Взаимодействие зарядов в виде неконцентричных размытых сфер как элементов электронных оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

- логические (работа по алгоритму, моделирование);

- общеучебные (практическое применение темы «Движение»);

- постановка и решение проблемы (развитие критического мышления, использование индуктивного умозаключения, совершенствование навыков работы в группе, формирование ценностных ориентаций, овладение приёмами контроля и самоконтроля усвоения изученного, владение различными формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, современных средств коммуникации);

- использование знаково-символической записи математического понятия.

Таким образом, в процессе обучения геометрии с использованием метода учебного проекта можно успешно формировать универсальные учебные действий, востребованные современной системой образования. Они направлены на достижение главной цели современной системы образования: научить учиться и достигать новых вершин знания для дальнейшего саморазвития. Список использованной литературы:

1. Асмолов А.Г., Бурменская Г.В., Володарская И.А. и др. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе: От действия к мысли: пособие для учителя // под ред. А.Г. Асмолова. -М.: Просвещение, 2008. - [с. 151]

2. Сергеев И.С. Как организовать проектную деятельность учащихся: Практическое пособие для работников общеобразовательных учреждений. -

М.: АРКТИ, 2010. - [с.80]

© Атаманова Б.Ж., 2016

УДК 538.915; 539.6; 541.2

Баранов Михаил Александрович

д-р. физ.-мат. наук, проф. АлтГТУ г. Барнаул, РФ E-mail: [email protected]

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯДОВ В ВИДЕ НЕКОНЦЕНТРИЧНЫХ РАЗМЫТЫХ СФЕР КАК ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРОННЫХ ОБОЛОЧЕК

Аннотация

Объяснение и предвидение многих свойств веществ возможно в рамках модели сферически симметричных оболочек атомов. В качестве одного из элементов оболочки рассматривается размытая сфера. Представлена последовательность действий, приводящая к точному аналитическому выражению для энергии кулоновского взаимодействия размытых заряженных сфер. Рассмотрены различные ситуации взаиморасположения сфер.

Ключевые слова

Электронная плотность, кулоновское взаимодействие, интеграл перекрытия, точная аналитика.

Введение

В нашем материальном мире едва ли найдётся хоть одно явление, в котором атомы не играют какой-либо роли. Практически все свойства материалов, лекарств, катализаторов, органических тканей и многих других соединений обусловлены взаимодействием атомов. Почти сразу после открытия в 1911 г. Э. Резерфордом ядра пришло понимание того, что взаимодействия атомов во многом определяются конфигурациями их электронных оболочек. Информация о них и знание законов, по которым реализуются упомянутые взаимодействия, явилось бы эффективным инструментом воздействия на все сферы

