О реализации расстояния произвольной точки до образа решения возмущенного включения Текст научной статьи по специальности «Математика»

здесь ф5г)° — тождественный оператор, ш = _ Ь — а I X

Теорема. Пусть (/(■)& Оп[а,Ь) и функция К( ) удовлетворяет неравенству (1). Пусть отображение /• : [я,/;|х К" х И" —> сотр[ К'1 | обладает свойством А. Тогда для произвольного £ > 0 найдется такое решение хе 1У’\а,Ь\ задачи (2), что для любого I £ [а,Ь | имеет место неравенство и при почти всех 16 \а,Ь\ справедлива оценка |х(/) — <у(/)| < ф(. (/) + (/).

Замечание I . Теорема обобщает утверждение в |2].

Замечание 2. Отметим, что сформулированная теорема дает несколько больше, чем просто

условия существования решения задачи (2). Она дает способ нахождения приближенного решения путем

подбора функции q е 1У'\а,Ь\. При ттом (функция (•), зависящая ог функций а( ), [}(■), к( ), ф( ),

ф(.( )б /,'|[я,й] и 0( )е/^|я.Л| дает оценку приближенного решения (функции q ) задачи (2).

ЛИТЕРАТУРА

I Иоффе А.Д., Тихомиров Н.М. Теория «кстрсмальных тадач М. Наука. 1974

2. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с много шинной правой частью // Вести МГУ. Сер I. Ма-тем. и мех 1967. № 3. С. 16-26

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Иссле-доваї гий (граї гг №01-01 -00140).

О РЕАЛИЗАЦИИ РАССТОЯНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ ДО ОБРАЗА РЕШЕНИЯ

ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ

© А.А. Грпторснко

Пусть С " [я. Л | (/." [я. Ь ]) - пространство непрерывных (суммируемых) на отрезке [я. /> ] функций со

значениями в Н", соответственно. Множество всех непустых, ограниченных, замкнутых, выпуклых по переключению (см. |1|) подмножеств пространства

Ь" [я,6 ] обозначим через П |/ " [я./> |]. а множество всех подмножеств из П [л ” {я. /> ]]. обладающих и свойством выпуклости, обозначим через іі(п [/,"|я./>|]).

через 2( обозначим множество всех непустых подмножеств пространства ( "(я,/) |

Рассмотрим в ігроетранстве (’"[я./)| включение

(I)

где К :С"[в,/>]—- вполне непрерывный оператор, отображения Г : /,"[я,/»]—»(’"[я,/>|, Ф : (’"[я,А ] —> П [/."|а.Ь [) непрерывны и произведение этих операторов V (ф( )) вполне непрерывно.

Под решением включения (1) будем понимать такой элемент х є ( ”'[я./> |, для которого справедливо включение (1). Таким образом, каждому решению х включения (1) соответствует такой 2 є і " [я. Ь ], что г є ф(д-) и х = /7(дг)+К(г)

Пусть М> Є I," [я,/> |. Если для любого £>0 существует такое решение х є С " [я. Ь | включения (1) и такой і є ф(г), удовлетворяющий равенству х =F[x)+l/'(z), чго для любого измеримого множества І/ с (я./)| выполняется неравенство

(2)

і де р , (•. •] - расстояние от точки до множества в

и \у)

пространстве Ьп{и\ Ц() - мера Лебега, то будем го-ворип», что решения включения (1) с наперед заданной точностью реализуют расстояние от точки и» до образов решений многозначного отображения Ф( ). Нели неравенство (2) выполняется при є = 0, то будем говорить. что решения включения (1) реализуют расстояние отточки № до образа решения отображения ф( )

Пусть многозначный оператор Е : С"(я.Ь| —>

,2С"М

определен равенством

Е(х)=/ф)+К(ф(*)).

