Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с почти периодическими по времени коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

М. В. МЕНДЗИВ

Омский государственный технический университет

ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПО ВРЕМЕНИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Установлены в рамках прямого метода Ляпунова признаки экспоненциальной УСГО1/М1/В0СГИ В ¿2-норме решений краевых задач — смешанной задачи, задачи Коши — для гиперболических систем указанного в названии статьи класса, в которых условия на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы ослаблены по сравнению с известными результатами длч случая любых гладких коэффициентов.

1. Задачи теории колебаний, теории автоматического управления систематически приводят к проблеме расчета на устойчивость динамических систем, параметры которых почти периодически зависят от времени. Известные до последнего времени результаты относятся главным образом к уравнениям с малым параметром [1 — 5]. Вместе с тем анализ устойчивости встречающихся на практике динамических систем этого типа в ряде случаев не вкладывается в схему метода малого параметра.

Некоторое продвижение в этой области произошло в последние годы. В цикле работ [6 — 9) построен вариант прямого метода Ляпунова для различных классов уравнений с почти периодическими коэффициентами — обыкновенных дифференциальных, разностных, дифференциально-разностных, — в которых условие на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы существенно ослаблено по сравнению с известными результатами для таких систем с любыми непрерывными коэффициентами. Получены приложения к задачам теории колебаний.

Данная работа является продолжением исследований [6 — 9]. Получены прямым методом Ляпунова достаточные признаки экспоненциальной устойчивости в 12-норме решений краевых задач для указанного в названии статьи класса гиперболических систем с одной пространственной переменной — задачи Коши, смешанной задачи, — в которых условия на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы ослаблены по сравнению с ранее полученными в работах [10, 11] результатами для таких систем с любыми гладкими коэффициентами.

Ниже, в п. 3-5, подробно рассмотрен случай смешанной задачи и приведен иллюстрирующий пример, в п. 6 приведен получаемый потой же схеме признак устойчивости указанного типа решений задачи Коши.

Далее | • |- эрмитова норма в С^, так же обозначается согласованная с ней матричная норма.

2. Обозначим Ма1(М, С) множество матриц

порядка N с элементами из С, п = [0,1]хЯ, с(п)~ множество функций V :п Будем на-

зывать число Те-почти-периодом функций Р еС(п), если

|Р(*,/ + ;г)-Р(*,г)|<е, ЫеП.

Функцию Р еС(п) будем называть почти периодической, если для любого е > 0 существует отн-

осительно плотное на оси множество ¡и-почти-периодов; это означает существование числа £>0 такого, что любой отрезок длины (. на оси содержит хотя бы один е-почти-период. Далее понадобится

Лемма 1 [12, с.371 ]. Для любого е > 0существует относительно плотная на оси последовательность е— почти-периодов почти периодической функции вида

Тк=пкА, пке7„ д = д(гг)>0.

3. Зафиксируем те Я Рассмотрим краевую задачу в области По = [0,1]х[0,оо)

Ьи

Э/ ох

м = О,

(1)

У

и(х,т)= Ь0(х), (2)

«+(о,/)=ро(^"(о,0. «т(иМ('У<+0.0- (з)

Здесь А е С'(п), ЯеС(п), А =diag(a^![,...,anln),

а, >... > а,„ > 0 > ат+[ > ...>ап, и =

(м.....-О'

1к - единичная матрица порядка = N ,

ик - строка размера Ык , т- знак транспонирования, Рк - гладкие матрицы соответствующих размеров. Предполагаются выполненными условия согласования нулевого и первого порядков

к-П(Фо1„=0. О,

[а;-рШ + /&)*;],.о=о, = о,(4)

Л, = + /№„),., ■

Из результатов работы [13] следует однозначная разрешимость краевой задачи (1) — (4) в классе гладких функций и : П С Далее будем предполагать: матрицы А, А'х, В, Р$,Р\ - почти периодичны. (5) Обозначим Нт линеал гладких функций

А: [о. 1]-> С ^ г удовлетворяющих краевым условиям (4), со скалярным произведением

0

где ' означает сопряжение, и соответственно с нормой ||а|| = Ограничение решения ¡¡(л,г)

задачи (1) — (5) на каждую горизонталь t = const > т-элемент линеала Ht; будем обозначать этот элемент

Зафиксируем матрицу G(x,t) = diag(G\,...,G„) с диагональными блоками порядков N^-.-.N,, со свойствами

G* = С, GeC'(n), m\I<,G<m2l {тк > 0), (g) G, G'x,G't - почти периодичны,

и определим функционал V : Ят х R —» R формулой v(h,t)=(Gh,h). (7)

Представим матрицы А , G в виде А = diag(A+,A_), G = diag(G+.G ), где блоки A+,G+ имеют порядок N\ +...+ Nm.

Лемма 2. Производная функционала (7) вдоль траекторий динамической системы (1) — (4) дается формулой

v{h,t)=(fmH^OHWUOMIOW'MO. (в)

ГАе F(x,t)=G',+{GA)x-GB-B*G,

F0 (?) = А_ + PqG+ А+ Р0 )т=0, (9)

Доказательство. Пусть u(x,t) — решение краевой задачи (1) — (4). Вычисления с учетом равенств

А* = A, AG = GA дают

dt

V(u,t)=l

i Fu - {и GAuji

dt = (Fu,h) + и GAu

где F — матрица (9). Подставляя ы(0,г) --

"М=

А и+

, получим равенство (8) при h = и.

