CC BY
39
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №1/2016 ISSN 2410-700Х_
УДК 538.915; 539.6; 541.2
Баранов Михаил Александрович
д-р. физ.-мат. наук, проф. АлтГТУ г. Барнаул, РФ E-mail: [email protected]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯДОВ В ВИДЕ РАЗМЫТОЙ СФЕРЫ И ГАУССОВА ОБЛАКА КАК
ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРОННЫХ ОБОЛОЧЕК
Аннотация
Получен и проанализирован явный вид базовой сферически-симметричной функции распределения заряда (электронной плотности), которая представляется в виде суперпозиции бесконечно большого числа дифференциально-малых облаков, равномерно центрированных по поверхности сферы. В отличие от орбитали слетэровского типа предлагаемое распределение допускает произвольную ширину максимума и его расположение на произвольном расстоянии от центра. Рассматривается последовательность действий, приводящая к точному аналитическому выражению энергии кулоновского взаимодействия размытой сферы с гауссовым облаком.
Ключевые слова
STO-орбиталь, сферическая симметрия, функция распределения, интеграл перекрытия, точная аналитика.
Введение
Объяснение и предвидение свойств веществ, исходя из их химического состава и внешних условий, представляет одну из важнейших задач современного естествознания. Почти полностью электростатический характер взаимодействий между атомами позволяет существенно облегчить и упростить решение подобной задачи. При этом наибольшие трудности возникают как при воссоздании адекватных конфигураций электронных оболочек, так и при последующем описании их взаимодействий. Вследствие существования взаимно компенсирующих положительных и отрицательных зарядов и чудовищной величины коэффициента пропорциональности в законе Кулона энергия взаимодействия атомов оказывается чрезвычайно чувствительной даже к самому незначительному перераспределению заряда в их оболочках. Это, в свою очередь, требует чрезвычайной точности воспроизведения энергии взаимодействия электронных оболочек в зависимости от их конфигураций. Такой точности не удаётся достичь путём применения приближённых и численных методов. Выходом из подобного положения является представление оболочек в виде суперпозиции их элементов - простых распределений заряда, допускающих точный аналитический вид энергии их кулоновского взаимодействия. Поскольку из таких элементов как гауссово облако, размытая сфера и размытое кольцо в принципе возможно построение произвольных конфигураций точечной группы симметрии, то именно эти элементы предлагается рассматривать в качестве базовых. Полученное ранее выражение для энергии взаимодействия заряженных облаков [1] позволяет моделировать взаимодействие оболочек в виде гантели, треугольника, тетраэдра, куба и др. Рассмотрим теперь взаимодействие размытой сферы с гауссовым облаком.
Распределение заряда в размытой сфере
В принципе произвольное сферически- симметричное распределение может быть представлено в виде суперпозиции базовых сферических функций - положительно определённых и имеющих единственный максимум. При этом возможность размещения максимума произвольной ширины на произвольном расстоянии от центра является принципиальной. Исторически сложилось так, что радиальное распределение электронной плотности представляется только в виде суперпозиции т.н. слэтеровских функций - STO орбиталей [2], задаваемых в виде
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №1/2016 ISSN 2410-700Х_
Psi(nl5al5r) = Aj • rni • exp(-a^) (1)
или pS2 (n2, a2, r) = A2 • rn2 • exp(-a^r2) (2)
где r - расстояние от центра; А1 и А2 - нормировочные множители. Показатели степени n и n2, как правило, целочисленные. Рассмотрим, для определённости, распределение (1). На рисунке 1 показана зависимость нормированной на единицу функции pS1 от r и параметров, с учётом того, что
A1 =аП1+3 /[4л • (n1 + 2)!]
а
0 0,5 1,0 1,5
Рисунок 1 - Зависимость слэтеровской функции (1) от расстояния до центра.
