CC BY
15
зонансных частот, найдем из решения, относительно [}*, уравнения с/Л,(со)/£Ло|т_т =0, здесь сор - резонансная частота, определенная по (4)
В следующей таблице приведены результаты моделирования первой резонансной частоты цилиндра с параметрами
Л2=6,810"2 м, ¿=2,5-10-' м, 8 = 10-2 м, /то=8-10"3 м, £=10п Па, р0=6,5 103 кг/м3, р=103 кг/м3, у = 10^м2/с.
Вид модели Значение резонансной частоты со, рад/с Значение АЧХ
1. Одномассовая модель 10210,68 (р "=3961,12 м3) 79,02
2 Оболочка-слой жидкости 10210,68 90,17
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. ЛойцянскииЛ.Г Механика жидкости и газа М : Наука, 1978
2. Бидерман В Л Механика тонкостенных конструкций. М Машиностроение,
1977.
3. Курс сопротивления материалов / Под ред. М М Филоненко-Бородич М Гос. изд-во техн -теорет лит , 1956.
УДК 232.5; 232.135 Л. И. Могилевич, А. И. Сафрончик, М. И. Сафроичнк
ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ СРЕДЫ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ С УЧЁТОМ ПРИСТЕННОГО СКОЛЬЖЕНИЯ
В настоящей статье рассматривается задача о развитии и затухании течения вязкопластичной среды в круглой трубе. Постановка задачи проводится на базе пятипараметрической реологической модели, позволяющей учесть не только различие в поведении материала при нагружении и разгрузке, но и учесть возможное проскальзывание вдоль твердой стенки Гистерезис деформаций учитывается с помощью модели Слибара-Паслая [1]. Наблюдаемое на практике "пристенное" скольжение обычно приписывают возникновению у стенки слоя вязкой жидкости (дисперсионная среда) с более низкой вязкостью, чем остальная среда
Теоретические исследования совместного неустановившегося течения вязкой и вязкопластичной жидкостей для простейшего случая плоской трубы выполнено в работах [2,3].
Ниже реализуется другой подход, идея которого принадлежит основоположнику гидродинамической теории смазки Н.П. Петрову [4]. Применительно к вязкопластичной среде гипотезу о проскальзывании можно
сформулировать следующим образом Мри достижении на стенке трубы
»
некоторого критического касательного напряжения т условие прилипания нарушается, и материал начинает скользить вдоль стенки.
Условие скольжения в цилиндрических координатах может быть записано в виде
Здесь т^ динамический предел текучести, г| - структурная вязкость, А, -коэффициент "внешнего" трения, Я - радиус трубы, а остальные обозначения стандартны
Поскольку наиболее вероятным соотношением между характерными параметрами можно считать тд < тст < т , то при увеличении перепада давления разрушение структуры будет происходить сначала без скольжения, а затем со скольжением. При последующем уменьшении перепада давления восстановление структуры будет происходить не сразу. Этому будет предшествовать некоторый переходный этап, в течение которого напряжение на границе "ядра" будет уменьшаться от значения тст до а размеры "ядра" при этом остаются неизменными. Далее структура материала начнет восстанавливаться, а "ядро" увеличиваться в размерах.
Сформулируем теперь математическую постановку задачи. Необходимо решить уравнение:
дУ7 АР(1) р—г- = ——+л|
а /
д2Кг 1 дУг л
-£. +--X
(2)
ч дг1 Г дг ^ в области г0(/) < г < Я, / > 0 при условиях
У, (г, 0) = 0, г0(0) = Л; (3)
Уг(Х,1) = 0 при 0 </<71; (4)
'дУА т -т
дг
(5)
Так как граница "ядра" г = г0(г) неизвестна, то необходимо задать еще одно условие для её определения. Это условие легко получить, применив теорему импульсов к массе "ядра" М = я/рг02(г), имеющей скорость К0(г)
Р'о (0 о
Отметим, что в работах [3, 5], где рассмотрена аналогичная задача для обычной бингамовской жидкости, условие (6) сформулировано неточно, без учета изменения массы "ядра".
