне вiдображення взяти таке вщображення:
F ((и>, (0>) = Г((и*>) = (у', V >, уек ,
f2(vUl) =
k=1 \ k=1 k=1
1, якщо Рз( Sk«Uk>))с p3(D), 0, якщо рз( Sk«Uk>)) g p3(D),
1, якщо r3(Sk«Uk>))с r3(D), 0, якщо r3(Sk«Uk>))g r3(D),
г «U>) = £ F((Uk >) = (£ f1(uk), E f2(v„k^, f1(Uk) =
де
(и> = ((и >,..., (и„ >) е^,
(ик> = (ик,vUk> = ((Хк>,(Ук>,(Zk>)е^ ,
Ук е Jn , y*еN - максимальне число упакованих куль, V, еN - похибка цього числа, D с 13^ - штервальна область допустимих розв'язкiв.
Здiйснено декомпозищю задачi до послiдовностi задач розмщення з фiксованим числом куль, яю сформульовано як задачi математичного програмування з нелшшними обмеженнями та штервальним цiльовим вiдображенням "штервальна висота" зайнятоi частини iнтервальноi цилiндричноi областi:
кk«U>) = inf <Hk> , Vk e Jn,
(<U>,<H >)eD Cl3n+1R
де (Hk > - iнтервальна висота зайнято'! частини областi й пiсля розмщення в нш Sk((Uk>), Vk е Jn . Кожна з k iнтервальних оптимiзацiйних задач виду перетворю-еться на двохкритерiальну оптимiзацiйну задачу через Ii занурення у евклвдв простiр вiдповiдноi вимiрностi.
Запропоновано стратепю пошуку оптимального розв'язку задач^ що базуеться на використаннi гене-рацп початкових точок на основi решiтковоi упаковки методом iмiтацiйного моделювання, модифжованого методу меж та плок та методу можливих напрямкiв. Проведено числовi експерименти.
В результатi розв'язання одержано штервал, в який гарантовано попадае значення щльово'! функцп. Да-ний пiдхiд дозволяе обчислити межi кiлькостi порошку при заданих межах вхвдних параметрiв задачi. Комп'ютерна програма [35] застосовуеться на дшянщ порошково'! металургп Полтавського державного тд-приемства «Виробниче об'еднання «Знамено», що тд-тверджено вiдповiдним актом впровадження.
Аналiз результатiв дослiдження та порiвняння з аналогами iдеалiзованих задач доводять дощльшсть та ефективнiсть застосування штервально'! геометрп при моделюваннi та розв'язанш оптимiзацiйних задач розмiщення геометричних об'екпв, метричнi характеристики та параметри розмщення яких задаш з похибками.
При розв'язанш запропонованих задач використо-вуються математичне i програмне забезпечення, ро-зроблене пiд керiвництвом професора Стояна Ю. Г. у вiддiлi математичного моделювання та оптимального проектування 1нституту проблем машинобудування iм. А. М. Шдгорного НАН Украши.
7. Результати дослщження щодо подальшого розвитку штервального моделювання в геометричному проектуванш
Науковi результати роботи е подальшим розвит-ком теорii геометричного проектування i служать теоретичною основою iнтервальноi оптимiзацii, мето-дологii розв'язання оптимiзацiйних задач розмщення з урахуванням похибок. Результати дослщження дозволяють будувати та аналiзувати адекватш ма-тематичнi моделi оптимiзацiйних задач розмщен-ня завдяки використанню iнтервальноi геометрii та методiв локальноi та глобальноi оптимiзацii при '¿х розв'язаннi.
Ефективнiсть запропонованих засобiв математичного моделювання пiдтверджуеться порiвнянням от-риманих результатiв за критерiями iснування, адек-ватностi i конструктивност побудови математичних моделей з аналопчними результатами вiтчизняних i зарубiжних дослщниюв.
Створено програмнi продукти у виглядi комп'ютер-них програм, що реалiзують розробленi засоби математичного моделювання та методи оптимiзацii, та розра-хованi на розв'язання двовимiрних та трьохвимiрних задач упакування в рiзних галузях науки та технiки:
- розмщення штервальних паралелепiпедiв "Packing of Interval Parallelepipeds" [33];
- розмщення штервальних многокутниюв "Packing of Interval Polygons" [36],
- iмiтацiйне моделювання властивостей сплаву в залежност вiд розмiрiв гранул "Мтацшне моделювання властивостей сплава" [35].
