Метод приближенного нахождения общего решения абстрактного линейного функционально-дифференциального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.8, 517.929

МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ

АБСТРАКТНОГО ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

© П. Г. Горев, Е. С. Жуковский

Ключевые слова: приближенные методы; абстрактное линейное функционально-дифференциальное уравнение; функция Коши; вольтерров оператор.

Предлагается метод приближенного построения функции Коши и общего решения линейного абстрактного эволюционного функционально-дифференциального уравнения. Приведен пример вычисления значений функции Коши уравнения нейтрального типа.

Предлагается метод приближенного нахождения общего решения линейного эволюционного функционально-дифференциального уравнения. Потребность в общем решении возникает при исследовании реакций системы на многочисленные различные входные воздействия, когда требуется находить решения уравнений, отличающихся друг от друга только правыми частями или начальными условиями. Такие задачи часто возникают, например, при расчетах траекторий движения небесных тел [1, с. 450], в теории управления [2], в теории устойчивости [3]. В технических системах важное значение имеет время расчетов управляемых параметров, время принятия управляемых решений и т. д. В этом случае оказывается гораздо эффективнее не каждый раз заново решать уравнение, а построить общее решение (выполнив лишь один раз большие вычисления) и затем в полученную формулу лишь подставлять нужные правые части и начальные условия. Для функциональнодифференциальных систем эту идею предложил Н.В. Азбелев. Методы численного нахождения общего решения интегро-дифференциального уравнения, уравнения нейтрального типа предложены в работах [4-7].

В данной работе предлагается достаточно общий метод приближенного построения общего решения линейного абстрактного функционально-дифференциального уравнения эволюционного типа, частными случаями которого можно считать методы [4-6]. Мы используем результаты [8], позволяющие свести задачу нахождении общего решения такого уравнения к построению функции Коши, и понятие обобщенной вольтерровости, предложенное и исследованное в [9, 10].

1. Начальная и краевая задачи для абстрактного линейного функционально-дифференциального уравнения

Приведем вначале основные понятия теории абстрактных линейных функциональных уравнений, следуя определениям и результатам [3, 8].

Будем обозначать М” - пространство п -мерных вещественных векторов с нормой | • | ; Ь”а ь] - пространство измеримых суммируемых функций у : [а, Ь] ^ М” с нормой \\у\\ь =

= ^ 1Х(£)1 ; Е”аЬ] - пространство абсолютно непрерывных функций х : [а, Ь] ^ Мп с

нормой ||х||д = |х(а)| + \х/\ь . В перечисленных обозначениях будем опускать индекс п = 1.

Пусть О ,В - банаховы пространства, причем О изоморфно и изометрично прямому произведению В х Мп. Система уравнений

Сх = /, 1х = а, (1)

где С : О ^ В, I : О ^ Мп - линейные ограниченные операторы, называется краевой задачей. Краевая задача (1) изучается в предположении, что оператор С нетеров, гпй С = п. Если задача (1) имеет единственное решение при каждой паре (/,а) € В х Мп , то это решение представимо [11] в виде

х = С/ + Ха.

Конечномерный оператор X : Мп ^ О определяется фундаментальной системой решений однородного уравнения Сх = 0, удовлетворяющей условию IX = Е, которую обозначают также через X. Линейный ограниченный оператор С : В ^ О называют оператором Грина. В "классическом" случае, когда В = Ьт - пространство суммируемых функций, интегральное представление линейного ограниченного функционала в этом пространстве позволяет записать оператор Грина в виде

ь

(С/)(г) = I С(г, в) /(в) (1в. (2)

а

Ядро С(Ь, в) этого интегрального оператора, называемое матрицей (функцией) Грина, играет заметную роль в теории функционально-дифференциальных уравнений. При выводе формулы (2) учитывается специфика пространства Ьт. Однако подобное представление возможно и для любых функциональных пространств.

Итак, рассматриваем банаховы пространства О, В вектор-функций у : [а, Ь] Мт,

О = В х Мп. Будем предполагать, что в пространстве О имеет место следующее утверждение, которое в дальнейшем будем называть А-свойством: для любой последовательности {уг} С О из \\yil\D ^ 0, при г X , следует |yг(t)| ^ 0, для всех £ € [а, Ь]. Тогда при каждом фиксированном £ € [а, Ь] вследствие ограниченности оператора Грина С : В ^ О линейный вектор-функционал / ^ (С/)(Ь), определенный на В, непрерывен. Следовательно, можно записать этот вектор-функционал в виде (С/)(£) = {д(£), /}, где компоненты т -мерного вектора д(Ь) являются элементами сопряженного пространства В*. Построенное таким образом отображение д : [а, Ь] ^ В*т будем называть функцией Грина.

