CC BY
45
Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 661-663
УДК 519.634; 533.951
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАГНИТНОГО УДЕРЖАНИЯ ПЛАЗМЫ В ЛОВУШКАХ-ГАЛАТЕЯХ
© 2011 г. К.В. Брушлинский, Н.А. Чмыхова
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва
Поступила в редакцию 16.05.2011
Обсуждаются МГД-модели равновесных конфигураций плазмы в магнитных ловушках с погруженными в них проводниками: плазмостатические - в терминах краевых задач с уравнением Грэда - Шафранова и плазмодинамические, описывающие формирование конфигурации установлением нестационарного течения. Показано, что не существует строго равновесных конфигураций с изолированными от плазмы проводниками, но их можно получить в квазиравновесном режиме после кратковременного возрастания тока в проводниках. Приведены примеры расчетов в обеих моделях.
Ключевые слова: плазма, МГД-модели, плазмостатика и плазмодинамика, уравнение Грэда - Шафранова, магнитные ловушки.
Удержание плотной горячей плазмы магнитным полем в состоянии равновесия относится к проблемам управляемого термоядерного синтеза. С ним связаны многочисленные исследования равновесных магнитоплазменных конфигураций, в том числе математическое моделирование и расчеты. Перспективный класс ловушек-галатей, предложенных А.И. Морозовым [1], характеризуется тем, что проводники с электрическим током , создающие магнитное поле, погружены в плазменный объем. Это обеспечивает большее разнообразие геометрии поля и позволяет ожидать более высоких параметров удержания. Приводятся примеры ловушек-галатей, тороидальных и их распрямленных в цилиндр аналогов с двумя, тремя и более токами, параллельными магнитной оси и винтовыми по отношению к ней [2-4]. Рассматриваются два типа задач и соответствующие им два типа математических моделей плотной плазмы в ловушках, основанных на приближении механики магнитной газодинамики.
1. Плазмостатика
Плазмостатические модели имеют дело с равновесными конфигурациями безотносительно процесса их формирования. При наличии симметрии (плоской, осевой, винтовой) их математический аппарат сводится к краевым задачам с двумерным эллиптическим уравнением типа Грэда- Шафранова [5]:
Ау +-О— ++ jex (^ у) _ о (1)
ау ау
для функции потока магнитного поля. Его нелинейные слагаемые содержат произвольные функции р(у) и /(у), описывающие распределение давления плазмы и электрического тока между магнитными поверхностями, и могут быть выбраны достаточно произвольно на основе дополнительных требований к искомой конфигурации или имеющихся экспериментальных данных. Этот математический аппарат является общим для моделей более широкого класса процессов взаимодействия реакции и диффузии и используется, например, в теории горения. С ним связаны нетривиальные вопросы существования, единственности и устойчивости решения, ответы на которые дают спектральные свойства оператора линеаризованного уравнения (1) [2].
Численное решение краевой задачи с уравнением (1) позволяет получить равновесные конфигурации плазмы и поля в различных по форме и расположению проводников ловушках и удовлетворяющие различным требованиям. Этому способствует фактическая недоопределенность задачи - возможность свободного выбора функций р(у) и /(у) в соответствии с предъявляемым требованием. В частности, без труда получаются конфигурации, в которых проводники оказываются изолированными от горячей плазмы, находящейся от них на конечном расстоянии. При этом ток в плазме в ближайшей окрестности каждого про-
водника имеет обратное направление по отношению к току в проводниках в основном объеме плазмы. Поскольку в простейших случаях току в плазме соответствует производная dpldty, достаточно задать функцию p(^) немонотонной в нужных областях решения задачи.
2. Плазмодинамика
Плазмодинамические модели становятся необходимыми при исследовании нестационарных процессов формирования равновесных конфигураций с требуемыми свойствами. Модель процесса установления можно получить при численном решении смешанной задачи с уравнениями магнитной газодинамики, в которой граничные условия соответствуют искомому равновесию, а начальные — какому-либо естественному распределению плазмы и поля в области ловушки. В частности, таким способом небезынтересно определить механизм установления указанных выше конфигураций плазмы, не соприкасающейся с проводниками. Однако из уравнения магнитной индукции
= rot([v, H] -vj),
dt
где H — напряженность магнитного поля, v — скорость, j = rot H — плотность электрического тока, V = 1lRem — «магнитная вязкость», обратная магнитному числу Рейнольдса, следует, что в установившемся строгом равновесии (dldt = 0, v = 0) rot (vj) = 0.
