Некоторые характеристические задачи для систем нагруженных дифференциальных уравнений и их связь с нелокальными краевыми задачами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

Е.Н. Огородников

НЕКОТОРЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СВЯЗЬ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ

В работе затронута проблема корректности задач с данными на параллельных характеристиках для нагруженных гиперболических дифференциальных уравнений и систем уравнений с кратными характеристиками на плоскости. Приведены примеры корректных постановок задач с данными на всей границе характеристического квадрата. Обоснована равносильность рассмотренных задач определенным нелокальным краевым задачам со смещением на параллельных характеристиках.

Введение. Хорошо известно, что для уравнений с частными производными гиперболического типа задача Дирихле и краевые задачи с данными на характеристиках из одного и того же семейства являются примерами некорректно поставленных задач [1].

В данной работе рассмотрена система нагруженных гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными:

и- иуу + А(х, у)их + В(х, у)иу + С(х,у)и = ^^ (х, у)и [ (хУ)],

(1)

где А, В, С и ¥к — действительные функциональные [пXп] -матрицы, и(х,у) = (м1;и2;* ;ип)Т — вектор искомых функций, а Рк — некоторые точки на принадлежащих замыканию характеристической области П = {(х, у): 0 < х + у < 1,0 < х - у < 1} многообразиях размерности 1.

Пусть 0+ (х) =

2 2

0+ (х) =

1 + х 1 - х

0- (х) =

0- (х) =

2 2

\ / \ / \ / \ / суть аффиксы точек пересечения характеристик системы уравнений (1), выходящих из произвольной точки х є [0,1], с характеристиками, ограничивающими область Рассмотрим

условия

и[0-(х)] = р_(х), и[0+ (х)]= (х), хє [0,1]; (2)

и [0+ (х)] = р+ (х), и [0- (х)]= у- (х), х є [0,1]. (3)

Неравноправие характеристик как носителей данных Дарбу, известное в теории вырождающихся уравнений гиперболического типа [2], проявляет себя и в задачах с данными на параллельных характеристиках даже для простейших нагруженных волновых уравнений, в чем нетрудно убедиться на примере уравнения

ихх - иуу = 1и(х - У, 0), Я є Я, Я Ф 0. (4)

В работах [3, 4] для уравнения (4) обоснованы существование и единственность решения задачи с условиями вида (2) в скалярном случае при выполнении некоторых необходимых условий, наложенных на значения заданных функций р- (х), (х) и их производных при х = 0

их = 1. Однако задача с данными (3) на параллельных характеристиках из другого семейства для уравнения (2) будет неразрешима единственным образом.

Если вместо уравнения (4) рассмотреть уравнение

ихх - иуу = 1и(х - у,0)+ти(х+у,0), я, т є я, я, т * 0, (5)

то однозначно разрешимыми окажутся обе задачи.

Результат легко обобщается на системы уравнений вида

ихх - и уу = Яи(х - у,0)+Ми(х + у,0Х

(6)

где и(х, у) = (и1; и2;* ; ип )Т — вектор искомых функций; Н, М — произвольные числовые невырожденные и, вообще говоря, некоммутативные [п X п] -матрицы [5].

В общем случае существование единственного решения задач с условиями (2) или (3) для системы уравнений (1) может быть обосновано методом Римана.

Характеристические задачи для одной системы нагруженных уравнений с равными матричными коэффициентами при младших производных. Рассмотрим систему уравнений

и хх - и уу + А (и х + и у) = [ Н (х)и( х, у)] (х - у, 0) + [М (х)и( х, у)] (х + у, 0), (7)

где и (X ,,) = и

и, + 2 Аи, =- н (X )и (X, X)+т М (, )и (, ,),

а вспомогательная задача Гурса с данными и(0,,) = и1(,),

где А — произвольная числовая, а Н(х), М(х) — функциональные [пXп] -матрицы.

В характеристических координатах X = х - у, , = х + у система уравнений (7) приводится к виду

2 Аи, = 4 Н (X )и (X,«)+4

Я+X , - X

2 , 2

\ /

и (X ,0) = и^) редуцируется к системе нагруженных интегральных уравнений [6]

X ,

и (X я) = и 2 (X)+е" ^^ [(,) - и 0 ]+, } е" ^ ^- 5) н (8 )и (5,5 )Ж + 2 А-1 (£ - е" ^ ^ Нм (5 )и (5,5 )<м

4 0 2 0 где и0 = и (0,0) = и1 (0) = и2 (0), Е — единичная матрица.