Пусть изоморфизм О = В х Мп задан операторами

г(5,т): О В х Мп, (Л,У) = (г(5,т))-1 : В х Мп О. (3)

Тогда краевую задачу (1) можно записать [11] в виде

Сх = Q5x + Агх = / , I х = Ф5х + Фгх = а, (4)

где оператор Q = СЛ : В ^ В называют главной частью функционально-дифференциального уравнения, А = СУ : Мп В, Ф = 1Л : В Мп, Ф = 1У : Мп Мп.

Рассмотрим "главную" краевую задачу

Сх = Q5x + Агх = /, гх = а. (5)

Согласно [3] задача (5) однозначно разрешима тогда и только тогда, когда оператор Q имеет ограниченный обратный, решение этой задачи имеет представление

х = ЛQ-1/ + (У — ЛQ-1A)а.

Пусть функционал X(t) : B ^ Rm определен равенством (X(t), f} = Тогда функ-

ция Грина с задачи (5) находится по формуле c(t) = X(t)Q-1.

Отметим, что уравнение *(5, r) x = *(f, а) является той краевой задачей, на основании которой строится изоморфизм пространств D и B x Rn. Этим изоморфизмом и определяется главная краевая задача. В теориях обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения с сосредоточенным и распределенным запаздыванием, других уравнений с последействием обычно используется изоморфизм

x = f, x(a) = а,

определяемый вольтерровыми по А.Н. Тихонову операторами. В этом случае главной является задача Коши, наиболее естественная для уравнений с последействием. Специфические особенности вольтерровых операторов и их многочисленные приложения определяют центральную роль задачи Коши в ряду краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Предположение, что пространства B, D являются функциональными, позволяет распространить идеи и методы теории уравнений Вольтерра на абстрактные уравнения. В таких пространствах можно рассмотреть класс абстрактных уравнений аналогов уравнений с последействием, для которых задача Коши по праву займет место главной задачи.

Определение 1. Пусть каждому Y Є [0, b — a] поставлено в соответствие некоторое

измеримое множество eY С [a, b] с мерой mes (eY) = Y таким образом, что

V y , П Є [0, b — a] Y < П ^ e Y С en. (6)

Обозначим v = { eY }. Пусть Y, B - линейные пространства функций f : [a,b] Rm.

Линейное отображение F : Y ^ B будем называть вольтерровым на системе v, если для

каждого eY Є v и любого y Є Y из y(s) = 0 на eY следует (F y)(s) =0 на eY.

Это определение расширяет общепринятое понятие вольтерровости по А.Н. Тихонову : для вольтеррового по А.Н. Тихонову оператора eY = [a, a + y]-

Непосредственно из определения 1 следует, что сумма и произведение линейных воль-терровых на системе v операторов является линейным вольтерровым на системе v оператором.

Вектор-функционал r : Y ^ Rn назовем функционалом Коши, если Ve > 0 Vy Є Y { y(t) = 0, t Є e£ ^ ry = 0 }.

Краевую задачу (5) назовем начальной задачей (задачей Коши) в том случае, когда С : D B - вольтерровый на v оператор, r : D Rn - функционал Коши.

Будем предполагать, что оператор Л : B ^ D является вольтерровым на v операто-

ром. В этом случае "главная часть" оператора С - оператор Q = СЛ : B ^ B будет также вольтерровым. Для однозначной разрешимости задачи Коши необходимо и достаточно, чтобы оператор Q имел ограниченный обратный. Мы будем также предполагать, что оператор Q-1 : B ^ B является вольтерровым на системе v .

Решение однозначно разрешимой задачи Коши (5) представимо в виде x = Ха + Cf, где линейный ограниченный оператор C = ЛQ-1 : B ^ D - оператор Грина начальной задачи - будем называть оператором Коши. В наших предположениях оператор Коши является вольтерровым на системе v. Запишем оператор Коши в виде (Cf)(t) = (c(t), f}, где компоненты m -мерного вектора c(t) = X(t)Q-1 являются элементами сопряженного пространства B*. Построенное таким образом отображение с : [a,b] B*т, являющееся функцией Грина задачи Коши, будем называть функцией Коши.

