Задачи плазмостатики в двухжидкостной магнитной гидродинамике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1088-1089

УДК 533.9

ЗАДАЧИ ПЛАЗМОСТАТИКИ В ДВУХЖИДКОСТНОЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

© 2011 г. В.В. Савельев

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва

[email protected]

Поступила в редакцию 16.05.2011

Представлен новый подход к исследованию равновесных плазменных конфигураций, основанный на последовательном использовании двухжидкостного гидродинамического описания электрон-ионной плазмы с учетом инерции электронов. Получены уравнения плазмостатики, являющиеся обобщением известного уравнения Грэда - Шафранова. Приведены примеры численного и аналитического решения этих уравнений применительно к магнитной ловушке типа тэта-пинч. Показано, что основные свойства конфигураций не зависят от малого параметра - отношения масс электрона и иона, а определяются инерционной длиной.

Ключевые слова: двухжидкостная МГД, инерция электронов, магнитная ловушка, уравнение Грэда-Шафранова.

Задачи плазмостатики исторически возникли как составная часть программы управляемого термоядерного синтеза. В центре внимания находится расчет равновесных конфигураций плазмы и удерживающего ее магнитного поля. Теоретической основой исследования технических конструкций, реализующих равновесные конфигурации (магнитные ловушки), на сегодняшний день остается в основном МГД-теория. В случае осевой симметрии равновесная МГД-конфигурация ищется как решение известного уравнения Грэда - Шафранова (ГШ). В настоящем исследовании применительно к задачам плазмостатики рассмотрена двухжидкостная гидродинамическая модель, согласно которой плазма - это совокупность двух взаимопроникающих сжимаемых газов — электронного и ионного. Микроскопической основой такого представления служит отмеченное еще Л.Д. Ландау обстоятельство, что равновесное максвелловское распределение в каждой из плазменных компонент - электронной и ионной - устанавливается гораздо быстрее, чем происходит теплообмен между ними. Основное внимание в работе уделено изучению важного частного класса магнитных ловушек типа тэта-пинч, которые характеризуются осевой симметрией и наличием только азимутальных токов и полоидальных магнитных полей. Анализ полученных результатов показывает, что учет двухжидкостной структуры плазмы (учет инерции электронов) приводит к появлению новых классов равновесных конфигураций тэта-пинча, не

описываемых МГД-теорией. Среди них есть как равновесия, получающиеся слабым возмущением некоторых грэд-шафрановских конфигураций, так и равновесия, кардинально отличающиеся от МГД-конфигураций и не переходящих в них в МГД-пределе.

Используем цилиндрические координаты (г, ф, г) и стандартные обозначения для МГД-ве-личин. Рассмотрим задачу нахождения равновесных осесимметричных конфигураций, для ко -торых Э/Эф = Нф = ]г = = 0. С точки зрения

гидродинамической аналогии речь идет о нахождении стационарных течений несжимаемой жидкости вокруг оси симметрии. Классическое уравнение ГШ в этом случае имеет вид

АТ, „32 Р¥) 8п2г .о, .

А¥ = -16п3г2 ------;0(г,г),

д2¥ д2¥ 1 д¥

- + -

дг2 дг2 г дг

Здесь ¥(г, г) — функция магнитного потока, Р(¥) — произвольная заданная функция ¥, имеющая смысл давления плазмы, 7, (г, г) — известная функция, определяющая распределение внешних токов. В двухжидкостной МГД вместо (1) будем иметь два уравнения [1, 2]:

2

л*1т< 1^32 дР 8п г .о

А^ = -16л3 г-----------------7,0, (2)

д^ с ф

дР = г (дР дг р(г,¥) ^д^

4л2с 2

8 =-

тт, (3)

где те , т, — масса электронов и ионов соответственно. Теперь давление Р - не произвольная

2

2

е

функция как это было для уравнения ГШ, оно

функционально зависит также от г и должно определяться как решение нелинейного уравнения в частных производных (3). Физический смысл этого уравнения состоит в учете центробежной силы, действующей на вращающиеся вокруг оси 2 электроны и ионы. В МГД-статике центробежной силы просто нет. Уравнение (3) содержит «малый» параметр 8. При 8 = 0 получается уравнение ГШ. Если 8 << 1, естественно считать, что дР/дг ~ 0, Р ~ Р(¥), и, следовательно, решения (2) должны быть близки к решениям уравнения ГШ. В действительности из-за нелинейности уравнения (3) положение более сложное. Можно показать, что для любого 8 << 1 уравнение (3) имеет много решений, для которых дР/дг >> 1. Решение системы (2), (3) позволяет найти не только распределения магнитного поля и давления (с точностью до аддитивного слагаемого), но и абсолютные значения плотности.

Приводятся различные аналитические и численные решения этой системы на примере двух магнитных ловушек — дублета и диполя. На рисунках представлен пример такого решения для ловушки «Диполь», когда распределения магнитного поля и давления близки к распределениям, даваемым решением уравнения ГШ. Показано распределение давления Р (рис. 1) и плотности п (рис. 2).

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №09-01-00181.

0.2

0

0.2 0.4 0.6

Рис. 1

0.4 0.6 R

Рис. 2

Список литературы

1. Gavrikov MB., Savelyev V.V. // Journal of Mathematical Sciences. 2009. V. 163, No1. P. 1-40.

2. Гавриков М.Б., Савельев В.В. // Механика жидкости и газа. 2010. №2. С. 176-192.

PLASMASTATIC PROBLEMS IN TWO-FLUID MAGNETOHYDRODYNAMICS

V. V. Savelyev

This paper presents a new approach to the study of equilibrium plasma configurations, based on systematic use of two-fluid hydrodynamic description of electron-ion plasma, taking into account the inertia of electrons. The plasmastatic equations which generalize the well-known Grad-Shafranov equation are obtained. It is shown that the basic configuration properties do not depend on a small parameter - the mass ratio of electron and ion, but are determined by the inertial length.

Keywords: two-fluid magnetohydrodynamics, inertia of electrons, magnetic trap, Grad-Shafranov equation.