человеческой деятельности. Современные методы выявления конфигураций электронных оболочек основаны преимущественно на первопринципных расчётах [1]. Но физика - наука экспериментальная. Поэтому более предпочтительным было бы воссоздать электронные распределения, опираясь не только на периодический закон и уравнение Шрёдингера, но и на данные эксперимента. Невозможность прямого сканирования с требуемой точностью оболочек изолированных атомов вынуждает прибегать к «обычным» экспериментам, основанным на измерении свойств веществ являющихся, в свою очередь, результатами коллективных взаимодействий атомов. Обстоятельство того, что свойства веществ определяются взаимным перекрытием оболочек, а не процессом их формирования является принципиальным, поскольку позволяет избежать применения первых принципов для воссоздания аналитического образа оболочек. Таким образом, необходимо решить следующую задачу: предполагая конфигурации оболочек неизменными и, принимая во внимание почти полностью электростатическую природу химических связей, подобрать эти конфигурации так, чтобы при действии только кулоновских сил между ядрами и оболочками обеспечить совокупность наблюдаемых показателей свойств веществ. То есть, в отличие от известного метода [2], в качестве функционала электронной плотности было бы предпочтительнее минимизировать не полную энергию соединения, а обобщённую невязку между наблюдаемыми и рассчитанными показателями свойств веществ. В этой связи возникает необходимость, как моделирования этих свойств, так и варьирования электронной плотности. Гибкость в варьировании электронной плотности может быть достигнута, если произвольную оболочку представить в виде набора элементов, задаваемых гладкими функциями распределения и допускающих точное аналитическое выражение энергии их кулоновского взаимодействия при взаимном перекрытии. Тогда процесс варьирования будет заключаться, во-первых, в формировании наборов элементов каждой оболочки и, во-вторых, в варьировании значений их параметров. Ранее [3-4] в качестве элементов рассмотрены гауссово облако и размытая сфера. Там же получены точные аналитические выражения для энергии кулоновского взаимодействия облака с облаком и облака с размытой сферой. Поскольку химическая связь реализуется в основном посредством перекрытия периферийных, валентных электронов, то возникает необходимость получения точных аналитических выражений для энергии кулоновского взаимодействия элементов, соответствующих именно внешним оболочкам. К таковым, безусловно, следует отнести размытые сферы. Очевидно, что из них могут быть сформированы и произвольные сферически симметричные распределения. В рамках модели размытых сфер находится и объяснение проявлению таких известных видов связей как ионная, ковалентная, металлическая и др., поскольку они соответствуют качественно различным ситуациям в зависимости от количественных значений параметров, описывающих конфигурации оболочек взаимодействующих атомов - соотношения зарядов, радиусов и степеней размытости сфер. Конечно, сферические распределения электронной плотности в оболочках атомов приводят только к их центральным взаимодействиям. Между тем, далеко не все наблюдаемые свойства веществ могут быть объяснены ими. К числу таких свойств следует отнести, например, «рыхлые» формы кристаллов и молекул, нарушения соотношений Коши для кубических кристаллов. Однако, поскольку в любом распределении точечной группы всегда присутствует сферически-симметричная составляющая и с учётом вышесказанного необходимость в получении точных аналитических выражений энергии кулоновского взаимодействия взаимно перекрывающихся размытых сфер становится логически обоснованным и необходимым шагом.

Образующие поверхности

Произвольное пространственное распределение заряда можно представить путем введения понятия образующих поверхностей или линий. Каждый её дифференциально-малый элемент представляется в виде гауссова облака, чем и достигается размытие всей поверхности. Зная закон взаимодействия облаков и выполняя соответствующее интегрирование по образующим поверхностям, можно найти энергию взаимодействия размытых распределений в целом. В [4] в качестве образующей поверхности рассмотрена сфера. Плотность заряда, создаваемая сферой радиуса Ш, несущей на себе равномерно распределённый заряд ql и размытой в каждой своей точке по закону Гаусса с параметром а1 на расстоянии г от её центра определяется соотношением

1

Физический же интерес представляет взаимодействие двух размытых сфер. Вследствие формального распространения гауссова облака на бесконечность взаимное перекрытие размытых сфер будет иметь место при любом их взаиморасположении, которое, в свою очередь, определяется соотношением радиусов образующих их тонких сфер и расстоянием между их центрами. Поэтому в дальнейшем, во избежание разночтения, речь будет идти именно об образующих поверхностях.

Энергия кулоновского взаимодействия всей сферы 1 с дифференциально-малым облаком 2, характеризуемым зарядом и параметром распределения а2 равна

d2E

S1-C2

q1d2q2

2 arR1

[а|r + R lerf (a|r + RI - a|r - R lerf (a|r - RI +

+ -^exp(-a 2(r + R1)2) —^exp(-a 2(r - R1)2)] Vtc л/ТС

где

a =

a^^^ 2

Va1

a + a

(2)

(3)

Разделённые сферы

Расположим теперь две образующие сферы 1 и 2 радиусами Ш и Я2 так чтобы они не пересекались и находились одна вне другой. Сферу 2 также рассматриваем в качестве образующей поверхности и размываем её по закону Гаусса с параметром а2. Тогда величина дифференциально-малого заряда расположенного на сфере 2 вблизи точки, определяемой полярным углом 02 и азимутальным углом ф равна

d2q2 = —sin 4тс

(4)

Рисунок 1 - Одна сфера вне другой.

Энергия взаимодействия сфер 1 и 2 находится путём подстановки (4) в (2) и последующего интегрирования по поверхности сферы 2.