2. Алгоритм приближенного нахождения функции Коши

Пусть D, B - банаховы пространства скалярных функций y : [a,b] — R, в пространстве D выполнено условие А, в пространстве B выполнено условие V [8], т. е. для любого множества eY € v и для любой сходящейся последовательности {yi} С B, || yi — y || в — 0, из равенства yi (t) = 0, i = 1, 2,, при всех t € eY следует, что и предельная функция y(t) = 0 при t € eY. Пусть, далее, D = B x Rn , и этот изоморфизм задан отображениями (3),где 5, Л - вольтерровые на v операторы, r - функционал Коши. Рассмотрим уравнение

Lx = (I — W )5x + Arx = f, (7)

в предположении, что оператор W : B — B вольтерров на системе v и его спектральный радиус p(W) < 1. Тогда существует оператор Коши C = Л(1—W)-1 : B — D, являющийся вольтерровым на системе v. Оператор Коши C полностью определяется функцией Коши

с :[a,b] — B *, c(t) = \(t)(I — W )-1,

где функционал X(t) € B * задан равенством (X(t), f ) = ^f )(t).

Каждому t € [a, b] поставим в соответствие число ç(t) = inf { y | t € e7 }. Введем на [a, b] бинарное отношение gv следующим образом:

(t, s) € g v & Ç (t) = ç (s).

Это бинарное отношение является эквивалентностью, фактормножество состоит из классов

T(Y) = {t € [a,b\ 1 ç(t) = y } , Y € [0, b — a\ .

Всюду ниже в этом пункте предполагается, что при любом y € [0, b — a] множество T (y) не пусто и конечно. Условие T (y) = 0 будет, например, выполнено, если для любых Y,C € [0, b — a] из y < С следует, что каждая отличная от a,b точка множества eY является внутренней точкой множества e £ . Действительно, во-первых, у каждого множества eY € v существуют граничные точки (определение см. [12, с. 24]). Иначе все точки множества eY и его дополнения e Y = [a, b] \ eY будут внутренними, т. е. оба множества e y , e y будут одновременно открытыми. Во-вторых, если точка 10 является граничной для множества e y , то для любого v, такого что v < y, имеет место t о € e v. В противном случае если t о € e v, то в множестве e Y эта точка должна была быть внутренней. Итак, действительно, предложенное условие гарантирует, что T (y) = 0 при любом y. Существенность этого условия проиллюстрируем системой v множеств e Y С [0, 1], являющихся объединением отрезков [0, y] с множеством рациональных чисел отрезка [0, 1]. В этом случае, если y является рациональным, то граничные точки множества e y также рациональны. Для любого С, С > Y рациональные точки из [С, b) будут граничными, и для множества e £ наше условие нарушено. Для такой системы v множество T (y ) пусто, если y рационально.

Рассмотрим алгоритм приближенного нахождения функции Коши. Возьмем некоторое натуральное число k и выберем числа yí , i = 0,k так, чтобы

0 = Y о <Y i < ••• < Y ï = b — a.

Зададим вектор t1 = l(tk,1^, ••• ,tkî), компоненты которого сами являются векторами t1 = l(t1 ,t1 ,■■■ ,tk, , ), i = 1,k с компонентами - элементами класса эквива-

г 4 г 1 ' г 2' i {к

i

лентности T (y 1 ). Обозначим tk - соответствующий вектор, в котором число tï является компонентой tN с номером N = l1 + ) + ••• + li-1 + q. Пусть для каждого j = 1,k вектор E1 = ¡Eij, EJîj, ••• , Ejl Л имеет компонентами такие функции

Е] € В, что Е] (в) = 0 при всех в € е 1 к , и пусть вектор Е" определен равен— к ^ — к

~^к

3-і

ством Е к = ^Е к , Е к , ■ ■ ■ , Е ^ . Соответствующий вектор, компонентами которого будут числа ЕМ = Ек , М = ¡ї + 12 + ■ ■ ■ + ¡І-ї + р, будем обозначать Ек. Обозначим через

тк = ( Х(ік), Ек ) матрицу

((тк),Ек) ( ык),Ек)

(Кі-к1,),Е,к, ) (),Е,3 )

і к з

(ХК ), Е{,)

ік з

з ^

V

(Кікік),Е3) (х(і*к),Е3)

2 3

(Кік,к ),е, к,)

і к

размерности ¡1 х ¡у Составим квадратную матрицу тк = (т ] )кхк ■ Будем также рас-

к

сматривать соответствующую числовую матрицу тк порядка ^ Iк, элементы которой

1=1

ткм = {Х^^), ЕМ}■ В дальнейшем если число к фиксировано, то мы будем опускать верхний индекс к в перечисленных выше обозначениях.