Г±] = —— fА. -G)-

2т: i v

где ^ ветвь положительная при X > 0, у -

обходимая в положительном направлении окружность в полуплоскости ЯеХ >0, окружающая отрезок \т\,г«2]. Выполняя в (1) - (4) замену г = Ги, получим для функции краевую задачу такого

же вида с той же матрицей А и почти периодическими матрицами

В = ГВГ~] -Г;Г~1-АГ'ХГ~1,

% = rvfor"

х=0

-1

х=\

Ввиду оценок (13) для доказательства теоремы достаточно доказать оценку (10) при т = 0 с заменой u(t) на z(t\ где z(t)~ ограничение решения z(x,t) новой краевой задачи на горизонталь t = const. (iii) Обозначим

Имеем v(t)= (Ги,Ги) = (Gu,ii) = V(u,t\ где и = Г Xz-решение исходной краевой задачи, V - функционал (7). Отсюда с учетом (8) и второго и третьего неравенств (11) вытекает: ¿(/)< (Fu,u) или

v{t)<(Fz,z), Имеет место оценка

F < -cl,

F = r~lFT~\

т

2 От]

(15)

(16)

4. Будем говорить, что решение « = 0 краевой задачи (1) — (5) экспоненциально устойчиво, если существуют такие постоянные ц > 0, V > 0, что для любого решения имеет место оценка

' ''|йо||, /2 т. (Ю)

Теорема. Пусть существует матрица С(л,г) с указанными выше свойствами такая, что выполняются неравенства

^ < 0. F0 < 0, ^ > 0 при I > т.

< -т! (т = сотI > 0) хотя бы при одном > т. .

Тогда решение « = 0 краевой задачи (1) — (5) экспоненциально устойчиво.

Доказательство. Для упрощения записей примем в (2) начальный момент т = 0.

(¡). Существует /, х0 такое, что

при (^/)е[0,1]х[/0,/1]. (12)

В самом деле, из неравенства с

учетом непрерывности матрицы Рв П следует существование конечного покрытия отрезка {г = <0- 0<х<1} открытыми кругами, в каждом из которых выполняется (12); отсюда следует нужное.

(н). Обозначим Г = С2- эрмитово-положи-тельный корень из С. Имеют место соотношения

< Г < (13)

Г. Г-1 е с'(п) и почти периодичны.

Первое очевидно, второе и третье вытекают из равенств

В самом деле, из (12), (15) имеем: £ 1 на

[/0,о]; отсюда с учетом С-1^/^-1/ следует (16). Из (14) — (16) вытекает неравенство

откуда, интегрируя, найдем

и{11)<д4и(10\ д=е 4 <1. (17)

(¿у). Из определения (15) матрицы /и соотношений (5), (6), (9), (13) следует почти периодичность /■Поэтому в силу леммы 1 существует последовательность чисел т„, « е г + , со свойствами

Г„>0. Т„ ->оо, /, <Тп+х-Тп<12 (/¿>0)1

(18)

где с — постоянная (16). Можно без ограничения общности считать

/1<ГЬ Д„ = [/0 + Тп,1\ + Ги]с [7,и>7"я+1], пе2 + Л 19) Из последнего неравенства (18) и оценки (16) следует оценка

/■<--/. /еД„. 2 "

откуда, повторяя рассуждения в конце п.(Ш), найдем

г{(х+Тп)<я2ь^ + Тп\ (20)

где Я~ постоянная (17). Так как, ввиду первого неравенства (11) и (15), ¿<0 в П.из (19), (20) получаем: ^Т^^д^Т^ или, с учетом г> = ||г||2.

(21) (22)

Из (17) с учетом < 7] легко получить

ИГ,]**!*!

Из (21), (22) вытекает оценка

+ . (23)

Обозначим Т = тах{Г\, /2}, где /2 - постоянная (18),

Пусть I = пТ + г, где п<=г+. О<г<Т. Тогда />Г„,

поэтому, с учетом (23) и Ь < 0, ||г(/| < ди||Ло| Откуда следует требуемая оценка

-I 1,

V = q , v = -l

5. Пример. Рассмотрим краевую задачу для телеграфной системы в полуполосе П = [о,1]х [0,°о)

di 9v / „

3v ft / ч

(24)

/(0,г)= У(1,/) = 0.