ES1-S2(R) = I ¿4^201) = I! - ^ ' (5)

по сфере 2

где

Т1 = qiq2 • i [r + Ri I- erf(a| r + Ri|) + -^exp(-a 2(r + Ri)2)] 4R1 0 aVTC

T2 = • J[|r - RiI- erf (a|r - Ri|) + -^(exp(-a2(r - Ri)2)]

4R1 0 avTC

sin 02 d02

sin 02 d02

(6) (7)

r

r

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №3/2016 ISSN 2410-700Х_

Значения интегралов I1 и I2 зависят, вообще говоря, от взаиморасположения сфер, то есть, от их радиусов R1, R2 и расстояния R между их центрами. При этом возможны следующие ситуации: 1) сферы не пресекаются, находясь одна вне другой (рисунок 1). В этом случае R > R + R2; 2) сферы пересекаются.

При этом R + R2 > R > R — R2| (рисунок 2); 3) сферы не пересекаются, находясь одна внутри другой

R < R — r2| (рисунок 3). Последним соотношением подразумевается возможность сближения ядер на

малые расстояния и (или) существования больших «орбит». Не умаляя общности, будем предполагать, что центр сферы 1 находится «слева» по отношению к центру сферы 2. Определим расстояния, измеренные вдоль оси - прямой проходящей через центры сфер

a = R + |R + R2|| = I |R + R| + R2| = R + R + R (8)

- между «левым» краем «левой» сферы и «правым» краем «правой» сферы;

b = R + |r — r2|| = | |r + r| — r2\ = |r + r — r2| (9)

- между «левым» краем «левой» сферы и «левым» краем «правой» сферы;

c = |r + |R — R|| = | |R + r2\ — R| = |R — R + R2| (10)

- между «правым» краем «левой» сферы и «правым» краем «правой» сферы;

d = | |R — R2| — R| = | |R — R| — r2\ = |R — R — r2\ (11)

- между «правым» краем «левой» сферы и «левым» краем «правой» сферы;

Из центра сферы 2 проведём вектор R в центр сферы 1, а вектор R2 в точку интегрирования. Тогда

R2 = R + r или r = R2 — R . Отсюда

г2 = (г, ?) = R2 + r2 — 2RR2 cos02 (12)

В результате дифференцирования (12) получаем

sin 02 d02 _ dr

r RR2

(13)

Для функции под знаком интеграла I1 в (6) естественна замена переменной x = а| г + Rj, (14)

а для подынтегральной функции I2 в (7)

y = а| r - Rj, (15)

Так как под знаком модуля в (14) находится положительно определённая величина, то x = a(r + RR )

. Отсюда dr = dx/ а . Подставляя это в (13), получим, что при любом взаиморасположении сфер sin 09 d09 dx

-2—2 =- (16)

r a RR2

Под знаком модуля в (15) может содержаться как положительная, так и отрицательная величина, что требует дополнительного анализа в каждой ситуации. Если сферы не пересекаются, находясь одна вне другой (рисунок 1), то во всём диапазоне углов 82 r>Rb Поэтому (15) эквивалентно соотношению y = a(r — R). Отсюда dy = a dr . Тогда из (13) следует

sm 02 d02 _ dy (17)

r a RR2 Определим теперь пределы интегрирования.

При 82=0 r = R — R2 x = a(R — R2 + Rj) = ab; y = a(R — R2 — Rj) = ad,

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №3/2016 ISSN 2410-700Х

а при 02=л г = R + R2 x = a(R + R2 + R) = aa; y = a(R + R2 - R) = ac.

Тогда в случае разделённых сфер выражения для Ii и I2 приобретают вид

qiq2 , 1 „2-

4a2RiR2R ab

aa 1

Ti = , 2MIM2--j[x-erf(x)^-rexp(-x2)]dx (18)

' ' " " " ah VTC

= 2^2, n • i[y- erf(y) + -^exp(-y2)]dy (19)

4 a2 RjR2R aJd Vn

Для сокращения в дальнейшем записей имеет смысл ввести функцию безразмерного аргумента f (x) = —М2--[x- erf (x) + exp(-x2)] (20)

4 а л/гё

Её неопределённый интеграл берётся аналитически и представляется в виде

Б(х) = [ ВДах = Я|Я2--[(х2 + -)• ег1(х) + -^ехр(—х2)] (21)

3 8 а2 л/гё

В справедливости (21) легко убедиться путём интегрирования (20) по частям или непосредственно

дифференцированием (21). Из свойства нечётности интеграла ошибок и представления (21) следует, что