Возвращаясь к искомой вектор-функции и( х, у), получим представление регулярных в области ^ решений системы уравнений (7)

,х-у

- ^А(х-у-5)

^ +

и(х, у) = и2 (х - у) + е /2А(х у) (х + у) - и0 ] + —— М е /2А(х у 8)Н(5)и(5,0)<*-

40

1 / V \х+у

+2 А-1 (Е - е~/^у)) М М(5)и(5,0)^5, (8)

4

1 л-1 I п „-У2А(х-у)'

2' и

если вектор-функции и1 (х), и2(х) е С[0,1] п С2(0,1), а матрицы Н(х), М(х) е С[0,1] п С1 (0,1). Рассмотрим задачу с условиями (2). Подчиняя равенство (8) первому из них, найдем, что

и 2 (х) = р- (х). (9)

Второе условие с учетом (9) приводит к системе интегральных уравнений

<Р_ (х) + 12^ [ (1) - <р_ (0)] + - } е~^А(х-*)Н (5)и(5,0)й5 +

4 0

+1А- (Е - е~12 А) | М (5)и (5,0) й* = у + (х), (10)

20 которая при х = 0 позволяет определить значение вектора

Ц(1) = (0), (11)

а при х = 1 с учетом (11) превращается в некоторое необходимое условие, связывающее значения заданных функций р- (х) и (х) на концах отрезка [0,1]:

11 -...................

+

р- (1) + е"^ [ (0) - р- (0)] + -Ме-^А(1-8)н(,ф(5,0)Л 4

+—

2

2 А-1 (Е - е~У2А) ММ(5)и (5,0)Ж = у + (1). (12)

20

Для того чтобы исключить неизвестную вектор-функцию и1 в равенстве (8), вычислим значение вектора и(х, у) при у = 0 и выразим и1(х):

и1 (х) = р- (0) + еУА [и(х, 0) - р- (х)] - х}еУ2А5Н(5)и(5,0)й5 -1А- (еУ2А - Е)}м(5)и(5, 0)й5.

4 0 2 0 Вычисляя теперь значение вектор-функции и1 в точке х + у и подставляя соответствующее выражение вновь в формулу (8), получим представление искомого вектора и(х, у) через его неизвестные пока значения и(х + у,0) и и(х,0):

_1_ х + у

и(х, у) = Р- (х - у) + еАу [и(х + у,0) - Р- (х + у)] - М е У2А(х-у-5)Н(5)и(5, 0)й5 +

1 х+ у

+-А- (е -еАу)) М(5)и(5,0)Ж. (13)

0

Дифференцируя по х равенство (10) и исключая из полученного соотношения

| М (£)и(£,0)^у, получим систему интегральных уравнений:

0

(е~^Ах - Е)И(х)и(х,0) +1 а}е~^А(^И(5)и(5,0)Л = f (х), (14)

2 о

- ^Ах г-Л Г ' / \ ' /• \П /-Ч л - ^Ах

где вектор Г(х) = 4(е /'2'А -Е)[у+(х)-р-(х)] + 2Ае \_(у+ (х)-у+ (0))-((х)-р-(0))].

Решение системы уравнений (14) имеет вид И(х)и(х, 0) = И(0)р- (0) + 4 [у + (х) -у+ (0) - р- (х) + р+ (х)] + 2А [у + (х) -у + (0) - р_ (х) + р_ (0)]. (15)

Заметим, что так как и (1,0) = у + (1), то система уравнений (14) налагает на значения заданных функций р- (х) и у + (х) на концах отрезка [0, 1] еще одно необходимое условие:

(е~^А -Е)И(1)у + (1) +1 Л|е ^А(1-5)И(5)и(5,0)^5 = Г(1). (16)

20

В работе [7] было показано, что совокупность условий (12) и (16) равносильна следующим двум условиям:

1

И (0)р- (0) +1М (5 )и(5, 0)Ж = 4 [у+ (0) - р- (0) ] + 2 А [у+ (0) - р_ (0)]; (17)

0

1

И(1)р+ (1) +1М(5)и(5,0)Ж = 4 [у+ (1) - р- (1)] + 2А [у + (1) - р- (1)], (18)

0

в которых следует использовать выражение и( х,0), определяемое из формулы (15) при дополнительном требовании обратимости матрицы И (х) всюду на отрезке [0, 1]. Используя это же выражение в формуле (13), после некоторых вычислений получим искомое решение в явном виде.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть вектор-функции р-(х), у+ (х)е С1 [0,1]пС2(0,1), матрицы

М(х) е С[0,1] п С1 (0,1), И (х) е С[0,1] п С2 (0,1), причем матрица И (х) обратима всюду на

[0,1]. Тогда при выполнении условий (16) и (17) единственное решение и(х,у) е С (о) п С2 (О) уравнения (7) с данными (2) имеет вид (13), где и( х,0) предварительно определяется из уравнения (15).