a - n1=2, а1=10; b - щ=4, а1=15; c - щ=4, а1=10; d - щ=2, а1=5;
Поскольку для образования острого максимума необходимо резкое возрастание степенной функции и резкое убывание экспоненты, что возможно только при малых г, то острые STO максимумы локализуются на малых радиусах. Руководствуясь обычными правилами математики, легко показать, что положение максимума STO орбитали (1) равно
Г = ^, (3)
т ' у '
ах
а положения двух его точек перегиба - Г_2 =-¿ 2-. Приняв в качестве ширины о
а1 а1
максимума расстояние между точками перегиба (1), можно записать
л/П"
а = 4^ (4)
а1
Объединяя (3) и (4) получим
4
° = — Гт (5)
Vn1
Таким образом, соотношение (5) подтверждает, что острые максимумы STO орбитали должны располагаться на малых радиусах, а размытые - на больших. Поэтому функция вида (1) наиболее приспособлена к описанию внутренних оболочек. Между тем, именно внешние (валентные) оболочки ответственны за образование межатомных связей. Для того чтобы острый максимум оказался на больших расстояниях от центра, необходимо принять достаточно большим значение щ. Данные обстоятельства
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №1/2016 ISSN 2410-700Х_
вынуждают прибегнуть к построению более гибкой функции распределения, что достижимо, если положение максимума будет контролироваться одним из независимых параметров, а его ширина - другим. Рассмотрим сферу радиуса Ri (рис.2) с равномерно распределённым на ней зарядом qi.
Рисунок 2 -Взаиморасположение точки М на поверхности сферы и произвольной точки А.
Пусть точка А - центр облака с распределённым в нём по закону Гаусса зарядом q2. Через центр Oí сферы и точку А проведём полярную ось. Тогда положение произвольной точки М на сфере может быть задано полярным углом 01, отсчитываемым от оси OíA и азимутальным углом ф, отсчитываемым в плоскости
перпендикулярной выбранной оси. Дифференциально-малый телесный угол
d2Q = sin 0J d0! d9 вырезает
на сфере участок, содержащий дифференциально-малый заряд d2qí пропорциональный этому углу
12 f\
d^ = qi = -^sin 91d91d9 (6)
4л 4л
Размытие всей сферы будем понимать как размытие каждого из её дифференциально-малых элементов. Тогда каждая точка М сферы представляет собой центр дифференциально-малого гауссова облака. Плотность заряда, создаваемая этим облаком на расстоянии rí от точки М равна
d2Pi (ai, r) = d2qi (-^)3 exp^afr2) = • (-^L)3 exp^afr2) sin 0^0^ф (7)
л/л 4л л/л
Из соображений симметрии, очевидно, что зарядовая плотность, создаваемая всей сферой является сферически симметричной функцией. В произвольной точке А на расстоянии r от центра сферы эта плотность находится путём интегрирования (7) по всей сфере
Pi(ai,Ri,r) = j d2Pi(ai,ri) = ~(_ai)3 j exP(-a2ri2)sin 0ld0ldф (8)
по сфере 4л "V л
Введём в рассмотрение векторы Ri = OiM; ri = MA; r = OiM. Из рисунка 2 видно, что r = Ri + ri или ri = r — Ri. Квадрат последнего соотношения равен
ri2 = r2 + R2 — 2rRi cos0i (9)
Подставим (9) в (8), приняв во внимание, что при сканировании сферы полярный угол меняется от 0
до п, а азимутальный - от 0 до 2п
q а л 2л
p1(a1,R1,r) = -qi^-a^)3exp(-a12(r2 + R2) f exp(2a2rR1 cosei)sin eid01 i ёф = 4Л л/л 0 0
(10)
- q1a1[exp(-af (r - R1 )2) - exp(-a2 (r + R1 )2)]
4(л/Л)3 Я1Г
Ожидается, что условие нормировки р1 должно выполняться автоматически.
Р1(а1,^1,Г)г2'
0
Jp1(a1,R1,r) dv = 4л Jp1(a1,R1,r)r2dr =
= , ^Л [Iехр(-а2(г - —1)2 гёг - |ехр(-а2(г - —1)2 гёг] =
4(л/ Л) 0 0
Опуская громоздкие, но достаточно простые выкладки, можно показать, что
г 9 9 1 9 9 1 л/Л
| ехр(-а2 (г - —1 )2 г ёг = ехр(-а2—2) + -[eгf (а1Я1) +1] (12)
ю 1 К л/л
| ехр(-а2 (г + —1 )2 гёг = ехр(-а2—2) + —-[ей" (а1Я1) -1] (13)
Подстановка (12) и (13) в (11) доказывает справедливость условия нормировки. Очевидно, что плотность заряда, создаваемая сферой в её центре возникает в результате сложения плотностей от всех её участков равноудалённых от центра.