Здесь е^ (г)— неотрицательные непрерывные периодические функции с периодом т = I и малыми носителями на периоде [о,1]:

■ек>0 при/е(аьР*)е[о,1], рА-а*«1, (25)

ек=0 приге[0,1]\(а*,РЛ * = 1. 2;

начальные функции удовлетворяют условиям согласования нулевого и первого порядков

■<р(0) = ш(1) = 0, ш'(0)= <р'(1)= 0. (26)

Замена (г,у)—>(и|,м2) по формулам

и\ +и 2

V =

щ-и2

2 2 приводит краевую задачу (24) — (26) к виду (1) — (5), где

А =

1 0

0-1 <р-у у/

вЛ 2

£) + Е') £ | — ¿2

Положим в (9) с = / , тогда для матриц (9) имеют место равенства

^ = -2 В, = = 0. Нетрудно усмотреть: при условии

(а1,р1)п(а2,р2)"0

выполняются все требования теоремы, и тем самым решение (/,у)=(0,0) краевой задачи (24) — (26) экспоненциально устойчиво в Ь2 - норме.

Обратим внимание, что здесь не выполняется условие Ляпунова ¿<0 : имеет место равенство

с1е1 Г = 0 на множестве [о,1]\1)(а£,Р*) и его сдвига*

к

на периоды „6 ъ ■

6. Рассмотрим в области Я х [т. да) задачу Коши

Ы = 0, и|,_. =й0(4 (27)

где ¿-оператор (1) с почти периодическими по г матрицами А, В (здесь определение почти периодичности дается аналогично п.2 с заменой множества

С(п) множеством c(r2) непрерывных ограниченных в R2 функций R2 _> Mat(N,C)), h0 - гладкая

финитная функция со значениями в с". В этом случае ограничение решения u(x,t) задачи Коши (27)

на каждую горизонталь t = const- также гладкая финитная функция, производная по времени формы (Gu,u) ((.)- скалярное произведение в

G - матрица с указанными 4ыше свойствами) дается формулой

где р- матрица (9). Рассуждения, аналогичные (с очевидными видоизменениями) проведенным при доказательстве теоремы, приводят к следующему результату: для того, чтобы решения задачи Коши (27) удовлетворяли оценке (10), достаточно существование матрицы G с указанными свойствами такой, что выполняются неравенства

F < 0 при t > т,

F<-mI (ш>0) хотя бы на одном отрезке [io.'i} 'о -т-

Заметим, что в случае смешанной задачи последнее требование вытекает из последнего неравенства (11) — см. п. (i) доказательства теоремы.

Замечание. В работе [14] исследовалась первым методом Ляпунова устойчивость решений смешанной задачи (1) — (4) в автономном случае (матрицы А, В, Рк не зависят от t), получен спектральный признак экспоненциальной устойчивости в

С1 -норме.

Библиографический список

1. Штокало И.З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных уравнений с кваэипериодическими коэффициентами// Матем. сборник. Новая серия. 1946. 19, 2.

2. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.. Наука, 1974.

3. Фомин В.Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972.

4. Колесов Ю.С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами// Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1977, С. 82-141

5. Краснисельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М: Наука, 1970.

6. Добровольский С М., Котюргина A.C., Романовский Р.К. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей//Мат. заметки. 1992. Т. 52. № 6. С. 10-14.

7. Алексенко Н.В., Романовский Р.К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами// Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 2. С. 147-153.

8. Романовский Р.К., Троценко Г А. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами// Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44. № 2. С. 444-453.

9. Добровольский С.М., Рогозин A.B. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте// Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46. № 1. С. 98-105.

10. Воробьева Е.В., Романовский Р.К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными// Сиб.мат. журн. 1998.Т. 39, №6. С. 1290-1292.

11. Романовский Р.К., Воробьева Е.В., Макарова И.Д. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной системы на плоскости // Сиб. журн индустриальной математики. 2003. Т. VI,№ 1(13).С. 1 18-124.

12. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М: Наука, 19G7.

13. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Мат. сб. 1960. Т. 50, № 4. С. 423-442.

14. Елтышева Н.А. О качественных свойствах решений некоторых гиперболических систем на плоскости // Мат. сб. 1988. Т. 135, №2. С. 186-209. _______________

МЕНДЗИВ Марьяна Верославовна, ассистент кафедры высшей математики.

Дата поступления статьи в редакцию: 21.06.06 г. © Мендзив М.В.

Книжная полка

Книги издательства «Высшая школа»

Андрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей : Учебное пособие. М., 2005. 174 с.

Баврин И.И. Математический анализ. М., 2006. 327 с.

Киреев В.И., Пантелеев A.B. Численные методы в примерах и задача. М., 2006. 480с.

Бабецкий В.И., Третьякова О.Н. Прикладная физика. Механика. Электромагнетизм : Учебное пособие. М.,2005. 328 с.

Бондарев Б.В., Калашников Н.П., Спирин Г.Г. Курс общей физики. В 3 кн. Кн. 2. Электромагнетизм. Оптика. Квантовая физика : Учебное пособие. М., 2005. 438 с.

Бондарев Б.В., Калашников Н.П., Спирин Г.Г. Курс общей физики. В 3 кн. Бондарев Б.В., Калашников Н.П., Спирин Г.Г. Курс общей физики. В 3 кн. Кн. 3. Термодинамика. Статистическая физика. Строение вещества: Учебное пособие. М„ 2005. 366 с.

Горяченко В Д. Элементы теории колебаний: Учебное пособие. М., 2001.395 с.

Дмитриева В.Ф. и др. Физика, Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических и технологических специальностей вузов.