Вследствие вольтерровости на V оператора Л выполнено т г] = 0 при любых ] > г. Будем предполагать, что ёе1 тгг = 0 при всех г = 1,к. Тогда существует матрица п = т-1, П = (Пг]), г,3 = 1,к, где п г] - матрица размерности ¡i х ¡Г Для матрицы п также выполнено пг] = 0 при ] > г■

Обозначим 9 к ■ В ^ В - отображение, ставящее в соответствие каждому у € В такой

___к 1 ] __________________________________________________________ ________

элемент у = Е£ = ^ X] Ер] , что { Х(г1д), у} = { Х(г1д), у } при всех q = 1,1г, г = 1,к■

]=1р=1

Найдем коэффициенты £ = (£р]) в линейной комбинации у функций Е = (Ер] )■ Пусть х = { Х(Т), у} ■ Тогда { Х(Т), Е £} = т£ = х^ Следовательно, £ = Итак,

к

ЭкУ = Епх = ^2 | ЕП

І=ї \ 3=1

І3 Х 3

ЕЕ і п

І>3

Рассматриваемый метод построения функции Коши основан на замене уравнения (7)

уравнением

(I - W Эк)5хк + Агхк = ¡.

(8

Построим решение "приближенного" уравнения (8), удовлетворяющее начальному условию гхк = 0- Подействуем вектор-функционалом Х(!) на обе части этого уравнения. Получим

х - дпх = ( Х(і), /)

(9)

где х = { Х(1),5хк}, д= { Х(1 г),ШЕ]}, д = (д)кхк ■ Из вольтерровости на системе V операторов Л, Ш следует д= 0 при всех ] > г^ Таким образом,

х 1 - 911 П11 х 1 = { Х@ 1), ! )■,

откуда

хі =(е-дїї пїї) 1 (Х(і/)>

где е - единичная ¡ 1 х ¡ 1 матрица. Согласно определению функции Коши, получаем

ск (і і) = (е - д її п її) 1 Х(і і) •

(10)

Аналогично, на т -ом шаге имеем уравнение

т т

хт - ^ ^9т1 П 1г хг = { Х(Ьт), / },

г=1 1=г

которое удобно записать в виде

т- 1 т

х т д тт V тт х т ^ ^ ' д т1 V 1г х г + { Х(^ т), / } ■

г=1 1=г

Отсюда имеем

(m—l m \

'У ' 'У ' g ml п li x i + { X(t m), f ) J .

i=1 l=i )

Здесь e - единичная lmxlm матрица. Таким образом, получаем рекуррентное соотношение для вычисления функции Коши:

(m—l m \

X(t m ml П li c k(t iH . (11)

i=1 l=i )

Продемонстрируем применение этих формул на примере уравнения

x'(t) - 1 x'(h(t)) = f (t), t Є [-1, Ц. (12)

где

( -t, если t Є [-О, Б; 0, Б],

h(t) = < t - 0, Б, если t Є (0, Б; 1],

[ t + 0, Б, если t Є [-1; -0, Б).

Для заданной здесь функции h оператор внутренней суперпозиции (Wy)(t) = ^ y(h(t)) непрерывно действует в пространстве суммируемых функций L [—1, і] и является вольтер-ровым на системе множеств

v = {eY = [-2—ll, 2—1і] 1 7 Є [0, 2]} .

Определим функционал r : D—i, i] ^ R, rx = x(0) , являющийся функционалом Коши на системе v. Отображение

t

(y, а) Є L [—і, і] x R --^ а + j y (s) ds Є D — і, i]

о

является изоморфизмом. Заданный равенством

t

(лУ)(t) = f y(s) ds

о

оператор Л : L — i, 1] ^ D —i, 1] обладает свойством вольтерровости на системе v. Уравнение (12) интегрируется. Решение, удовлетворяющее условию x(0) = 0, определяется формулами:

t —t x(t) = J 3 f (s) ds -J 2 f (s) ds, если t Є [-0, Б; 0, Б];

0,5

-0,5

і-0,5

- і+0,5

х(і)=і4/(з)йз -1 з/(*№ +у /(*№ +1 з/(в)йв -!1 /(*№’

00

если і Є (0, 5; 1 ];

0,5

0,5

0,5

і+0,5

- і-0,5

х(і) = у4/(в) йв -у з/(в)& +у /(в)д,в +1 з/-11 /(в)&, 00

0,5

если і Є [-1; 0, 5^ ).

Запишем решение в виде

ї і

х(і) = J С (і, в)/(в)йв + ! С (і, в)/(в)йв,

где функция Коши С (і, в) представлена на рис. 1.

