Задача с внутренними условиями для псевдопараболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2001, Том 3, Выпуск 4

УДК 517.946

ЗАДАЧА С ВНУТРЕННИМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

А. Ф. Han со

Установлены существование и единственность решения задачи с внутренними условиями для псевдопараболического уравнения.

Пусть I) = {(.г. /) : 0 < .г < //. О < / < '/"}• — конечная односвязная область евклидовой плоскости независимых переменных х и t, D — замыкание I). ./ — интервал 0 < t < Т прямой х = xq е]0, Н[, Dq = D\J. Для общего псевдопараболического уравнения [1]

L(u) = uxxt + d(x, t)ut + i](x, t)uxx + a(x, t)ux + b(x, t)u = —q(x, t) (1)

рассматривается следующая

Задача. Найти регулярное в D0 решение u(x,t) уравнения (1) из класса u(x,t), ux(x,y) G C(D), uxy е С (Do), удовлетворяющее условиям

u(x,0) = h(x) Ухе [О, H], (2)

ux(x0,t) = f(t) Vie [о,г], (3)

и(хъ t) = ju(x2, t) Vi G [О, T], (4)

где .г i < .Гц < .!■■> — произвольно фиксированные точки из интервала ](). Н[, h(x) и f(t) функции, 7 = const.

Отметим, что условия (3) и (4) являются внутренними, причем внутреннее нелокальное условие (4) относится к типу нелокальных граничных условий Вица, л;«! — Самарского [2], которое естественным образом возникает при решении многих прикладных задач и обобщено А. М. Нахушевым в [3]. Имеет место следующая

Теорема. Если коэффициенты уравнения (1) и условий (2)-(4) удовлетворяют требованиям

i]x(x,t), dt(x,t), ax(x,t), b(x, t), q(x,t) e C(D), (5)

h(x) E С-Ъ. //]. f(t) E Са[0,Т}, (6)

d(x, t) < 0 V(>, у) E Dq, 7^0, (7) то задача (l)-(4) разрешима и притом единственным образом.

© 2001 Напсо А. Ф.

< Справедливость сформулированной выше теоремы докажем методом функции Римана, разработанным в [4].

Предположим, что решение задачи (1)-(4) существует в области

= {(ж, £) : 0 < ж < ж0, 0 < £ < Т} и м(ж0, £) = ¥?(£) Ví е [О, Г], (8)

где уЧ/) е С1 [О, Г] — неизвестная пока функция. Тогда, интегрируя тождество

dL{v) - uM{d) = — duxt + udxt + r]uxd ^ {r]d)xu +aud + -^[du9 - ux9x] (9)

d

dtl

по области Qi = {(ж, £) : 0 < a < x < ж0, 0 < £ < ¡3} с использованием свойств функции Римана wx(x, £; a, (3) [4] и условий (2), (3), (8), имеем

¡3

u(a, ¡3) = Fi(a, ¡3) + ip((3)wx(xo, (3; a, ¡3) + J ki(a, (3, t)<p(t)dt, (10)

о

где (a, ¡3) — произвольная точка Di,

M = wxi{xQ,t;a,f3) - %(ж0, t)w(x0, £; a, f3)

— i](xq, t)w(xo, £; a, (3) + a(xo, t)w(xo, £; a, (3),

x0 ¡3

Fi(a, ¡3) = / / w{x,t\a, j3)q{x,t)dxdt

a о

x0

+ / [«¿(ж, 0)/г(ж)ад(ж, 0; a, /3) — wx{x, 0; a, /?)/&'(ж)] dx

а

/3

[и>(ж0, £; а, /?)/'(*) + ??(>0, ¿М^о, а, /?)/(*)] dt.

о

Переходя в (9) к пределу при а ^ х±, получим

¡3

и(х!,(3) = Рг(х1,(3) + <р((3)тх(хо,(3;х1,(3) + ^ ¿^(жь (3, £)</?(£)сЙ. (11)

о

Для нахождения неизвестной функции <¿(1.) рассмотрим в области /)•_> = {(ж,£) : жо < ж < жо, 0 < £ < Г} характеристическую задачу Гурса (2), (3), (8) для уравнения (1).

4-38

А. Ф. Напсо

Интегрируя тождество (9) по области П2 = {(ж, £) : жо < х < С? О < £ < г < Г} с учетом свойств функции Римана £; г) [4] и условий (2), (3) и (8) имеем

г

г) = т) + ф)$х{х0, г; С, г) + I к2(£,т, £)^(£)сЙ, (12)

о

где (£. г ) — произвольная точка /)•_>.

Ы&М) = $хлЫ,т;£,т) -

- Фх(х0, £; С, г) + а (ж, £; С, т)<Й,

Р^.г) = I I ф^ы.и^ш

х0 О £

ё(хо, г)к(х)'в(х, 0; С, г) - ЛДж, 0; С, т)

йX

х0

19(х0, £; С, т)/'(£) - ¿Ж^о, £; С,

Переходя в (12) к пределу при £ —ж2, получим

г) = т) + <р(т)19х(хо, г; ж2, г) + J к2{х2, т, £)<£>(£) ей. (13)

о

Принимая во внимание (11), (13) и пользуясь внутренним нелокальным условием (4) при ¡3 = г, получим для нахождения неизвестной функции интегральное уравнение типа Вольтерра

где

(т{т)ф)= J к(т^)ф)М + Ф0(т), (14)

о

о-(т) = «^(жо^жьт) — т$х(хо, т; Ж1, т),

Ф0(т) = Л^2(ж2,г) + ^1(жьг), &(т,£) = 7&2(ж2, т,£) - ^(жьг, £).

Из построения функций Римана £; г) и £; а, /3) следуют неравенства

'дх(х0,т;х2,т) > 1, шх(10,г;ж1,г) > 1, (15)

и

если только d(x,t) < 0 V(x,t) £ Dq, которые являются прямым следствием леммы из [4].

Тогда, с учетом (5)-(7), (15) и свойств функций Римана £;£,т) и w(x, £; a, ß) характеристических задач, единственное регулярное решение у(т) интегрального уравнения Вольтерра второго рода (14) из класса С1 [О, Т] пред-ставимо в виде

г

¥>(т)=Ф(т) + J Д(т,£)Ф(т)(Й, (16)

о

где ip(r) = Фо(т)/сг(т), Д(т,£) — резольвента ядра fc(r, £)/<т(т).

После определения u(xo,t) = <p(t) формулой (16), исследуемая задача для уравнения (1) распадается на две характеристические задачи в 1)\ и /)•_>. единственные регулярные решения которых даются, соответственно, формулами (10) и (12).

Из единственности решения указанных характеристических задач Гурса для псевдопараболического уравнения (1) следует справедливость теоремы. >

Литература

1. Cannon J. R. The solition of the heat eqution subject the specification of energy // Quart. Appl. Math.—1963.—V. 21, No. 2,—P. 155-160.

2. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР.—1969.—Т. 185, № 4,—С. 739-740.

3. Нахушев А. М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференц. уравнения,—1979.—Т. 15, № 1,—С. 96-105.

4. Шхануков M. X. Об одном методе решения краевых задач для уравнения третьего порядка // Докл. АН СССР.—1982,—Т. 265, № 6.—С. 1327-1330.

г. Нальчик

Статья поступила 20 декабря 2001 г.