Р1 (а1, — 1, 0) = | ё2Р1 (а1, —1) = Я1 (^)3 ехр(-а2—2), (14)
по сфере * Л
что, впрочем, легко проверяется применением правила Лопиталя к (10). С другой стороны, при стремлении радиуса сферы к нулю все её точки окажутся сосредоточенными в О1. При этом заряды всех точек складываются, все расстояния Г1 превращаются в г, а сама сфера - в гауссово облако с зарядом ql.
м р1(а1,—1,г) = а!^)3 ехр(-а2г2)
л/Л (15)
—1 ^ 0
Положения экстремумов плотности определяются из условия равенства нулю её производной. Принимая во внимание (10), находим
2о 2
—Ч(г - —1)ехр(-а2 (г - —1 )2 ) - (г + —1)ехр(-а2 (г + —1 )2 )] + г (16)
+ -1 [ехр(-а2 (г - —1 )2 ) - ехр(-а2 (г - —1 )2 )] = 0
г2 1 1 1 1
Минимум р1 расположен в центре сферы. Для этого достаточно в (16) устремить г к нулю и дважды применить правило Лопиталя. Из (16) следует
2а2 (г + — )г + 1
ехр(4а2—1г)=-2 2( —1) +1 (17) 2а2 (г - —1)г +1
Левая часть и числитель правой части (17) - положительно определённые величины. Следовательно, решение (17) существует при г<Rl. Поскольку значение экспоненты гораздо больше её показателя, то левая
(11)
2
часть (17) намного превышает 4а ^^Г . Правая же часть огромна, когда её знаменатель близок к нулю и отрицателен. Из этого условия и находится положение максимума р1
Ri -
1
R1aî
2
(18)
Это значение не превышает Ш, что обусловлено влиянием «хвостов» гауссовых облаков от всех других точек сферы. Наглядное представление о поведении зарядовой плотности р1(а1, Ш, г), определяемой из (10) и нормированной на 1 при различных значениях параметров приведено на рисунке 3. Как видно из графиков, предложенная схема допускает расположение максимума произвольной ширины на произвольном расстоянии от центра.
Рисунок 3 - Зависимость плотности (10), нормированной на единичный заряд от расстояния до центра при
различных значениях параметров: а1 и Ш.
1 - а1=2.5, Ш =0.1; 2 - а1=10, Ш = 0.35; 3 - а1=10, Ш=0.5; 4 - а1 = 10, Ш = 1; 5 - а1=10, Я1 = 1.5; 6 - ш=10, Ш=2; 7 - а1=10, Ш=2.5.
Взаимодействие сферы с облаком
В [1] показано, что энергия взаимодействия двух гауссовых облаков заряда, характеризуемых параметрами ql, а1 и q2, а2 и расположенных на расстоянии г между их центрами равна
E
где
C1-C1
а =
г
ai а 2
erf(ar),
V2 2 aj +а 2
(19)
(20)
г
m
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №1/2016 ISSN 2410-700Х_
Соотношения (19) и (20), по сути, квинтэссенция настоящего и последующего исследований не только в силу их точности и простоты, но и потому, что из гауссовых облаков в принципе возможно построение произвольных распределений зарядовой плотности. Воспользуемся ими и на этот раз.
Расположим в точке А на расстоянии г от центра Oí сферы 1 (рис. 2) центр гауссова облака 2 с параметрами q2 и а2. Применяя аппарат, развитый выше при построении распределения заряда размытой сферы и опираясь на (19), можно записать выражение для энергии кулоновского взаимодействия дифференциально-малого облака, находящегося в точке М на сфере с облаком 2
d2EC1 C2 = q2d^erf(ar1) = q^2 erf(ari)sm e¡ d01 ёФ (21)
Г 4л r1
где а определяется из (20), учтены соотношения (6 и 7), и то, что rí - расстояние между облаками. Энергия взаимодействия всей сферы 1 с облаком 2 находится путём интегрирования (21) по сфере
ES1-C2 = j d2EC1-C2 = j erf(ar1)Sn0Ld01^ (22)
по сфере 1 4Л по сфере 1 r1
Повторяя далее замену переменных, которая приводит к соотношению (9), получим
2r1dr1 = 2rR1 sin 01 d01 . Отсюда
sin 01 d01 = _drL (23)
r1 rR1
Из (9) также следует, что при 9í=0 r1 = |r — R^, а при 9i=n r1 = |r + R^ . Подставляя (23) в (22) с учётом указанных пределов интегрирования находим искомую энергию взаимодействия сферы с облаком
ir+r,I a r+Rj
^2 oJ № 1 -11
Esi-c2 = Jerf(ar1)dr1 Jerf(x)d:
4л rRi |r_Ri 2 arRi a|r_Ri|
!l!2 [x • erf(x) + -^exp(_x2)]
2 arR 4ñ
a| r_Ri|
(24)
[a|r + R1 |erf(a|r + R11 _ a|r _ R1 |erf(a|r _ R1
= !i!2 2 arRj
+ exp(_a2 (r + R1)2 _ exp(_a2 (r _ R1 )2 ] л/л л/л
+
a r+R1
Следует отметить, что соотношение (24) можно получить и путём применения теоремы Гаусса-Остроградского к сферически-симметричному распределению (10). Таким образом, содержание второй из шести клеток таблицы кулоновских интегралов перекрытия приобретает конкретный
аналитический вид.