8. Висновки
Результати даного дослщження е подальшим ро-звитком теорп штервальтл геометрп та теорiï гео-метричного проектування: побудовано штервальну математичну модель основноï iнтервальноï оптимiза-цiйноï задачi розмiщення геометричних об'ектiв, здш-снено класифжащю множини ïï реалiзацiй по вигляду щльового iнтервального вiдображення та основних штервальних геометричних обмежень.
Побудовано штервальну математичну модель оп-тимiзацiйноï задачi упаковки iнтервальних парале-лепiпедiв. Виконане занурення iнтервальноï матема-тичноï моделi в евклiдiв простiр. Розроблено метод розв'язання задачi як двухкритерiальноï оптимiза-цiйноï задачi розмiщення. Запропоновано стратепю, що базуеться на використант метода оптимiзацiï по групах змшних i модифiкованого метода околiв, що звужуються. Виконанi тестовi експерименти по розмь щенню 60 паралелепiпедiв.
Побудовано штервальну математичну модель ком-бiнаторноï оптимiзацiйноï задачi упаковки парале-лепiпедiв, яка дозволяе з одного боку, - ращонально врахувати похибки початкових даних, з шшого, - в подальшому, при ïï реалiзацiï використовувати вь домi методи комбiнаторноï оптимiзацiï, таким чином, строго визначаючи штервал, якому буде належати зна-чення цiльовоï функцiï. Може бути використана при тестуванш програмного забезпечення, при моделю-ваннi задач компоновки складних техшчних систем, якi можна апроксимувати з наперед заданою точнiстю об'еднанням паралелепiпедiв, метричнi характеристики яких задан з похибками.
Щодо задачi розмiщення великоï кiлькостi куль в область цилiндричноï форми, пропонуеться тдхщ до ïï розв'язання на основi занурення ïï iнтервальноï ма-тематичноï моделi в евклiдiв простiр. Розроблено стра-тегiю пошуку ïï оптимального розв'язку, що базуеться на основi решiтковоï упаковки методом iмiтацiйного
моделювання, модифжованого методу меж та плок та методу можливих напрямкiв.
Таким чином, розроблено методолопю моделювання та розв'язання оптимiзацiйних задач геометрично-го проектування з урахуванням похибок метричних характеристик та параметрiв розмiщення.
Практичне значення результапв пiдтверджуеться ïх впровадженням. Результати роботи впроваджено в держбюджетт науково-дослвдш роботи, в навчальний процес. Результати дослщження були використанi на Полтавському державному пiдприемствi "Виробниче об'еднання "Знамено" (м. Полтава, Украïна) для прогно-зування властивостей сплаву в порошковш металур-гiï, на державному науково-виробничому пiдприемствi „Демиекс» (м. Полтава, Украша) при вирiшеннi про-блеми упакування виготовленоï продукцiï.
Сукупнiсть розроблених застосувань штервальних математичних моделей, модифжованих методiв локальноï та глобальноï оптимiзацiï i програмних комплексiв забезпечуе тдвищення точностi отри-маних результапв, може використовуватися при ро-зв'язанш iнженерних, економiчних, дослiдницьких, конструкторських i дизайнерських задач, в системах автоматизованого проектування генеральних плашв пiдприемств, дiагностицi програмного забезпечення, системах автоматичного протипожежного захисту, агротехшчних i екологiчних системах, при створенш ресурсозберiгаючих технологiй, у вупльнш i мета-лургiйнiй промисловосп, при розробцi апаратно-тех-нологiчного компонування, задачi досягнення певних властивостей сплаву в порошковш металургп тощо.
9. Благодарность и признательность
Представленная работа является результатом сотрудничества, поддержки и помощи многих людей. Искренняя благодарность моему Учителю и научному консультанту, Ю. Г. Стояну, всем сотрудникам отдела математического моделирования и оптимального проектирования, соавторам по публикациям. Наши совместные работы, семинары, научные дискуссии во многом определили результаты данной работы. Особая благодарность ведущему специалисту отдела Т. Е. Романовой за неоценимую помощь в выполнении исследований и моральную поддержку.
Лиература
Стоян, Ю. Г. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования [Текст] / Ю. Г. Стоян, С. В. Яковлев. - Киев: Наукова думка, 1986. - 268 с.
