Нелокальные задачи для одного уравнения третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь-март, 2005, Том 7, Выпуск 1

УДК 517.946

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

А. А. Керефов, Е. В. Плотникова

Для уравнения третьего порядка методом функции Римана исследуется разрешимость нелокальной по временной переменной и нелокальной по пространственной переменной краевых задач. Методом интегральных уравнений устанавливается разрешимость задач Стеклова для исходного уравнения.

Рассмотрим в области D = {(x,t) : 0 < x < l, 0 < t < T} для уравнения третьего порядка

Lu = uXxt - Aut + ЦuXx = f (x, t) (1)

следующую задачу: найти регулярное в области D решение u(x,t), из класса C 1(D) П C2(D), удовлетворяющее начальному

u(x, 0) = a(x)u(x, T), 0 < x < l, (2)

и граничным условиям

u(0,t)= go(t), ux(0,t)= g(t), 0 < t < T, (3)

где А,ц - const, go(t),g(t) G C1 [0, T], a(x) G C[0,1].

Доказательство существования и единственности решения задачи (1)—(3) проведем с помощью метода функции Римана [1]. Но для этого сначала исследуем в области D характеристическую задачу для уравнения (1) с начальным условием

u(x, 0) = <(x), <(x) G C2[0, l]. (4)

Задачу нахождения решения u(x,t) уравнения (1), удовлетворяющего условиям (3), (4) будем называть задачей Гурса.

Сопряженным по Лагранжу оператором для оператора Lu будет

L*v = -Vxxt + Avt +

Тогда в силу тождеств

vLu = VUxxt-AvUt+^VUxx = £ [vU^+MVUx]-VxUxt-^VxUx-£ [Auv]+Avt u,

dx at

uL*V = -uVxxt+AuVt+^uVxx = dx [-uVxt+^uVx]+uxVxt-^Vxux + AuVt

© 2005 Керефов А. А., Плотникова Е. В.

имеем справедливость равенства

д

д

«¿П - ПЬ*« = — [«Пхг + П«хг + ^(«Пх - П«х)] - д£ [Пх«х + Ли«].

(5)

Введем функцию Римана «(ж,*; £, т), которая однозначно определяется следующими требованиями:

= 0,

'«(£,*; £,т) = 0,

«х(£,*; £,т) = ехр | / 1

^(ж,т; £,т) = ш(ж,т), где ш(ж,т) — регулярное решение задачи Коши

= ехр{^£ — ^т},

(6)

(7)

«хх(ж, т; £, т) - Л«(ж, т; £, т) = 0, «(£,т; £,т ) = 0, «х(£,т; £,т) = 1,

(8)

(£, т) — произвольная фиксированная точка области

Проинтегрировав (5) по области ^ = {(£,т) : 0 < £ < ж, 0 < т < ¿} и используя формулу Грина, находим

х t

JJ(«Ьи - = J (г>£п^ + Ли«) + J (уи^т + и«£т + ^(«и^ - «и х«)) ^ ^т

П 0 0

х t

+ / («£П£ + Ли«) + / («и^ + и«£т + - )) ^т. J т= J £=0

00

С учетом (3), (4), (6)-(8) и свойств криволинейных интегралов, из последнего равенства получим

и(ж,*) = 50 (¿)«х(ж,^;0, ¿) í

- J ^«(ж, 0, т)д'(т) + ^«(ж, 0, т)д(т) + д0(т) («£т(ж, 0, т) - (ж, 0, т))^ ^т 0

х х í

+ 1 (У(£Н(ж, £, 0) + Л^Мж,*; £, 0)) |«/(£,т) ^т

0 0 0

(9)

Таким образом, формула (9) позволяет в явном виде выписать решение задачи Гурса (1), (3), (4), если известна функция «(ж,*; £,т).