Список использованной литературы:
1. Баранов М.А. Взаимодействие распределённых по Гауссу облаков заряда как элементов электроннных оболочек. // Международный научный журнал «Символ науки». - 2015. - часть 1. - № 9. - с. 9-15.
2. M. Lesiuk, R. Moszynski. Calculation of two-centre two-electron integrals over Slater-type orbitals revisited. I. Coulomb and hybrid integrals. // Phys. Rev. E90. - 2014. - p. 063318.
© М.А. Баранов. 2016
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №1/2016 ISSN 2410-700Х_
УДК 531/539:61
Бегун Петр Иосифович
докт. техн. наук, профессор СПбГЭТУ «ЛЭТИ»,
г. Санкт Петербург, РФ E-mail: [email protected]
БИОМЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СКЕЛЕТНОЙ МЫШЦЫ
Аннотация
Предложена модель передачи усилия от миофиламентов к сухожилию, позволяющая рассматривать последовательность процессов, происходящих в скелетной мышце при различных режимах сокращения.
Ключевые слова
Cкелетная мышца, модель, сокращение, филаменты, сухожилия, режимы
Скелетные мышцы, составляющие около 40% тела человека, содержат множество волокон диаметром от 10 до 80 мкм. В большинстве скелетных мышц каждое волокно вытянуто во всю длину мышцы. На концах мышечного волокна поверхностный слой сарколеммы сливается с сухожильными волокнами. Клеточная мембрана мышечного волокна двуслойная: внешняя оболочка - базальная мембрана, внутренняя -сарколемма. Между этими оболочками располагаются клетки-сателлиты, играющие существенную роль в процессе миофибриллярной гипертрофии. Каждое мышечное волокно содержит от нескольких сотен до нескольких тысяч миофибрилл. Они занимают 75 - 85 % мышечного волокна. Часть миофибриллы, расположенной между двумя последовательными Z - дисками - саркомер. Длина саркомера приблизительно 2,5 мкм.
Цитоскелет мышечного волокна образуют нитевидные упругие молекулы ряда белков, обеспечивающих фиксацию каждой миофибриллы друг к другу, а также ряд белков, соединяющих Z-диски одной миофибриллы. Костамеры скелетных мышц, также содержащие несколько белков, соединяют Z-диски периферических миофибрилл с сарколеммой, являясь ребрами жесткости цитоскелета (рис. 1). Толщина нити цитоскелета 10 нм. Можно предположить, что расположенные в цитоскелете молекулы являются матрицей, определяющей положения начальных участков сократительных нитей. Пространство между миофибриллами заполнено внутриклеточной жидкостью - саркоплазмой.
а б в
Рисунок 1 - Схемы структур скелетной мышцы: а - локализация костамеров в мышечном волокне (1 -
миофибриллы, 2 - Z -диск, 3 - костамеры, 4 - сарколемма), б - привязка Z - дисков к элементам цитоскелета (1 - Z -линии, 2 - плазмолемма, 3 - миофибриллы, 4 - промежуточные филаменты, 5 - Z -диск,
6 - цитоскелетные филаменты), в - структура Z -дисков
В литературе рассмотрены различные гипотезы, объясняющие процессы, происходящие в мышцах при различных характерах нагружения. К сожалению, представленные и обсуждаемые в публикациях модели процессов передачи усилия от миофиламентов к сухожилию (представляющих одну из интереснейших проблем мышечного сокращения) не отражают адекватно современное представление о функционировании