Канторович, Л. В. Расчет рационального раскроя промышленных материалов [Текст] / Л. В. Канторович, В. А. Залгал-лер. - Лениздат, 1951 - 197 с.
Канторович, Л. В. Математические методы организации и планирования производства [Текст] / Л. В. Канторович. - в сб. «Применение математики в экономических исследованиях». - Изд-во ЛГУ, 1939. - 68 с.
Канторович, Л. В. Об одном эффективном методе решения некоторых классов экстремальных задач [Текст] / Л. В. Канторович // Доклады АН СССР. - 1940 - Т. 23, J5 3. - С. 212-215.
Stoyan, Yu. G. Local Optimization Method in Placement Problems of Polygons [Text] / Yu. G. Stoyan, A. V. Pankratov // Доповда НАН Украши. - 2001. - № 9. - P. 98-103.
Yemets, O. A. A Mathematical Interval Model of a Combinatorial Problem of Packing of Color Rectangles [Text] / O. A. Yemets, L.-G. Yevseeva, N. G. Romanova // Cybernetics and Systems Analysis. - 2001. - Vol. 37, Issue 3. - P. 408-414.
7. Чугай, А. М. Решение задачи упаковки кругов в выпуклый многоугольник с помощью модифицированного метода сужающихся окрестностей [Текст] / А. М.Чугай // Радиоэлектроника и информатика. - 2005. - № 1. - С. 58-63.
8. Stoyan, Y. A mathematical model and a solution method for the problem of placing various-sized circles into a strip [Text] / Y. Stoyan, G. Yas'kov // European Journal of Operational Research. - 2004. - Vol. 156, Issue 3. - P. 590-600. doi: 10.1016/s0377-2217(03)00137-1
9. Stoyan, Y. Mathematical model and solution method of optimization problem of placement of rectangles and circles taking into account special constraints [Text] / Y. Stoyan, G. Yaskov // International Transactions in Operational Research. - 1998. - Vol. 5, Issue 1. -P. 45-57. doi:10.1016/s0969-6016(98)00003-3
10. Dowsland, K. A. A local search approach to a circle cutting problem arising in the motor cycle industry [Text] / K. A. Dowsland, M. Gilbert, G. Kendall // Journal of the Operational Research Society. - 2006. - Vol. 58, Issue 4. - P. 429-438. doi: 10.1057/palgrave. jors.2602170
11. Dowsland, K. A. Using tree search bounds to enhance a genetic algorithm approach to two rectangle packing problems [Text] / K. A. Dowsland, E. A. Herbert, G. Kendall, E. Burke // European Journal of Operational Research. - 2006. - Vol. 168, Issue 2. - P. 390402. doi: 10.1016/j.ejor.2004.04.030
12. Burke, E. K. A new placement heuristic for the orthogonal stock-cutting problem [Text] / E. K. Burke, G .Kendall, G. Whitwell // Operations Research. - 2004. - Vol. 52, Issue 4. - P. 655-671. doi: 10.1287/opre.1040.0109
13. Hellier, R. Irregular Packing Using the Line and Arc No-Fit Polygon [Text] / R. Hellier, G .Kendall, G. Whitwell // Operations Research. - 2010. - Vol. 58, Issue 4. -P. 948-970. doi: 10.1287/opre.1090.0770
14. Milenkovic, V. J. Translational polygon containment and minimal enclosure using mathematical programming [Text] / V. J. Milenkovic, K. Daniels // International Transactions in Operational Research. - 1999. - Vol. 6, Issue 5. - P. 525-554. doi:10.1111/j.1475-3995.1999. tb00171.x
15. Oliveira, J. F. TOPOS - A new constructive algorithm for nesting problems [Text] / J. F. Oliveira, A. M. Gomes, J. S. Ferreira // OR Spektrum. - 2000. - Vol. 22, Issue 2. - P. 263-284. doi: 10.1007/s002910050105
16. Scheithauer, G. Mathematical modeling of interactions of primary geometric 3D objects [Text] / G. Scheithauer, Yu. Stoyan, T. Romanova // Cybernetics and Systems Analysis. - 2005. - Vol. 41, Issue 3. - P. 332-342. doi: 10.1007/s10559-005-0067-y
17. Moore, R. E. Interval analysis [Text] / R. E. Moore. - N.Y.: Prentice-Hall, 1966. - 400 p.
18. Kaucher, E. Interval Analysis in the Extended Interval Space IR [Text] / E. Kaucher // Fundamentals of Numerical Computation (Computer-Oriented Numerical Analysis). Computing Supplementum. - 1980. - Vol. 2. - P. 33-49. doi:10.1007/978-3-7091-8577-3_3
19. Markov, S. M. Extended interval arithmetic involving infinite intervals [Text] / S. M. Markov // Mathematica Balkanika. - 1992. -Vol. 6. - P. 269-304.
