CC BY
70
пени сцепления основы с порошковым покрытием, которое учитывается в решении задач о напряженном состоянии цилиндра.
Тема 4
В этой завершающей теме с учетом рассчитанных температурных полей и напряженного состояния приводится расчет кинетики спекания порошковых слоев под действием температур (температурная активация), под действием градиентов температур и центробежных сил (силовая активация). Дается понятие о кинетике спекания, и показывается, как температурная и силовая активации способствуют оптимальному процессу спекания порошковых систем.
Такие пути повышения познавательной активности студентов сложились как система на кафедре теоретической физики в процессе чтения дисциплин специализации и спецкурсов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Информационный учебно-методический журнал «Таганрог: мир образования», 1999.
2. Абрамович Т.М., Жорник В.И., Донских С.А., Мартыненко В.В. и др. Теоретические основы газопорошковой наплавки / Математика в индустрии: Тр. междунар. конф. Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 1998.
3. Л. Ван Флек. Теоретическое и прикладное материаловедение. М.: Мир, 1964.
4. Дорожкин Н.Н., Кашицын Л.П., Абрамович Т.М., Кирпиченко И.А. Центробежное припекание покрытий при переменных силовых воздействиях. Мн.: Наука и техника, 1993.
В.И. Переверзев
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЛЕКУЛ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЯМИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
1. Учет молекулярной структуры поверхностей элементов стенок сосуда.
Поверхность препятствия или стенок сосуда, в котором заключен идеальный газ, рассматриваемый как механическая система свободных материальных точек, представляет собой совокупность сильно взаимодействующих и находящихся в непрерывном движении молекул. Теория и опыты по одностороннему растяжению ионных кристаллов [1, 29] свидетельствуют о том, что сила, прилагаемая к их частицам в момент разрыва (сила притяжения между частицами кристалла), имеет порядок 10-12 - 10-10 Н. При этом смещение частиц не превышает 0,3 г0, где г0 - равновесное расстояние между ионами. Сила, необходимая для того же смещения частиц при сжатии (сила отталкивания между ионами), на несколько порядков больше. Из-за сильного взаимодействия между собой каждую молекулу поверхности препятствия или стенок сосуда, в котором находится газ, можно рассматривать как идеальную частицу с весьма большой массой, скорость которой не превышает скорости звука в материале стенок сосуда (в металлах и сплавах, из которых, как правило, изготавливаются сосуды, скорость звука порядка 6*103 м/с). В силу этого состояние движения молекул поверхностей препятствий и стенок при столкновении с ними частиц газа практически не меняется. Состояние движения той из них, с которой непосредственно сталкивается I -я
молекула газа, и состояние движения самого элемента АЯ ■ стенок сосуда или препятствия определяют характер и время её соударения. Это проявляется, прежде всего, в различии нормальных составляющих импульса последней до и после столкновения.
Пусть в некоторой системе отсчета К в момент времени ?, непосредственно предшествующий началу столкновения, / -я молекула газа движется со скоростью V , а элемент АЛ', препятствия или стенок сосуда со скоростью . Свяжем с молекулой поверхности АЛ',, с которой сталкивается 1 -я молекула газа, систему отсчета К-,, а с самим элементом АЛ' , систему отсчета Кг. В системе отсчета К] система отсчета К1 движется со скоростью . Тогда в системе от-
счета К система отсчета К2 в этот момент времени движется со скоростью ое = и^ +иСщ , а / -я молекула газа со скоростью 1)1 = йс + йот . Отсюда находим, что в системе отсчета К2 /' -я молекула газа движется со скоростью
"от =Ц "Ц,
В момент времени / непосредственно перед соударением относительная скорость иот,
рассматриваемых молекул - материальных точек, направлена вдоль прямой, проходящей через точки пространства, в которых они находятся. В сам момент удара они оказываются в одной и той же точке пространства, находящейся на этой прямой. Результат их столкновения такой, как если
бы молекула - материальная точка газа, обладающая относительной скоростью движения оот, налетела на неподвижную материальную точку (молекулу поверхности элемента Д?;.), весьма
большой массы. Поэтому после соударения таких материальных точек относительная скорость меняет свое направление на противоположное. Нечто подобное имеет место при центральном соударении шара с другим шаром, движущимся по пересекающейся прямой, масса которого весьма
велика. Если полагать, что время Г ,( соударения / -й молекулы газа с молекулой поверхности
элемента Д?;. равно нулю, то после соударения в этой же системе отсчета К2 её скорость -^^ -* -» ^ -» -» ^ — -» — -» -»
°от = - V - Ч а в неподвижной системе отсчета К 1)1 = Ое + Оот = 2//;;/; + 2ист] -1)1.