Докажем существование и единственность функции Римана, определенной условиями (6)-(8). Для этого проинтегрируем сопряженное уравнение (6) по переменной ж в пределах от £ до ж и воспользуемся условиями (7). В результате имеем

дд Г« = Vxí - Л— «(п, - Уxí - № = Л— «(п, ¿П-

х

х

Уравнение (10) есть нагруженное дифференциальное уравнение, 1п = пх, + .пх — сопряженный по Лагранжу оператор по отношению к оператору I*«. Тогда нетрудно получить справедливость равенства

«1*« — =

дж

!(,,*, — V«,) —

д + дй

— ««х)

(11)

Пусть й(ж, ¿; а, в) — функция Римана для уравнения I*« = 0, т. е. представляет собой функцию, удовлетворяющую уравнению Ш = 0 и условиям

í

й(а,*; а,в) = ехр{ — / =ехРЫ — .0, ^; о.в) = 1, (12)

в

где (а, в) — фиксированная точка области Интегрируя (11) по области = {(ж,£) : а < ж < в, в < ^ < т} с учетом (7), (10) и (12) заключаем

а а в

«(а,в) = / В1 (х,в; а,вм*.в/ / д,(*.а,вм* ^ = г, (13)

£ т

где

а

Г ^ У ^ (г; а, в)^х(ж, т) — Дх(ж, т; а, в)ш(ж, т) ^^ж £

а в

+ 1ехр{.в — .т}ш(а,т) — \J ^ж2 J ш(ж2,т)Д(ж,т; а, в) ¿ж,

£ Х2

а

В1(ж,в; а, в) = А^ Я(ж2,в; а, в) ¿ж2,

х

х а

В2(ж,£; а, в) = ^,(ж2,£; а, в) ¿ж2 = \J й,(ж2, ¿; а, в) ¿ж2.

ах

Обратимая замена [2]

а а

«(а, в) = г>о(а,в) + J ^о(ж2, в)В1(ж2, в; а,в)ехр| J В1(ж3,в)^ж3|^ж2

х2

редуцирует уравнение (13) к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно «0(а, в)

а в

«0(а, в) + У ¿ж J В0(ж,^ а,в)«0(ж,4)^ = Г,

£ т

где

а а

В0(ж, а, в) = В1(ж,4; а,в)У В2(ж2,4; а,в)ехр| J В1(ж3,в)^ж31 ^ж2 + В2(ж,4; а,в),

х х2

которое безусловно и однозначно разрешимо.

Пусть и(ж, 4; а, в) — функция Римана для сопряженного уравнения Ь*« = 0. Тогда она является решением задачи

¿и = 0,

и(а, 4; а, в)=0, их(а, 4; а, в) = - ехр{^в - (14)

и(ж, в; а, в) = ^(ж, в),

где (ж, в) — решение задачи Коши

ихх (ж, в; а, в) - Ли(ж, в; а, в) = 0, и(а,в;а,в) = 0, их(а,в;а,в) = -1-

(15)

Интегрируя соотношение (5) по области и используя условия (14)-(15), получим справедливость свойства симметрии

и(£,т; а, в) = «(а, в; £,т).

Достаточно установить существование решения уравнения (1) при однородных условиях и(0, 4) = 0, Пх(0, 4) = 0, и(ж, 0) = 0.

В самом деле, введя вместо функции и(ж, 4) новую неизвестную функцию ад(ж, 4) по формуле

ш(ж, 4) = и (ж, 4) - [<(ж) + 50(*) - <(0) + ж(5(*) - #(0))] , которая удовлетворяет уравнению (1) с другой правой частью и однородным условиям

ш(0,4) = Шх(0,4) = ш(ж, 0)=0. (16)

Пользуясь свойством симметричности функции Римана, непосредственной проверкой нетрудно убедится, что функция определенная равенством (8), удовлетворяет уравнению (1) и однородным условиям (16).

Таким образом, имеет место

Теорема. Характеристическая задача Гурса (3)—(4) для уравнения (1) имеет единственное регулярное решение.