20. Hansen, E. Bounding the solution of interval linear equations [Text] / Е. Hansen // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1992. Vol. 29, Issue 5. P. 1493-1503. doi: 10.1137/0729086
21. Алефельд, Г. Введение в интервальные вычисления [Текст] / Г. Алефельд, Ю. Херцбергер. - М.: Мир, 1987. - 356 с.
22. Калмыков, С. А. Методы интервального анализа [Текст] / С. А. Калмыков, Ю. И. Шокин, З. Х. Юлдашев. - Новосибирск: Наука, 1986. - 224 с.
23. Shary, S. P. Solving the tolerance problem for interval linear equations [Text] / S. P. Shary // Interval Computations. - 1994. - Vol. 2. - P. 6-26.
24. Стоян, Ю. Г. Введення в штервальну геометрш [Текст]: навч. пос. / Ю. Г. Стоян. - Х.: ХНУРЕ, 2006. - 98 с.
25. Стоян, Ю. Г. Метрическое пространство центрированных интервалов [Текст] / Ю. Г. Стоян // Доклады НАН Украины. Сер. A. -1996. - № 7. - С. 23-25.
26. Стоян, Ю. Г. Интервальные отображения [Текст] / Ю. Г. Стоян // Доповщ НАН Украши. - 1996. - № 10. - С. 57-63.
27. Стоян, Ю. Г. Account of errors in optimization placement problem [Текст] / Ю. Г. Стоян, Т. Е. Романова // Проблемы машиностроения. - 1998. - Т. 1, № 2. - С. 31-41.
28. Романова, Т. Е. Интервальное пространство InsR [Текст] / Т. Е. Романова // Доклады НАН Украины. - 2000. - № 9. - С. 36-41.
29. бвсеева, Л. Г. Засоби побудови математичних моделей задач оптимiзацiйних розмщення в штервальних просторах [Текст] / Л. Г. Евсеева // Технологический аудит и резервы производства. - 2014.- Т. 6, № 3 (20). -С. 66-73.
30. Гребенник, И. В. Основная оптимизационная задача геометрического проектирования в интервальном виде [Текст] / И. В. Гребенник, Л. Г. Евсеева, Т. Е. Романова // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2004. - № 2. - С. 68-72.
31. Евсеева, Л. Г. Математическая модель и метод решения задачи упаковки интервальных параллелепипедов [Текст] / Л. Г. Евсеева // Доклады НАН Украины. - 2008. - № 2. - С. 48-53.
32. А. с. № 24827 Украша. Комп'ютерна программа "Packing of Interval Parallelepipeds" [Текст] / Стоян Ю. Г., Панкратов О. В., бвсеева Л. Г. - заявл. 01.04.08; опубл. 25.06.08.
33. Евсеева, Л. Г. Задача упаковки интервальных цилиндров в интервальную призму [Текст] / Л. Г. Евсеева, А. Н. Чугай // Системи управлшня, нашгацй та зв'язку. - Кшв, 2007. - С. 121-128.
34. Евсеева, Л. Г. Применение интервального моделирования в порошковой металлургии [Текст] / Л. Г. Евсеева, Г. Н. Яськов // Радюелектронш i комп'ютерш системи. - 2010. - № 7 (48). - С. 95-98.
35. А. с. № 27362 Украша. Комп'ютерна програма "Имитационное моделирование свойств сплава" [Текст] / Стоян Ю. Г., бвсеева Л. Г., Яськов Г. Н. - заявл. 30.12.08; опубл. 23.01.09.
36. А. с. № 25506 Украша. Комп'ютерна програма "Packing of Interval Polygons" [Текст] / Панкратов О. В., бвсеева Л. Г. - заявл. 12.07.08; опубл. 28.08.08.