В момент соударения скорость молекулы поверхности элемента АЛ', по модулю может иметь любое значение в интервале от нуля до скорости звука в нем. Если, к тому же, элемент АЯ ■ неподвижен, то после соударения с ним скорость / -й молекулы газа и' = 2и — ц . В действительности время Г;г соударения имеет конечное значение. Так как в течение времени Г,( соударения молекула поверхности элемента АЯ ■ препятствия или стенок движется ускоренно, то имеет смысл учитывать не истинную её скорость на момент начала или конца столкновения, а среднюю:
¡+Т ц
1
= — \и с/1. При таком рассмотрении явления соударения ' -й молекулы газа с поверхно-— J
u
t
стью элемента AS ■ в неподвижной системе отсчёта К её скорость после соударе-нияи; = 2ймЛ + 2йсщ -о,.
2. Передача импульса от элементов стенок сосуда газу. Пусть газ находится в замкнутом сосуде. Во всякий момент времени t поверхности его стенок совпадают с некоторой замкнутой воображаемой поверхностью. Каждому акту столкновения i -й молекулы газа с поверхностью стенок сосуда можно сопоставить одновременное прохождение через замкнутую воображаемую поверхность ,с которой они совпадают, двух тождественных частиц: реальной - отражённой с импульсом Ht и'. и фиктивной - падающей с импульсом mivi. Суммарный импульс всех частиц, пересекающих в момент времени t эту воображаемую поверхность
К = + v\ = 2 У^ mi Ç + Ucmj , где со - общее число актов столкновений; vi - чис-
i=1 ]=\ i=1
ло актов столкновений с поверхностью Д^ ■ стенок сосуда; п - число элементов АЛ', стенок сосуда, и .1 - скорость молекулы поверхности элемента ЛЛ',, с которой сталкивается 7 -я молекул газа; ист. - скорость движения элемента ЛЛ' ,. Очевидно, что при отсутствии перемещения эле-
ментов АЛ' , стенок сосуда суммарный импульс Л" = ^ ПЬН п может быть отличен от нуля,
если имеет место изменение состояния движения молекул поверхности хотя бы одного из них. При наличии перемещения хотя бы одного из элементов Д?;. стенок сосуда суммарный импульс
К может быть как равным, так и отличным от нуля - независимо от того - имеет место изменение состояния движения молекул их поверхности или нет. Если при отсутствии изменения состояния движения молекул поверхности всех п элементов АЛ' , стенок и их перемещения суммарный
импульс К равен нулю, то газ находится, либо в течение некоторого времени приходит в стационарное состояние (начальное состояние газа при обращении суммарного импульса К в нуль нестационарное). К тому же стационарное состояние газа оказывается равновесным, если состояние движения молекул поверхности всех элементов АЛ' , одинаковое и одинаковое по всей поверхности каждого их них. Во всех остальных случаях и при равенстве, и при отличии от нуля суммарного импульса К состояние идеального газа нестационарное.
Допустим, что сосуд, в котором находится идеальный газ, представляет собой круговой цилиндр с двумя основаниями-поршнями, нормали к поверхностям которых параллельны оси цилиндра, могущими одновременно сближаться или раздвигаться по одинаковому закону, и состояние движения молекул поверхности и цилиндра, и поршней одинаковое и сохраняется неизменным во времени. Кроме того, в начальном состоянии поршни неподвижны и состояние газа равновесное. Как только поршни начинают перемещаться со скоростью и ., суммарный импульс через воображаемую поверхность, с которой совпадает поверхность каждого из них, становится равным
К} =
¿=1
и направленным в сторону его движения. Нарушение равенства нулю суммарного импульса К
влечёт за собой нарушение равенства нулю суммарного импульса через воображаемые поверхности, параллельные поверхностям поршней и находящиеся всё ближе и ближе к центру цилиндра. Так как эта последовательность нарушений обусловлена в первую очередь частицами с самыми большими значениями проекций импульсов на ось цилиндра и, в силу этого, проходящими в направлении движения поршней наибольшие расстояния и вызывающими при столкновениях наибольшие изменения импульсов молекул, то постепенно вдоль оси цилиндра устанавливается переменное во времени и пространстве распределение частиц газа по импульсам, по концентрациям и по массам. Концентрация частиц и частиц с большими импульсами и массами становится выше ближе к поршням, если они сближаются; ближе к центру цилиндра, если они раздвигаются. В результате движение молекул газа происходит преимущественно в направлении суммарного импульса К ■, т.е. в направлении перемещения каждого поршня. Перемещение поршней влечёт за собой изменение площади поверхности стенок сосуда (площади поверхности цилиндра) и, следовательно, числа актов соударения частиц газа с каждым из трёх элементов Д^. стенок сосуда.