В обсуждаемых здесь двумерных задачах это означает, что Vj = const, где j — компонента тока вдоль проводника. Значит, этот ток не может иметь разные направления в разных областях ловушки, и, следовательно, строго равновесных конфигураций плазмы конечной проводимости, изолированных от проводников, не существует. Отрицательный ток вблизи проводника, способный отодвинуть плазму от него, может быть создан лишь в нестационарном процессе, когда, например, величина тока в проводнике возрастает со временем [3]. МГД-мо-дель такого процесса реализована в расчетах одномерной задачи в окрестности одного прямолинейного проводника [6]. В начальной стадии процесса ток в проводнике растет линейно со временем от нуля до заданного постоянного в дальнейшем значения. При этом образуется конфигурация кольцевого сечения, окружающая проводник и находящаяся на конечном расстоянии от него. Она существует в квази-стационарном режиме и относительно медленно разрушается вследствие диффузии поля в плаз-
ме высокой проводимости. В расчетах получены оценки времени существования этого режима в зависимости от проводимости плазмы и параметров, характеризующих электрические токи в проводнике и в плазме. Та же модель при постоянном токе в проводнике иллюстрирует формирование равновесной конфигурации, сосредоточенной непосредственно у проводника с максимальными значениями плотности и температуры на его поверхности.
3. Модель ловушки «Пояс»
Двумерная плазмодинамическая модель построена и реализована в расчетах плазменного цилиндра квадратного сечения с двумя параллельными его оси токами, расположенными в плоскости симметрии. Здесь также ток в проводниках включается постепенно на начальной стадии процесса. МГД-задача решена численно разностным методом с коррекцией потоков по Зале-саку [7]. Она рассмотрена для простоты в односвязной области, а участвующие в ней проводники с током представлены функцией jex в уравнении (1), сосредоточенной в окрестности мест их расположения [2]. При возрастании тока в проводниках в цилиндре образуется конфигурация плазмы с сечением в форме криволинейного четырехугольника с выпуклыми внутрь сторонами, сосредоточенная в центре области и охватывающая своей периферией проводники. Она существует в квазистационарном режиме и соответствует равновесной конфигурации, которая получена для той же ловушки «Пояс» [1] в расчетах плазмостатической модели, проведенных авторами в последнее время. Результаты расчетов аналогичной задачи в цилиндре круглого сечения [4] незначительно отличаются от них в центральной части, где находится обсуждаемая конфигурация, что подтверждает их надежную устойчивость по отношению к изменениям внешней границы области.
Работа поддержана РФФИ, грант № 09-01-00181.
Список литературы
1. Морозов А.И., Савельев В.В. // Усп. физ. наук. 1998. Т. 168, №11. С. 1153-1194.
2. Брушлинский К.В. Математические и вычислительные задачи магнитной газодинамики. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. 200 с.
3. Дудникова Г.И., Морозов А.И., Федорук М.П. // Физика плазмы. 1997. Т. 23, №5. С. 387-396.
4. Брушлинский К.В., Игнатов П.А. // Журнал вычисл. математики и матем. физики. 2010. Т. 50, №12. С. 2184-2194.
5. Шафранов В.Д. // Журнал эксп. и теор. Физи- тическое моделирование. 2010. Т. 22, №6. С. 3-14. ки. 1957. Т. 33. Вып.3(9). С. 710-722. 7. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирова-
6. Брушлинский К.В., Чмыхова Н.А. // Матема- ние реагирующих потоков. М.: Мир, 1990.
MATHEMATICAL MODELS OF MAGNETIC PLASMA CONFINEMENT IN GALATEYA-TRAPS
K. V. Brushlinsky, N.A. Chmykhova
We consider MHD models of equilibrium configurations in magnetic traps with conductors immersed in the plasma. Plasma-static models are presented in terms of boundary problems with the Grad - Shafranov equation. The plasma-dynamic ones describe time-dependent relaxation process that forms configurations. It is shown, that strongly equilibrium configurations with conductors insulated from plasma do not exist. They can be seen only in a quasi-equilibrium regime after a short-term increase of the electric current in the conductors. Some examples of computations in the both models are presented.
Keywords: MHD-models, plasmastatics and plasmadynamics, Grad - Shafranov equation, magnetic traps.