х) = —Б(х). То есть, Б(х) - нечётная функция. С учётом введённых обозначений интегралы II и 12

принимают вид I = Б(аа) — Б(аЬ); 12 = Б(ао) — . В соответствии с (5) энергия

взаимодействия двух размытых сфер в положении, когда их образующие поверхности разделены равна

Е§1—82 = Б(аа) — Б(аЬ) — Р(ае) + Б(аё) (22)

Пересекающиеся сферы

Если имеет место пересечение сфер (рисунок 2), то область изменения угла 02 следует разделить на две подобласти I: 0 <62< 620 II: 620 <62<Л, где 020 - угол полураствора конуса, образованного лучами, проведёнными из центра сферы 2 в точки пересечения сфер.

а

Ч-W

Jr 20 хз4

- b h - с

Рисунок 2 - Пересечение сфер «извне»

В области I: Г < ^; у = а|Г — = а^ — г) . Отсюда ^62 =__.

г а ЯЯ2

При 02=0 г = R — R2; х = а(Д — R2 + R1) = аЬ; у = а^ — R + R2) = аё.

При 02= 020 г = R1; х = а(^ + = 2а^; у = а(R1 — R1) = 0. При интегрировании по области I:

2aR1

1| = 1ВДёх = F(2aR1) — Б(аЬ) (23)

аЬ

0

I2 = — J f(y)dy = —F(0) + F(ad) = F(ad)

ad

В области II: Г > ^; у = а|Г - Я11 = а(г - Я1) . Отсюда =

(24) dy

a RR.

При 02=л r = R + R2; x = a(R + R2 + R) = aa; y = a(R + R2 — R) = ac. При

интегрировании по области II:

аа

I1/ = | {(х)ёх = Б(аа) - Р(2аИ1)

2aR1 ac

I? = J f (y)dy = F(ac) — F(0) = F(ac)

(25)

(26)

Результат интегрирования по всей области 02 от 0 до п получается путём объединения (23) - (26)

Бв1-в2 = (II + II1) - (12 +121) = [Р(2аЯ1) - Б(аЪ) + Б(аа) - Б(2аЯ1)] -- [Б(аё) + Б(ас)] = Б(аа) - Б(аЪ) - Б(ас) - Б(аё)

Как видно, выражение (27) отличается от (22) знаком перед F(ad). Выражение, полностью совпадающее с (27), получается и в случае пересечения сфер «изнутри» - когда центр хотя бы одной из сфер находится внутри другой.

Взаимное поглощение сфер Рассмотрим теперь третью ситуацию, когда одна сфера полностью находится внутри другой. Пусть, для определённости, Я1<Я2, как это показано, на рисунке 3. Тогда во всём интервале изменения угла 02 гЖл,

что избавляет от необходимости выделять подобласти. Поэтому у = а|Г - = а(г - ) . Отсюда и из ёу

(13) sin 62d62

a RR,

При 02=0 r = R2 — R; x = a(R2 — R + R) = ad; y = a(R2 — R — R) = ab. При 02=n r = R + R2; x = a(R + R2 + R) = aa; y = a(R + R2 — R) = ac.

Тогда I1 = J f (x)dx = F(aa) — F(ad)

ad

I2 = J f(y)dy = F(ac) — F(ab)

ab

Подставляя это в (5), получим

Б81-82 = Б(аа) + Б(аЪ) - Б(ас) - Б(аё)

(28)

(29)

(30)

Рисунок 3 - Сфера 1 внутри сферы 2.

r

0

r

Рисунок 4 - Сфера 2 внутри сферы 1.

Если же, наоборот, первая сфера поглощает вторую (рисунок 4), то при любых 02 Далее без

комментариев. у = а| г — Я1 = а(Я1 — г);

02 д02 _ ду

г а ЯЯ2

При 02=0 г = Я2 — Я; х = а(Я2 — Я + Я1) = аё; у = а(Я1 — Я2 + Я) = аЬ.

При 02=п г = Я + Я2; х = а(Я + Я2 + Я1) = аа; у = а(Я1 — Я — Я2) = ас.

аа ас

11 = | Г (х)ёх = Б(аа) — Б(аё); 12 = — { Г (у)ёу = Б(аЬ) — Б(ас).