Перейдем к задаче (1)-(3). Представление (9) удовлетворим начальному условию (2):

и(ж, Т) = 50(Т)«х(ж,Т; 0, Т) т

- I («(ж, Т; 0, т)5'(т) + ^«(ж, Т; 0, т)5(т) + 50(т) («^(ж, Т; 0, т) - ^(ж, Т; 0, т)))^ 0

х х Т

+ / (У(£)«*(ж, Т; £, 0) + Л<(£)«(ж,Т; £, 0)) ¿£ | «/(£,т)^т.

Умножив обе части последнего равенства на а(ж), получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно и(ж, 0)

«(ж, 0)[1—а(ж)«х(ж, Т; ж, 0)]+а(ж) у «(£, 0)[«££(ж, Т; £, 0)—Л«(ж, Т; £, 0)]й£

0 т

= а(ж)д0(Т)«х(ж,Т;0,Т) —а(жИ [«(ж,Т;0,т)д'(т)+.«(ж,Т;0,т)д(т)]йт

х т

—а(ж)50(0)«х(ж,Т; 0,0)—а(ж)^ J /(£,т)^т,

00

разрешив которое мы и получим решение задачи (1)-(3).

Теперь рассмотрим ряд краевых задач для уравнения (1).

Задача 1. Найти регулярное в области В решение уравнения (1), из класса С1 (В) П С2(В), удовлетворяющее условиям:

п

«(ж, 0) = (ж)п(ж,4к), 0 < 4к ^ Т; ()

«(0,4)= 50(4), «х(0,4) = д(4), 0 < 4 < Т,

где 50(4), 5(4), а^ (ж) — заданные достаточно гладкие в областях определения функции.

В представлении (9), дающем решение задачи Гурса, 4 = . Умножая почленно полученные при этом выражения на (ж), получим:

а^(ж)п(ж, 4^) = (ж)^^)«х(ж, 4^; 0,4^) — ап(ж^ ^(ж, 4^; 0, т)д'(т) + .«(ж, 4^; 0, т)д(т)

0

(ж)д0(т)(«£т(ж,4к; 0, т) — (ж,4^;0,т)))^т + а^(ж) J ((«(£, 0))£«£(ж,4^; £, 0)

0

х ^k

+Лп(£, 0)и(ж,4к; 0)) — ак (ж) J ^ и/(£,т)^т (к := 1,2,...,п).

С учетом нелокального по временной переменой условия из (17), в результате почленного сложения полученных соотношений, окончательно имеем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно «(ж, 0).

(П \ П „

1 — а&(ж)«х(ж, 4&; ж, 0П + ^ а^(жН «(£, 0) («££(ж, 4^; 0) — Л«(ж, 4^; 0)) ^

к=1 ' к=1 п

= ^ а^(ж)( 50(4^)«(ж,4к;0,4^) — 50(0)^(ж,4^;0, 0) к=1 ^

tk П х Ък

— J («(ж,4к; 0, т)д'(т)+ .и(ж,4к;0,т)д(т)) ^ — ^ ак(ж) J ^ /(£,т) йт. 0 к=1 0 0

х

х

«

Следовательно, разрешимость задачи (1), (17) эквивалентно редуцирована к разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода (18) относительно следа и(ж,Ь) на характеристике Ь = 0.

Задача 2. Найти регулярное в области В решение уравнения (1), из класса С1 (В) П С2(В), удовлетворяющее условиям:

и (ж, 0) = ф(ж), и(1,Ь) = 0, и(0,Ь) = а(Ь)п(ж1,Ь), 0 ^ Ж1 ^ 1, (19)

где ф(ж) £ С1 [0,1].

Полагая в представлении (9) ж = 1 и учитывая однородное условие и(1, Ь) = 0, после ряда преобразований получим первое функциональное соотношение связывающее и(0, Ь) и их(0,Ь):

í

п(0,Ь)^ж(1,Ь;0,Ь) ^ У и(0, т)((1,Ь;0,т) - ^(1,Ь;0,т))^т о

í

= «(1, Ь; 0, Ь)и*(0, Ь) - «(1, Ь; 0, 0)ф'(0) - J («т(1, Ь; 0, т) - Ь; 0, т))и*(0, т) ^т (20)

о

I I í

-I (Ф'(£К(1,Ь; 0) + Аф(£ММ; 0)) ^ -II «Дот.