Имеем задачу с "искомой" границей: необходимо найти функцию V2(r,t), удовлетворяющую уравнению (2) в области D{r0(t)<r<R, 0 <Г <Г,} и условиям (3) - (6), а также границу области r0(t). Для решения этой задачи использована предложенная в работе [5] модификация метода Колоднера
Ограниченный объем статьи не позволяет в деталях воспроизвести все выкладки, поэтому ограничимся изложением принципиальной схемы построения решения. Сначала строится вспомогательное решение в виде суперпозиции регулярного и нерегулярного решений уравнения (2) с нулевыми начальными условиями Kz(r,f) = F(r,t) + N(r,t). Регулярное решение F(r,t) ищется в области (0 <r<R) при условиях \F(r,t)\< const, F(R,t) = -N(R,t) и записывается в виде ряда Фурье-Бесселя. Нерегулярное решение строится в области (0 < г * r0(t) < <я) в виде комбинации тепловых потенциалов простого и двойного слоев от источников, равномерно распределенных по окружности переменного радиуса r0(t). Мощности источников подбираются так, чтобы скачок функции на кривой r0(f) совпадал с правой частью условия (6), а скачек производной - с правой частью условия (5). Отметим, что вспомогательное решение не зависит от конкретного вида кривой Потребовав далее, чтобы
lim К2(г,О = 0, (7)
г-»г0(0-0
получим уравнение для определения r0(t)
Показывается, что если r0(t) является решением уравнения (7), то Vz(r,t) = 0 в области 0 < г < r0(t) и, следовательно, выполняется
дУ
lim —- = 0 (8)
г->г0(/)-О дг
Доказывается и обратное утверждение Уравнение (7) и (8) являются нелинейными интегро-дифференциальными уравнениями Вольтерровского типа. Вопрос о методах их численного решения обсуждается
Подставив найденную функцию r0(t) во вспомогательное решение для г > г0(1), получаем решение задачи.
В момент / = 7"| напряжение на стенке грубы достигнет значения т* и начнется проскальзывание материала. Для этого временного отрезка (7j < t < Т2) изменится лишь условие (4), его нужно заменить условием (1).
Это различие скажется только на регулярной составляющей вспомогательного решения Построение регулярного решения и в этом случае не представляет большого труда. Оно записывается также в виде ряда Фурье-Кссссля, только суммирование ведется по корням уже другого трансцендентного уравнения В момент 1 = Т2 перепад давления начинает уменьшаться, но восстановление структуры сразу не произойдет, так как на границе "ядра" в этот момент напряжение равно тст. Должен пройти некоторый промежуток времени (Т2 <1<Т3), пока оно не упадет до значения В этот промежуток "ядро" не изменяет своих размеров г0 (/) = г0 (Т2), поэтому решаются задачи течения со скольжением и без скольжения в области с постоянными границами. Изменяются условия на поверхности "ядра"
Решения опять выписываются в виде рядов Фурье - Бесселя.
С момента I = Т3 начнётся восстановление структуры Построение решения проводится аналогично первым двум этапам, только условие (5) заменяется условием
1 Slibar A , Paslay PR. Retarded Flow of Bingam Materials // J of Appl Mech 1959 March P 107- 112
2 Огибаюв ПМ, Мирзаджанзаде AX Нестационарные движения вязкопла-стичных сред М Изд-во Моек ун-та, 1970. 430 с.
3. Сафрончик А И. Неустановившееся течение вязкопластичной среды между параллельными стенками с учётом эффектов пристенного скольжения и запаздывания восстановления структуры // Аэродинамика Саратов: Изд-во Сарат ун - та, 1975 Вып 4(7) С 166-181
4 Петрив Н.П. Гидродинамическая теория смазки / Под ред. Л.С. Лейбензона М Л ГТТИЗ, 1934. 245 с.
5 Сафрончик А И Некоторые задачи неустановившегося течения вязкопласгич-ных сред: Дис канд физ -мат наук Ростов н/Д, 1962. 109 с.
w-^j+i} ^-JL-ttfjrff.
Pi. 1 го(Тг)
(Ю)
(П)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