Аналогично обосновывается существование единственного решения системы уравнений (7) с условиями (3) на другой паре параллельных характеристик. Действительно, подчиняя равенство (8) первому из них, найдем что

Ц( х) = р+ (х). (19)

Второе условие с учетом (19) приводит к системе интегральных уравнений:

и 2 (1) + е“12 А [ (х) - р+ (0)] + ] } е“^ А(1-5) И (5 )и( 5, 0)^ +

40

+ — А- (Е - е ^А )|М(5)и(5,0)^5 = у (х), (20)

20

из которой при х = 0 определяется значение вектора и2 (1) = у- (0) и в конечном итоге - выражение для неизвестной вектор-функции и(х,0):

_ 1/ А,

М(х)и(х, 0) = М(0)р+ (0) + 2А (е^А - Е

е/2 (у-(х) -у-(0))-((х) - р-(0))

(21)

Необходимые для разрешимости задачи условия будут следующими:

1 А-1 (е^А - Е)М(0)р+ (0) +1 [еУ^И(5)и(5,0)^5 = е(0) - р+ (0), (22)

2 \ / 40

1 А-1 (е^А - Е)М(1)^ (1) +1 [еУ^И(5)и(5,0)Ж = е12Ау’ (1) - р+ (1). (23)

2 \ / 40

Исключая в равенстве (8) неизвестную вектор-функцию и2 подобно тому, как это делалось в предыдущей задаче, получим следующее представление искомого вектора:

х- У

и(х,у) = и(X - У,0) + е ^А(х У} [+ (X + У) - р+ (х - У)] + ] | е 72А(х У "}Н(5)и(5,0)<*

2 0

+-Л-1 (Е - е^х-у)) | М(5)и(5,0)—5. (24)

х - у

Фигурирующая в равенствах (22), (23) и (24) вектор-функция и( х,0) определяется из уравнения (21) при дополнительном требовании обратимости матрицы М(х) всюду на отрезке [0,1].

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть вектор-функции (+ (х), у-(х)е С1 [0,1]пС2(0,1), матрицы М(х) е С[0,1] п С2(0,1), Н(х) е С[0,1] п С1 (0,1), причем матрица М(х) обратима всюду на [0,1]. Тогда при выполнении условий (22) и (23) единственное решение и(х, у) е С (о) п С2 (О)

уравнения (7) с данными (3) имеет вид (24), где и( х,0) предварительно определяется из уравнения (21).

Доказательства существования решения в приведенных выше теоремах осуществляется непосредственной подстановкой решений (13) или (24) в систему уравнений (7); единственность решений и корректность задач по Адамару в топологии пространства вектор-функций С[0,1] п С1 (0,1) очевидны.

Замечание. Известно, что между локальными краевыми задачами для нелокальных, в частности, нагруженных дифференциальных уравнений и нелокальными краевыми задачами для локальных уравнений существует тесная связь [2]. Впервые этот факт отмечен в работе А.М. Нахушева [8].

Покажем, что рассмотренные выше задачи равносильны некоторым задачам со смещением на параллельных характеристиках.

Из равенства (10) дифференцированием по х нетрудно получить следующее уравнение относительно вектора и(х,0):

1

Н (х)и( х, 0) +1М (5 )и(5, 0— = 4 [у + (х) - рр_ (х) ^ + 2 Л [у+ (х) - (р- (х)], (25)

0

к которому редуцируется задача с условиями (2). Необходимые для разрешимости задачи условия (17) и (18) теперь получаются с очевидностью из равенства (25) при х = 0 и х = 1.