оо

В представлении (9) полагаем ж = ж1 и полученное при этом выражение почленно умножим на а(Ь), в результате нелокального по пространственной переменной условия и(0, Ь) = а(Ь)и(ж1, Ь), 0 ^ ж1 ^ 1, получим

í

и(0, Ь)(1 - а(Ь)«х(ж1, Ь; 0, Ь)) + а(Ь) У (^т (ж1, Ь; 0, т) - (ж1, Ь; 0, т))и(0, т) ^т

о í

+ а(Ь)«(ж1,Ь;0,Ь)пж(0,Ь) - («т(жь;£;0,т) - ^у(жь;£;0,т))и*(0,т) ^т (21)

о

= «(*)(/(Аф(£МжьЬ; 0) + (ж1,Ь; 0)) ^ + г>(жьЬ;0, 0) ^ ^ г-ДОт'

о í

а(Ь)«(ж1,Ь;0,Ь)их(0,Ь) - [жьЬ;0,т) - дгЧжьЬ;0,тЛих

о

Ж1 Ж1 t

аШ1 У(Аф(0ФъЬ; 0) + (жьЬ; 0)) ^ + и(жьЬ;0,0)-У У г> 0 0 0

Выражение (21) — второе функциональное соотношение между следами и(0,Ь) и их(0, Ь).

Таким образом, разрешимость задач (1), (19) редуцирована к разрешимости системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (20), (21).

Функция «(1,Ь;0,т) на отрезке [0,1] нигде в нуль не обращается, если А не является собственным значением оператора, порожденного выражением - А« и условиями «(0,т; 1,т) = «(1,т; 1,т) = 0.

Так будет, например, когда А ^ 0. В самом деле, если при таком т £ [0,1] функция «(0, т; 1, т) = 0, то задача

- А« = 0, «(0, т) = «(1, т) = 0

имеет только тривиальное решение у(ж,т; 1, т) = 0, что противоречит условию 1,т) = 1. Поэтому решение уравнения Вольтерра (20) их(0, ¿) будет функцией непрерывной вместе со своей производной на отрезке [0,1].

Задача 3. Найти регулярное в области В решение уравнения (1), из класса С1 (В) П С2(В), удовлетворяющее условиям:

n

¿(ж, 0) = ф(ж), u(1,t) = 0, u(0,t) = J^ (i)u(xfe,t), 0 < < l, (22)

fe=i

где ф(ж) £ С 1[0,1], ак(¿) £ С[0,Т].

Удовлетворив представление (9) граничному условию и(1, ¿) = 0 получим функциональное соотношение между п(0,£) и их(0, ¿)

u(0, t)vx(1, t; 0, t) ^ у u(0, т) (vir(l, t; 0, т) - ^(l, t; 0, т)) dr 0

t

(l, t; 0, t)ux(0, t) - v(1, t; 0, 0)ф'(0) -J (vr (l, t; 0, r) - ^v(1, t; 0, т))пж(0, r) dr (23)

0

г г t

-J (Ф'(£ )vi (i,t,£, 0) + A0(£)v(Z,t; £, 0)) d£ -J У v/d£d^

а затем и условию п(0,£) = ^П=1 (¿)н(ж&, ¿), 0 ^ ж& ^ 1, в результате ряда преобразований получим второе функциональное соотношение между и(0,£) и иж(0,£)

(n \ n ~

1 (t)vx(xfc, t; 0, t) j + ^ (t) / (vir (xfc,^0,т) - ^(xfc,t;0,т)) и(0,т) dт

fc=i ' fe=i 0

n n t

+ X] afe(t)v(xfc, t; 0, t)ux(0, t) - ^ (t) / (vr(xfe, t; 0, т) - , t; 0, т))ux(0, т) dт

nn

)v(xk,t;0, t)ux(0,t) (t) / ^vr(Xk,t;0,т) - ,t;0,т Л Ux

fe=i fc=i 0

xk xk t

= ^2 (t)^y (Аф(£ )v(xfc, t; £, 0) + (xfc ,t; £, 0)) d£ + v(xfc ,t;0,0) -J J v/d£d<rj.

k=i 0 0 0

(24)

Следовательно, разрешив систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода (23), (24), мы получаем решение задачи (1), (22).