Поэтому суммарный импульс К через элемент замкнутой воображаемой поверхности, с которым совпадает поверхность элемента ЬБ. кругового цилиндра, также становится отличным от
нуля. Это влечёт за собой установление в газе переменного во времени и пространстве распределения частиц по импульсам, по концентрациям и по массам и в радиальном, и в осевом направлении. Концентрация частиц и частиц с большими импульсами и массами становится выше вблизи поверхности стенок сосуда, если поршни сближаются; ближе к оси и центру сосуда, если поршни раздвигаются. В каждый момент времени t суммарный импульс частиц идеального газа изменяет-
ся на величину, равную К .. Это означает, что значения импульсов молекул газа изменяются: при
сближении поршней они увеличиваются, а при раздвигании уменьшаются. Поскольку из-за перемещения поршней в противоположных направлениях и симметричного относительно оси положения элементов АЛ' , поверхности цилиндра в любой момент времени / суммарный импульс К
частиц через замкнутую воображаемую поверхность, с которой совпадают поверхности стенок сосуда, равен нулю, то значения импульсов молекул газа изменяются так, что вектор количества движения системы материальных точек сохраняется равным нулю. После прекращения перемещения поршней в газе происходит изменение распределения частиц по импульсам, по концентрациям и по массам, обусловленное столкновениями его молекул между собой и со стенками сосуда, до момента установления либо стационарного (если состояние движения молекул поверхности стенок сосуда в разных местах её окажется разным, но неизменным), либо нового равновесного состояния (если оно окажется одинаковым и неизменным). В течение времени установления стационарного или нового равновесного состояния суммарный импульс К продолжает отличаться от нуля, а вместе с ним и изменение суммарного импульса частиц газа вблизи поверхности элемента Л^.. Следовательно, продолжают изменяться и значения импульсов молекул газа.
3. Сила действия элементов стенок сосуда на газ. В результате столкновения с молекулой поверхности элемента А8. стенок сосуда / -я молекула газа испытывает изменение импульса
АК р = mi = 2mi (и ]г + и сщ Ц ) . Это изменение импульса обусловлено действием на неё средней ударной силы (реакции) поверхности элемента А. стенок сосуда Рш =-(и рЛ-и сщ _ ц) , где т п- время соударения. Из-за переменного во времени вол-
т..
р
нообразного характера поверхности А., обусловленного коллективным движением его молекул,
ударная реакция, действующая на / -ю молекулу газа в течение времени г;г соударения, в общем
случае, направлена не по нормали к его усреднённой во времени геометрической поверхности, непосредственно нами наблюдаемой. Следовательно, её можно рассматривать как сумму нормальной и касательной составляющих к этой поверхности.
Продолжительность Г ,( соударения сравнима с периодом колебаний молекул поверхности элемента Д^. (нормальных колебаний решётки, который, согласно теории Дебая [2, 70], может иметь значение от 10-2 до 10-13 с). Если это так, то при столкновении с молекулой поверхности неподвижного элемента А., изготовленного из металла, максимально возможное значение средней
ударной силы имеет порядок 10-10 Н. Как видим, сила сравнима с силой притяжения
между частицами ионных кристаллов в момент разрыва и на несколько порядков меньше сил отталкивания между ними, что является подтверждением правомерности предположения о неизменности состояния движения молекул поверхности стенок сосуда при столкновении с ними частиц газа.
Результирующая ударная сила, действующая на все vi молекул газа, сталкивающихся
с элементом А^ стенок сосуда в момент времени ?, Р. = ^-'-(ир + иСщ ~ ц) . Первое сла-
¿=1 тр
гаемое здесь определяет собой вклад, обусловленный состоянием движения молекул поверхности элемента Д^ ■. Оно равно нулю в случае, когда состояние их движения одинаково по всей поверхности элемента и сохраняется неизменным (оно отлично от нуля, если эти условия не
соблюдаются). Второе слагаемое обусловлено движением самого элемента АЛ', со скоростью исщ-, а третье - состоянием движения частиц газа. В общем случае число К столкновений молекул газа с поверхностью элемента АЛ' , зависит от скоростей движения Ист., и .1 и V. . Практическое значение имеет зависимость 1/ , прежде всего, от скорости Ист. : число К столкновений возрастает, если нормальные составляющие скоростей й -п и 1)!п противонаправлены, и уменьшается, если сонаправлены (при неизменном состоянии движения молекул поверхности элемента АЯ ■). Наличие скорости Ист. во втором слагаемом делает технически возможным задание закона
зависимости от времени ^ силы ¥ ■. В частности, путём изменения скорости и . можно добиться
обращение силы ¥■ в нуль. Действительно, результирующая ударная сила ¥ ■ обращается в нуль, если
^-ч 2 т1 — -
X,—
1=1 г/;
и . ----•
сщ А 2т.