Теорем а: Пусть V - такое выпуклое ограниченное замкнутое множество пространства (”"[я./>],

что 5{и) а О' . Тогда для любой точки >г £ /_" [с;.Ь \ решения включения (I) с наперед заданной точностью реализуют расстояние от точки м’ до образов решений

отображения Ф : С " [я./) ] —> П [/." [а.Ь]] Если отображение Ф : С" \а.Ь | —» 12(п |/." [а.Ь ]]), то решения включения (1) реализуют расстояние любой точки 'V е Vх \а,Ь ]до образа решения отображения Ф0.

Отметим, что задача о реализации расстояния егг точки до образа ртнения имеет важное значение для теории н приложении возмущенных включений, поскольку с ее

помощью можно корректно определить приближенные решения включений, а также получить их оценки.

ЛИТЕРАТУРА

I Булгаков А.И.. Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа ГаммерштеПна с нсвыпуклыми образами // Изв. вузов 1999. № 3 (442) С. 3-16.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Иссле-довшшй (грант № 01 -01 -00140).

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ АБСТРАКТНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

© Е.С. Жуковский

Специфические особенности вольтерровых операторов и их многочисленные приложения определяют центральное место задачи Коши в ряду краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с последействием. Здесь предпринимается попытка оп-ределить класс абстрактных уравнений - аналогов уравнений с последействием. Результаты исследований обобщенно вольтерровых операторов, действующих в различных пространствах [1|, позволяют для таких уравнений рассмотреть задачу Коши и получить для нее содержательную теорию.

Обозначим V - совокупность таких множеств е.( с | а. Ь | с мерой Ц(«?.,) = у, что при всех

у,Т|£ [0,Ь—а\ из неравенства 7<11 следует е у се,.. Действующий в пространствах определенных на |а,Ь\ функций оператор /■' называем вольтер-ровмм на системе V . если для любого у є [0, />—а\ выполнено (/х)(/) =0 . /ее., для любого такого х , что х(/) = 0, Г є є.,. Непосредственно из определения

следует, что сумма и произведение линейных вольтерровых на системе V операторов является линейным вольтерровым їй системе V оператором. Отметим, ЧТО приведенное определение несколько расширяет понятие вольтерровости по А.Н. Тихонову. Дія волыерро-вого, по А.Н. Тихонову, оператора еу = \а, о+у\.

Пусть 1).В - банаховы пространства функций

у : [о,б}—>Л"‘. I) изоморфно н ишметрично прямому произведению В ХІІ ", 7 :£)—■> В - линейный ограниченный вольтерровый на V оператор, г.П—ьН" -

линейный ограниченный функционал, удовлетворяющий условию

\/е>0 Ухе/.) (х(/) = 0 . /є еЕ => гх = 0 ). Систему уравнений

7.х=/, (1)

гх = а. (2)

где /є В , гає И". назовем задачей Коши для функционально-дифференциального уравнения (1).

Пусть изоморфизм ІЗ =/? хЛ" задан отображениями соІ(5,г):0-*ВхІҐ , (А.К )=(с-«/(5./-))~‘:

ВхИ" ->1) , где 5, А - вольтерровые на V операторы. В лом случае «главная часть» оператора И -оператор 0 = 2 А : В —» В будет также вольтерро-мым. Для однозначной разрешимости задачи Коши (1, 2) необходимо и достаточно, чтобы оператор О имел ограниченный обратный |2|. Мы будем также предполагать, что оператор О 1: В —> В является вольтерровым на системе V . Условия обратимости оператора О и вать-

терровости обратного оператора получены в работе [ 11. Решеїше однозначно разрешимой задачи Коши

представимо в виде X = X а + С / , где X - фундаментальная матрица решений однородного уравнения: линейный ограниченный оператор С =

= АО 4 : В —її) будем называть оператором Ко-шн. В наших предположениях оператор Коши является вольтерровым на системе V Запишем оператор Коши в виде (Г/ХО= (с(0./). где компоненты III -мерного вектора с(1) являются элементами сопряженного пространства В * Построенное таким образом отображение с : [а, Ь| —> В'"' будем называть функцией Коши. Заметим, что если вектор-функционал Х(/) определить равенством (А/Х0=(^(0./), т°

с(1) = МПО~'-

ЮХ