Задача Коши для абстрактного уравнения с последствием Текст научной статьи по специальности «Математика»

что Е(и ) с: £/ . Тогда для любой точки н е решения включения (1) с наперед -заданной точностью реализуют расстояние от точки >г до образов решении

отображения Ф \а.Ь ] —> П[/."(я./) )] 1£ели отобра-

жение Ф \o.li ] —> 1|/." [а.Ь ]]), то решения

включения (1) реализуют расстояние любой точки

и16 [а./; ]до образа решения отображения ф( ).

Отметим, что задача о реализации расстояния от точки до образа решения имеет важное значение для теории и приложений возмущенных включений, поскольку С ее

помощью можно корректно определить приближенные решения включений, а также получить их оценки.

ЛИТЕРАТУРА

1 Булгаков АЛ.. Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Изв. вузов 1999 № 3 (442). С. 3-16

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (фат №01-014)0140).

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

© Е.С. Жуковский

Специфические особенности вольтерровых операторов и их многочисленные приложения определяют центральное место задачи Коши в ряду краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с последействием. Здесь предпринимается попытка определить класс абстрактных уравнений - аналогов уравнений с последействием. Результаты исследований обобщенно вольтерровых операторов, действующих в различных пространствах 111, позволяют для таких уравнений рассмотреть задачу Коши и получить для нее содержательную теорию.

Обозначим V - совокупность таких множеств ЄуС[а,Ь | с мерой (і(Су ) = у, что при всех

у,Т|б [0, Ь—а\ из неравенства у с і) следует СуСс,,. Действующий в пространствах определенных на \ci.h | функций оператор Г называем вольтер-ровым на системе V , если для любого у є |0, />-«] выполнено (/’>)(/) =0 , ієеу для любого такого х , что х(г) = 0, (ее у. Непосредственно из определения

следует, что сумма и произведение линейных вольтерровых на системе V операторов является линейным вольтерровым на системе V оператором. Отметим, что приведенное определение несколько расширяет понятие вольтерровости по А.Н. Тихонову. Дія вольтерро-вого, по А.Н. Тихонову, оператора еу = |«. я+у|.

Пусть О,В - банаховы пространства функций У : [а,б]—»/?'” . 1) изоморфно и изометрично прямому произведению Вхл", 7. .І)—* В - линейный ограниченный вольтерровый на V оператор, -

линейный ограниченный функционал, удовлетворяющий условию

Ч/є>0 УхєІ) (дг (/) = 0 . /є е е => гх — 0). С истему урав і іений

2х=/, (1)

гх = а. (2)

где /є В , а Є Л", назовем задачей Коши для функционально-дифференциального уравнения (1). Пусть изоморфизм О вВ х/і" задан отображе-

ниями с«/(5.г):/)->ЯхЛ'' , (ЛУ )=(со/(5,/-))"':

ВхН" —>1) , где 5, Л - вольтерровые на V операторы. В л ом случае «главная часть» оператора 7. -оператор О = 2 Л : В —» К будет также вольтерро-вым. Дія однозначной разрешимости задачи Коши (I, 2) необходимо и достаточно, чтобы оператор О имел оіра-ниченный обратный |2|. Мы будем также предполагать, что оператор О -| : В —> В является вольтерровым на системе V . Условия обратимости оператора О и воль-терровоети обратного оператора получены в работе (I ]. Решение однозначно разрешимой задачи Коши

представимо в виде X — X О. + (' /, где Л' - фундаментальная матрица решений однородного уравнения; линейный ограниченный оператор С =

= АО~] : В —» I) будем называть оператором Ко-ши. В наших предположениях оператор Коши является вольтерровым на системе V Запишем оператор Коши в виде (С/Х/)=(с(а/). где компоненты пі -мерного вектора с(1) являются элементами сопряженного пространства В ' Построенное таким образом отображение с : | а, Ь | —> В’"1 будем называть функцией Коши. Заметим, что если вектор-функционал Мі) определить равенством (Л/К0=(^(0./)■ то

с(1) = МПО~'