аЬ аЬ

Е81_82 = Б(аа) — Б(аЬ) + Б(ас) — Б(аё) (31)

Характерно, что выражения (30) и (31) различаются знаком при F(ab) или F(ac) в зависимости от того, радиус какой сферы больше.

Заключение

Представим теперь, что первоначально удалённые сферы (рисунок 1.) сближаются до их взаимного поглощения. В начальном положении все величины, стоящие под знаком модулей в (8) - (11) положительны. Далее, при каждом касании сфер на их оси одна из этих величин обращается в нуль, а затем меняет знак. Сначала это происходит с d при одновременном изменении знака перед F(ad) , а затем с Ь или с. Принимая во внимание нечётность функции F(x), имеет смысл смену знака перед F(ad), F(ab) или F(ac) заменить сменой знака аргумента. Это позволит избавиться от модулей в выражениях для а, Ь, ^ d и объединить выражения (22), (27), (30) и (31) в одно универсальное, совпадающее по виду с (22)

Е81_8 2 = Б(аа) — Б(аЬ) — Б(ас) + Б(аё) (32)

где формально под a, Ь, c и d теперь следует понимать не расстояния между краями сфер, а значения алгебраических выражений, стоящих под знаком модулей в (8) - (11):

а = Я + Я + Я; Ь = Я + Я — Я; с = Я — Я + Я; д = Я — Я — Я; (33)

Явный вид выражения для энергии взаимодействия двух размытых сфер получается после подстановки в (32) явного вида F(x) из (21)

Esi-s2 = Л'^ n[(« 2a2 + ') • erf (aa) - (a 2b2 +') • erf (ab) -о a RJ.R2R 2 2

9 9 1 9 9 1 (34)

- (a 2c2 + ') • erf(ac) + (a 2d2 + ') • erf (ad) + ( )

+ ^^exp(-a 2a2) - -^exp^a 2b2) - -^¿exp^a 2c2) + adexp(-a 2d2)]

Л/Л л/Л л/Л л/Л

Как и следовало ожидать, (34) симметрично относительно перестановки сфер. Опираясь на (34) легко показать, что при R^ да имеет место ожидаемый асимптотический переход ES1_S2 —> q^2 /R. Таким

образом, (34) занимает своё законное место в третьей клетке таблицы точных аналитических выражений двуцентровых интегралов.

Список использованной литературы:

1. Clementi E., Roetti C. Roothan-Hartree-Fock atomic wavefunctions // Atomic Data and Nucl. Data Tables. - 1974. - v. 14. - N 3-4. - p. 177-478.

2. В.Кон. Электронная структура вещества - волновые функции и функционалы плотности. // Успехи физических наук. - 2002. - т. 172. - № 3. - с. 336-348.

3. Баранов М.А. Взаимодействие распределённых по Гауссу облаков заряда как элементов электронных оболочек. // Международный научный журнал «Символ науки». - 2015. - часть 1. - № 9. - с. 9-15.

4. Баранов М.А. Взаимодействие зарядов в виде размытой сферы и гауссова облака как элементов электронных оболочек. // Международный научный журнал «Символ науки». - 2016. - часть 1. - № 1. - с. 28-33.

© Баранов М.А., 2016

УДК 517.54

Голубев Александр Анатольевич

к.ф.-м.н., доцент ТвГУ, г. Тверь, РФ E-mail: [email protected]

КВАДРАТИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК

ГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Аннотация

В статье рассматривается проблема классификации особых точек гармонических отображений, дается краткий обзор, полученных ранее результатов, как автором статьи, так и другими авторами. Приводится пример гармонического отображения, который с одной стороны подтверждает известные результаты, с другой стороны показывает, что для гармонических отображений, не являющихся устойчивыми, есть открытые вопросы, связанные с классификацией особенностей.

Ключевые слова

Гармоническое отображение, нулевая линия якобиана, общая складка отображения, ортогональная траектория, Cш - устойчивое отображение, особая точка гармонического отображения,

точка складки, точка сборки.

Задача классификации особых точек гармонических отображений рассматривалась в работах [13, с. 201 - 208; 17, с. 135 - 153; 19, с. 1329 - 1344]. В [2, с. 43; 3, с. 45 - 48; 4, с. 22 - 35; 5, с. 47 - 52; 9, с. 48 - 60] предлагается подход к исследованию особенностей гармонических отображений, основанный на свойствах