Теперь воспользуемся приближенной формулой (11). Возьмем к = 4; 70 =0, 71 = 0, 5,

- /05 г \

72 = 1, 7э = 1, 5, 74 = 2^ Имеем Ьг = ( ’ )■ Выберем узлами интерполяции функции

0, 5 г

Еї3 (і) =

{ 1, если Ь € [0, 5(у — 1); 0, 5] ],

1]УЧ | 0, если Ь€ [0, 5(у — 1); 0, 5] ]; ^2-1 уч ^13'

Е2з (і) = Еїз (-і).

і

і

і

Построим матрицы

1 0 0 0 0 0 0 0

0 -1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0

0 -1 0 -1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 0 0

0 -1 0 -1 0 -1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

0 -1 0 -1 0 -1 0 -1

1 0 0 0 0 0 0 0

0 -1 0 0 0 0 0 0

-1 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 -1 0 0 0 0

0 0 -1 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 -1 0 0

0 0 0 0 -1 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 -1

элементами которых являются матрицы размерности 2 х 2. Далее, находим

д=2

0 1 0 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

-1 0 -1 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0 0

-1 -1 -1 0 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0

-1 -1 -1 -1 0 0 0 0

е - дп =

^Н|С^ 1 '-нкм 1- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0\ 0 0

0 0 0 0 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0

-2 0 0 - 2 0 2 2 0 1 0 0 1 0 0 0 0

00 00 1 1 7 ? 2 2 0 0 0 0 1 0 01)

с = (е - дп) 1 =

с^|со^|сс 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0\ 0 0

00 00 4 _ 2 - 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0

^н|со:^|сс 1 1 1 2 1 -! 3 3 1 0 0 1 0 0 0 0

00 00 1 -1 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 ч

Для того чтобы сравнить эти значения с точными, составим матрицу с, элементы которой определяются равенством 'сг- = ^ сгр . Получим

Р>3

! 4 - 4

г

Сс =

2 -1

-1 2

21

V

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

4 _2 0 0 0 0

- 3 33 0 0 0 0

4 - 4 1 0 0 0

- 3 3 0 1 0 0

2 -1 1 0 1 0

-1 2 0 1 0 1

Компоненты этой матрицы совпадают с точными значениями функции Коши (см. рис. 1).

ЛИТЕРАТУРА

1 . Бахвалов Н.С. Численные методы. Алгебра, анализ, обыкновенные дифференциальные урав-

нения. М.: Наука, 1975. 632 с.

2 . Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1972. 476 с.

3 . Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-диф-

ференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

4 . Ефремов А.А. Приближенное решение линейных уравнений с запаздывающим аргументом:

автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Пермь, 1983.

5 . Жуковская Т.В. Вольтерровость операторов и численное решение функционально-дифферен-

циальных уравнений: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Пермь, 1990.

6 . Жуковская Т.В., Жуковский Е.С. Численные методы решения функционально-дифференци-

альных уравнений // Функц.-дифференц. уравнения. Пермь: Изд-во Пермского политехн. инта, 1988. С. 110-113.

7 . Юганова С.А. К вопросу о приближенном построении оператора Коши. Пермь, 1981. 11 с. Деп.

в ВИНИТИ, № 3820-81.

8 . Жуковский Е.С. Линейные эволюционные функционально-дифференциальные уравнения в

банаховом пространстве. Тамбов: Изд-во ТГУ, 2003. 148 с.

9 . Жуковский Е.С, Алвеш М.Ж. Абстрактные вольтерровы операторы // Известия вузов. Ма-

тематика. 2008. № 3. С. 3-17.

10 . Жуковский Е.С. Нелинейное уравнение Вольтерра в банаховом функциональном пространстве

// Известия вузов. Математика. 2005. № 10 (521). С. 37-48.

11 . Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактные функционально-дифференциальные уравне-

ния // Функц.-дифференц. уравнения. Пермь: Изд-во Пермского политехн. ин-та, 1987. С. 3-11.

12 . Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая школа, 1999. 368 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-01-00645) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.»

Поступила в редакцию 6 августа 2012 г.

Gorev P.G., Zhukovskiy E.S. METHOD FOR APPROXIMATE CONSTRUCTION OF THE GENERAL SOLUTION TO AN ABSTRACT LINEAR FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATION The method for approximate constructing of the Cauchy function and of the general solution to a linear abstract evolutionary functional-differential equation is described. The example of the calculation of values of the Cauchy equation of neutral type is given.

Key words: approximate method; abstract linear functional-differential equation; Cauchy function; Volterra operator.

Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор Института математики, физики и информатики, e-mail: [email protected]

Zhukovskiy Evgeny Semenovish, Tambov State University, Tambov, Russian Federation, , e-mail: [email protected]