Используя вновь эти условия (2) в равенстве (25), получим нелокальное краевое условие со смещением

' — 1 \ г^, 1 ......... 1 г

£— + -А ёх 2

(и [©+ (х)] - и [©- (х)]) = 4Н(х)и(X, 0) +11М(5)и(5,0)<*. (26)

4-о

V /

Аналогично, дифференцируя по х равенство (20) в задаче с условиями (3), получим систему уравнений

11

1 Л-1 (еУЛ - Е)М(х)и(х,0) +1ГеУ2Л5Н(5)и(5,0— = е(х) - р+(х), (27)

2 \ / 40

равносильную следующему нелокальному краевому условию со смещением:

е^2Л — и [©- (х)] -—и [©+ (х)] =1 Л-1 (е^Л - Е)М(х)и(х, 0) +11е^2Л*Н(5)и(5,0)—5. (28)

—х —х 2 \ ' 4 0

Пусть

и(х,0) = %(х), %(х) = (;%2;* ;%п), (29)

является заданной вектор-функцией. Тогда задачи с условиями (2) или (3) для системы уравнений (7), в которой правые части представляют собой теперь известные, в силу условия (29), функции, эквивалентны нелокальным краевым задачам со смещением с условиями (26), (29) или (28), (29) соответственно.

Решения этих задач могут быть найдены по формулам (13) или (24) в классе функций

C(о)пC(О), если %(х)є C[0,1]пC2(0,1).

О редукции задачи Гурса для системы нагруженных дифференциальных уравнений к системе нагруженных интегральных уравнений методом Римана. Рассмотрим сейчас систему уравнений (1) с правой частью F(х,у) = H(х,у)и(х - у,0), где H(х) — заданная [пXп] -

матрица, H(х,у)є C(о).

В характеристических координатах X = х — у, Ц = х + у указанная система уравнений запишется в виде

Lu ° ^ + А(Х,Ц)^ + В(Х,Ц)^ + С(Х,Ц)U = Н(Х,Ц)U(X,X), (30)

где 4А(Х ,Ц) = A(х, у) — £(х, у); 4В(£ ,ц) = A(х, у) + £(х, у); 4С(Х ,Ц) = C (х, у);

п + X Ц — X

4Н(Х,Ц) = H(х,у); U(X,Ц) = и(х,у) при х =—^—, У =—2—, а область & гомеоморфно преоб-

разуется в характеристический квадрат: 0 < X < 1, 0 < Ц < 1.

Рассмотрим для исходной системы уравнений обычную задачу Гурса с данными

и [©— (х)] = ф_ (х), и [©+ (х)] = (х), х є [0,1]. (31)

В характеристических координатах краевые условия (31) принимают вид:

U (X ,0) = ф— (X), U (0,Ц) = (ц). (32)

Полагая по непрерывности ф— (0) = (0), примем U (0,0) = ф— (0).

Подобно тому, как определяется функция Римана в работе [9] для гиперболического дифференциального уравнения, будем называть матрицей Римана решение следующей системы интегральных уравнений:

X п XV

V (X ,Ц) — | V (с ,п )В(£ ,Ц )dV — | V (X,% )A(X,% ^% + | dv | V (V,% )С(с,% ^% = E, (33)

XI п 4 П

которая, будучи системой интегральных уравнений Вольтерра, всегда имеет единственное

решение, если матрицы А, В, С, — А, В є C (о).

ЭX Эц у '

Желая подчеркнуть зависимость матрицы V(X,Ц) от X1 и Ц1, ее обычно обозначают

R ^ П 'Ап).

Из системы уравнений (33) непосредственно легко увидеть, что

Э

—R (х )—R (X )В (п) °0,

эП R (п )—R (п )А (бп)°0,

(34)

R (л; )=E.

Очевидно, что таким образом определяемая матрица R удовлетворяет однородной системе уравнений

^ (V) ° Vxn — (VA)x — (КВ)ц + VC = 0, (35)

сопряженной с данной системой (30), в которой правая часть считается на время заданным век-

тором.

Для любой вектор-функции и (X ,Ц): и (X ,Ц) є С (о), а и, иц, и^ є С (О) справедливо легко проверяемое с учетом (35) тождество [10]:

ЭЭЭ% [(V,%; X п )и (V ,%)]—],% X п) L(U)=ЭЭ-ЭдЭ% Эv

интегрируя которое по с и т в промежутках Xo £ V £ X, Ц0 £ % £ П, где (X0,По) — произвольная

точка области &, получим

" [эи )

[ ҐЭR \ ] Э гс

— RA и + — RB и

_ ,Э% 0 _ э% Э

и (X п)=R (Xo,Лo;X п )и ((0,п0)+} R (V п)

Эv

+

ho

dU (X0,T ) dt

+ A (X0,t )U (Xo,T )