Задача 4. Найти регулярное в области В решение уравнения (1) из класса Ci (В) П C2(В), удовлетворяющее условиям:

Ux(0,t) = aiu(0,t) + a2u(1,t), Ux(1,t) = ^iu(0,t)+ в2«(М), u(x, 0) = ф(ж), (25)

где ф(ж) € Ci[0, l], ai,a2,ei,e2 _ const.

Краевые условия вида (25) есть условия Стеклова первого класса [3]. Граничные условия перепишем в виде

1 в2

u(0, t) = — ux(1, t) - — u(1, t), ux(0, t) = aiu(0, t) + a2u(1, t). Pi ei

t

Из представения (9) при ж = 1 находим, что

í

и(1, Ь) = и(0, (1, Ь; 0, Ь) - ^ и(0, т) (г^(1, Ь 0, т) - ^(1, Ь; 0, т)) ^т

0

í

- J (^У(1, Ь; 0, т) - «т(1, Ь; 0, т))иж(0, т) ^т - «(1, Ь; 0, Ь)пж(0, Ь) (26)

0

г г í

+ «(1,Ь;0,0)ф'(0)^ (1,Ь; 0) + Аф(£)«(М; 0)) ^ | г/^т.

00

Умножим последнее выражение на а2. Так как а2и(1,Ь) = иЖ(0,Ь) - а1и(0,Ь), находим соотношение между и(0,Ь) и их(0,Ь)

í í

А(Ь)пж(0,Ь)^У ¿1(4, т)иж(0, т) ^т + В(Ь)п(0,Ь)^У ¿2(Ь,т)и(0,т) ^т

(27)

00

г г í

= а^ (Аф(е)^(г,*; 0) + ф'(0г>£(М; 0)) ^ + а2«(1,Ь;0,0)ф'(0) | г/^т,

0 0 0

где

А(Ь) = 1 + а2«(1, Ь; 0, Ь), Ы^т) = «2[^«(1, Ь; 0, т) - гт(М;0,т)], В(Ь) = -а1 - а2г^(1, Ь; 0, Ь), т) = а2[г^т(1, Ь; 0, т) - ^г^(1, Ь; 0, т)].

Продифференцировав (9) по ж и умножив почленно на в", при ж = 1 получим равенство -1 иж(1, Ь) = г^, Ь; 0, Ь) + -^М^ Ь; 1, 0) + ^«ж(1, Ь; 1, 0)

Р1 Р1 Р1 Р1

г

1 ( ) 1

+ У (Аф(£ЫМ; 0) + (М; 0)) ^ - — «Ж(М; 0,^(0^)

^ } 1 (28) + — «ж(М;0, 0)ф'(0) -у — Ь; 0, т) - «тж(М;0,т )) иж(0,т) ^т

0

í г í

)и(0,т) ^т—/г/

/ в1! (г«тх(1,Ь;0,т) - ^Ж(М;0; т))и(0,т) ^т - -1^ж / / «/^т. 0 0 0

Умножив обе части (26) почленно на - и сложив полученное при этом равенство с выражением (28), в силу первого краевого условия получаем справедливость следующего

равенства

4

С(¿)и(0,4) + У М1 (4,т)и(0,т)йт + В(*)их(0,4)^У М2(4,т)и*(0,т)^т

0 0

I

= Аф(1)^(1,^;0,0) + —1-фф(1)«*(М; 1,0) + У (А«*(М;0)

0

I

- А^«(1,4; 6 0)) ф(£К + 1 (АММ; 6 0) - А^(М; 0^ ф'(£К

0

I 4 I 4

+( в1" *(1,;; 00) - I«а0))ф,(0) - в1" ИI "К* 11

где

1 в2 1 в2 С(4) = 1- —«^(1,4; 0,4)+^(1,4; 0,4), В(4) = — «ж(1,4; 0,¿Ь^2«(1,4; 0,4),