10Х

Теорема: 1: При каждом / Є [я. Ь) функция Коши является решением уравнения

0'с(1)=Х( Г). (I)

Фундаментальная матрица решений однородного уравнения определяется равенством

Х(0=У(0-с(/)А. (2)

Пусть сопряженное пространство В* является пространством функций [«. Ь \—>И . Будем говорить,

что в пространстве В * выполнены условия:

I) При любых уєВ, £Є В' если >'(.0 = 0 на Су и £(5) = 0 на |я.Л|\еу то gy = О

Д) При любом те (0,6—я], если элемент В' принадлежит ортогональному дополнению к подпро-странству Му ={.і'Є/і| у(л')=() при всехлес'у|, то %(*) = 0 на |а.Ь ]\еу .

Обозначим значение функции с(/):|я. Ь\—»

—> Я при лє\а,Ь] через с(1,х) и назовем его

значением функции Коши в точке (/.л).

Т е о р е м а 2: Пусть в пространстве В ’ выполнено условие J ). Тогда для вольтеррового на V опера-

тора Коши С :В—*0 при любом ву є V, если

І Є Су , ^є[я. Л] \ Су . то с(1,х) = 0.

Отметим, что утверждение теоремы остается выполненным для любого вольтеррового на системе V оператора /г : В —> /) , т. е. (/7У)(/) = (/(О • .у),

где значения функции /(/) : |я. Ь \ —> Я ",хт удов-

летворяют условию = 0 при (/, ь ) єе.(х

х|я, Ь ] \ Су .

Вернемся к уравнению (1), которому удовлетворяет функция Коши, и покажем, 1по это уравнение с вольтерровым оператором.

ТеоремаЗ: Вели а пространстве В ’ выполнено условие I), то для любого вольтеррового на V = {е у } линейного оператора Q .В —» В сопряженный оператор О ‘ '.В ’ —» В ' является вольтерровым на системе \/={ \a.h\l еу }.

ЛИТЕРАТУРА

I Жуковский Е.С. Об операторах Вольтерра в банаховых функциональных пространствах // Вести ТГУ Сер Естеств и техннч науки. Тамбов, 2001. Т 6. Вып. 2. С. 147-149 2. Азбелса П.В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактные функционально-дифференциальные уравнения // Функционально-дифференциальные уравнения Пермь, 1987, С. 3-11

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Иссле-доваї іий (іранг №01-01 -00140).

О НЕКОТОРЫХ ОС ОБЕННОСТЯХ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ УПРОЩЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ

© С.Е. Жуконскпй

Исследуется возможность сужения множества допустимых управлений в системе, описываемой линейным дифференциальным уравнением. Классическая постановка такой задачи, заключающаяся в доказательстве равенства замыканий множеств решений исходной и упрощенной систем, не учитывает линейность соответствующих уравнений. Для того чтобы учесть линейность управляемой системы, в работе 111 рассматривались множества фундаментальных систем решений. Как известно, общее решение линейного дифференциального уравнения п -ого порядка записывается

П I

в виде *(0=£а,Х,(/) + |)/(•'■ )^5, где

/=1 а

(ДГ| ,*2 ,••••*■„ ) - фундаментальная система решений

соответствующего однородного уравнения, с- функция Коши. Поэтому, для того чтобы судил, о сохранении возможностей лилейной управляемой системы при сужении множества допустимых управлений, на наш взгляд» следует рассмотрел, множества элементов вида

(Х| ,х2 исходной и упрощенной систем и

показать, что замыкания них множеств совпадают’. В настоящей работе эта идея применяется к исследованию управляемой системы, заданной линейным ;шф-ференциальным уравнением второго порядка

х’(1)-и(1)х(1)=/(1). 16 |я./>|. (1)

где управление и : |я,/>]—»[—1,11 является измеримой функцией.

Обозначим К | „ ь | - множество кусочно-постоянных функций и :[я.6|—>{—1,1}, имеющих конечное число разрывов, С|а ь | - пространство непрерывных

(функций у :[«,/>] —> Ч с нормой ||_у || =

= шах |у(0|. С., — МНОЖеСТВО дифференцируете | а,Ь | ' 1 1