Х h

dt + J dс J R(g ,t ;X ,h )L [U (g ,t )]dt. (Зб)

Xo ho

В предположении, что и (X ,П) является регулярным решением системы уравнений (30) из тождества (36) после интегрирования по частям получаем интегральное представление этого решения:

и (Х Я) = я (X жЛ я )и (X Яо)+к (£оЯ; Х я )и (^п)-я (X 0,л0;Х я )и (Х0л0)+

+J[B (с ho )R (с ho;x ,h )—-=с R (с ho;x h)

Xo

U(gh)dc+

X h

+ДА(Хо,т)я((,*;Х,П)-т-я((,*;Х,П) и{Х0,т)т +1ёд|Я(д,т;Х,П)Н(дН)и(V,V)*Н• (37)

По бТ ^ Хо По

Тем самым задача Гурса с условиями (32) для нагруженной системы дифференциальных уравнений (30) с помощью формулы (37) сводится к системе нагруженных интегральных уравнений

и (Х ,П) = Я(Х ,0;Х ,П) 9- (Х) + Я(0,П; Х ,П ) 9+ (П) - я(0,0;Х ,П ) 9- (0) +

+

B(g ,0) R(g ,0; X ,h) —3- R(g ,0; X ,h) dC

j— (g )dg + J

0

+J JR(g,t;X,h)H(g,t)dt

A(0,t )R(0,t ;X ,h) — ^“ R(0,t ;X ,h) dt

U (g, g )dg.

j+ (t)dt +

(З8)

Если рассмотреть равенство (38) при П = Х, то для неизвестной вектор-функции и (Х ,Х)

получим систему интегральных уравнений Вольтера:

Х

и (Х ,Х) -|к(Х, д )и (д, д )ёд =Ф(Х),

0

где ядро интегрального оператора

Х

К (Х, д) = | Я(д ,т ;Х, Х )Н(д ,т )йх,

0

а вектор-функция

(З9)

Ф(Х) = R(X ,0; x ,Х )j— (X)+R(o,X ;X, X )j+ (X)—R(0,0;X, X )j— (0) +

+J

B(g ,0) R(g ,0; x ,X)—3- R(g ,0; Х ,X) dC

j— (g )dg + J

A(0,t )R(0,t ;Х, Х) — v R(0,t ;Х, Х) dt

j+(t)dt.

При сделанных предположениях относительно гладкости функциональных матричных коэффициентов системы уравнений (30) система интегральных уравнений (39) будет иметь единственное решение. Это решение может быть найдено методом Пикара [11]. Используя найденное решение в формуле (37), получим решение задачи Гурса (32) для уравнения (30) в замкнутой форме.

БИБЛИОГАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. ХачевМ.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус, 199S. 1б8 с.

2. НахушевА.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. З01 с.

3. Аттаев А. Х. Задача с данными на параллельных характеристиках для нагруженного волнового уравнения // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев: ИМ АН УССР, 1990. С. 10 - 11.

4. Аттаев А.Х. Краевые задачи с характеристическим носителем для нагруженного гиперболического уравнения с волновым оператором в главной части // Нелокальные задачи и их приложения к автоматизированным системам: Сб. науч. тр. Нальчик: КБГУ, 19S9. С. 1б - 22.

5. Вдовина Н.Н., Огородников Е.Н. Краевая задача с данными на всей границе области для одной нагруженной системы дифференциальных уравнений с волновым оператором // Математическое моделирования и краевые задачи: Тр. одиннадцатой межвуз. конф. Ч. З. Самара: СамГТУ, 2001. С. 15 - 19.

6. Огородников Е.Н., Радченко В.П. Некоторые неклассические краевые задачи для систем нагруженных дифференциальных уравнений с волновым оператором в характеристическом квадрате // Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики: Тез. докл. второй междунар. конф. Нальчик: НИИ ПМА, 2001. С. 14.

7. Огородников Е.Н. О корректности некоторых аналогов задачи Гурса для систем нагруженных дифференциальных уравнений с волновым оператором // Тр. Средневолж. мат. о-во. Т. З - 4. № 1. Саранск: СВМО, 2002. С. 204 - 210.

S. Нахушев А.М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Диф-ференц. уравнения. 19S5. Т. 21. № 1. С. 92 - 101.

9. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казан. мат. о-во, 2001. 22б с.

10. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 19S1. 44S с.

11. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: ИИЛ, 19б0. 299 с.

Поступила 18.07.2003 г.