Р1 Р1 Р1 Р1

М1 (4, т) = А« (1, 4; 0, т)-4; 0, Т)-А(1,4; 0, т)+^(1,4; 0, т), в 1 в 1 в 1 в 1

в 1 в1 в 1 в 1

Таким образом, вопрос о разрешимости задачи Стеклова первого класса (1), (25) редуцирован к вопросу разрешимости системы интегральных уравнений (27)-(29).

Задача 5. Найти регулярное в области В решение уравнения уравнения (1) из класса С 1(В) П С2(В), удовлетворяющее условиям Стеклова второго класса [3]

и(1,4) = а1(4)и(0,4), иж(1,4)= ^1^(0,*)+ #ги(0,4), и(ж, 0) = ф(ж), (30)

где ф(ж) £ С 1[0,1], а1(4) £ С[0,Т], въА - константы.

В равенстве (9) предположим, что ж = 1. С учетом краевого условия и(1,4) = а1(4)и(0,4), после ряда преобразование находим

п(0,гптш - «жи,г;0,г)) - / и

(0,4)(а1(4) - «ж(1,4;0, ¿)) ^ и(0,т)(^т(М;0,т) - ^(1,4;0,т)) ^т

0

+ иж(0,4)«(1,4; 0,4) ^У иж(0, т)(^«(1,4;0,т) - «т(1,4;0,т)) ^т (31)

0

= 1 (Ф'(£)«£(1,4; 6 0) + Аф(£)«(М; 0)) ^ + «(1,4;0,0)Ф'(0) \ «/^т.

00

4

Найдем производную и(ж, 4) из (9) по ж и полагая ж = 1, получаем следующее соот-

ношение

Ux(1, t) = u(0, t)vix(1, t; 0, t) + A^(1)v(1, t; l, 0) + t; l, 0)

l

+ J (A0(£)vx(i,t; 0) + )vix(i,t; 0)) d£ - v*(Z, t; 0, t)u*(0, t)

0

t

+ vx(1,t;0, 0)ф'(0) -J (№(М;0,т) - vrx(i,t;0,r ))пж(0,т) dr 0

t i t -J (verx(M;0,T) - ^vix(1,t;0,r ))u(0, т) dT - dX J J v/d£dr.

00

А в силу второго граничного условия их(1, ¿) = в1их(0, ¿)+в2и(0, ¿) окончательно получим второе функциональное соотношение между и(0, ¿) и иж(0,£)

u(0, t)(в2 - Ml, t; 0, t)) + J (viTx(1, t; 0, т))u(0, т) dT + u*(0, t) (A + v*(Z, t; 0, t))

0

t

+ J (№(1, t; 0, т) - Vtx(1, t; 0, т))u*(0, т) dT = A^(1)v(1, t; l, 0) + 0'(i)vx(i, t; l, 0) (32) 0

i i t + J (A0(Ovx(i,t; 0) + ^/(£)vix(1,t; 0)) d£ + v*(Z,t;0,0)ф'(0) - £ f j /^т.

0 0 0

Таким образом, разрешив систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода, полученных из функциональных соотношений (31), (32) между u(0,t) и ux(0,t), мы и получим решение задачи (1), (30).

Литература

1. Шхануков М. Х. Дифференциальные уравнения.—Минск: Наука и техника, 1982.—Т. 18, № 4.— С. 689-699.

2. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа.—М.: Изд-во АН СССР, 1959.—162 с.

3. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии.—М.: Высшая школа, 1995.—301 с.

Статья поступила 8 июля 2004 г-

Керефов Анатолий Анатольевич, к. ф.-м. н. Нальчик, Кабардино-Балкарский госуниверситет E-mail: [email protected]

Плотникова Елена Владимировна Нальчик, Кабардино-Балкарский госуниверситет

t