2-—
¡=1
Если воспользоваться правилом нахождения среднего значения независимых случайных величин, то и . = V — и, где и и и - средние скорости движения соответственно частицы газа и
молекулы поверхности элемента АЛ' ,. Как видим, результирующая ударная сила /'', обращается в нуль с момента, когда скорость ист. движения элемента АЛ' , по модулю становится равной или
больше средней скорости и движения молекул газа, находящихся у его поверхности, и нормальные составляющие исщ„ и 1)!П сонаправлены, то есть когда молекулы газа перестают соударяться с поверхностью элемента ДУ ■ (число столкновений обращается в нуль). Во всех остальных случаях движение элемента АЛ' , результирующая ударная сила /'', отлична от нуля. Осуществить
управление силой Р ■ путём изменения состояния движения молекул поверхности элемента АЛ' , (через посредство первого слагаемого) технически возможно, но весьма трудно; проще добиться неизменности их состояния движения. Осуществляется также управление силой ¥ ■ путём изменения скоростей движения молекул газа (как правило, скачкообразно).
В общем случае направление силы ¥ не совпадает с направлением нормали к усреднённой во времени геометрической поверхности элемента №. (непосредственно наблюдаемой) и может
быть представлена так: /'', = 1<'.п + 1<'.Т, где 1''.п - нормальная, 1''.т - касательная составляющая к этой поверхности. Наличие касательной составляющей Р}-т силы приводит к переносу молекул, соударяющихся с поверхностью элемента Д?; в момент времени I, в направлении её действия.
В силу огромного числа столкновений, имеющих место в любой момент времени t, результирующая ударная сила, действующая на идеальный газ, как систему материальных точек, направлена по нормали к геометрической поверхности элемента АЯ ■, если он неподвижен и состояние движения всех молекул его поверхности одинаково и неизменно во времени. Состояние газ (не-
стационарное, стационарное или равновесное) не меняется до тех пор, пока результирующая ударная сила ^ сохраняет своё значение и направление (например, нестационарное состояние
газа в круговом цилиндре между двумя поршнями, одновременно перемещающихся в одном направлении с одинаковой скоростью, или в машине Гирна). Определяющую роль в описании силового воздействия на идеальный газ играет нормальная составляющая результирующей ударной силы (вернее сказать, значение нормальной составляющей импульса каждой молекулы газа до и после столкновения её с элементом АЯ ■ стенок сосуда).
Таким образом, представление идеального газа в виде механической системы свободных материальных точек, находящихся в области пространства, ограниченной непроницаемыми стенками, молекулы поверхности которых и сами стенки обладают определённым состоянием движения, позволяет всесторонне описывать процесс изменения состояния идеального газа, вызываемый либо изменением состояния движения молекул поверхности всех элементов АЯ ■ стенок, либо
движением самих элементов АЯ ■, либо изменением состояния движения молекул газа (в общем случае, одновременным изменением скоростей исщ-, и и ).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лихтман В.И. Лекции по физике твердого тела. М.: Просвещение, 1965. 208 с.
2. Бушманов Б.Н., Хромов Ю.А. Физика твердого тела. М.: Высшая школа, 1971. 224 с.
В.И. Переверзев
ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЙ ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕРГИИ И ЭНТРОПИИ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
Метод Р. Клаузиуса позволил нам вывести [1] выражения внутренней энергии и и энтропии 8 вещества. При этом было установлено, что И и 8 являются функциями его объема V и температуры Т.Взамен методу Р. Клаузиуса мы предлагаем вывод выражений внутренней энергии и энтропии путем интегрирования нелинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, к которому приводится уравнение состояния вещества. Наиболее просто его выполнить на основе уравнения состояния чистого, однородного вещества, которое можно представить в виде
Массье [2] первым предложил рассматривать энтропию в качестве независимой переменной и объединенный закон термодинамики записал в виде: с1и = Тй8 — Рс/У. Такая форма закона показывает, что в качестве независимых переменных, определяющих состояния тел, надо выбирать энтропию и объем. Разрешая уравнение состояния относительно давления, находим, что Р = Р^\Т . Поэтому объединенный закон термодинамики необходимо записывать так:
<111 = Тё8-Р^,Т~с}¥.
Отсюда следует, что ( ^ ) = у:. (^) = -/><" '/ • Поскольку производная №/ есть
[ду), -
функция $ и V, то температуру в двух последних равенствах необходимо рассматривать в качестве параметра, зависящего от этих же переменных. Если во второе равенство вместо температуры Т подставить производную ^ ^, то получится нелинейное дифференциальное уравнение
в частных производных с двумя независимыми переменными $ и V : 138
