CC BY
8
УДК 517 988.67
Б.в логинов, С А. К.ЧРПОВА
ВЫСОКИЕ ВЫРОЖДЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О ПОТЕНЦИА 1ЬНЫХ
ТЕЧЕНИЯХ ФЛОТШЧТОЩЕЙ ЖИ ЦСОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕННОМ СЛОЕ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
Метопами группового анализа диффер« нциальных уравнений ГРЖ МАТ 1978 11Б883К) в теории ветвления с групповой симметрией (РЖ Мат 1985 11Б1249К, 1987 11Б1193) получена асимптотика семейств разветвляющихся ранений задачи о капиллярно-грави.ационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости для случаев высоких вырождений линеаризованного оператора.
Постановка задачи о капиллярно-гравитационных во,шах в плоском случае восходит к известным работам Л.И.Некрасова [1,2], Т.Ье\а-Ст1а [3] и ГСкгшк [4]. Ппос.ране венная задача о кати„1ярно-гравитационных волнах рассматривалась в [5,6], применяюсь групповое расслоение [5] и методы группового анализа [7-9] в теории ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой симметрии. В [10] методами плюральных \равнении исследована плоская задача для флотирующей жи^косги. В [II] детально ис-слсдойино четырехмерное вырождение линеаризованного оператора в задаче о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости непосредственно по описывающей явление системе дифференциальных уравнении. Здесь исследованы случаи более высокого вырождения
тенциальные течения флотирующей тяжелой кагоныярной жидкости в пространственном слое со свободной верхней границей f(x,y), близкой к горизонта.тьнои плоскости z = Ö. ответвляющиеся от основного движения с постоянной скоростью V в направлении оси Ох. Потетгдиал скорости имеет вид ц){хн у,i) = Ух + Ф(х,y,z). Опчсываюшая ответвляющиеся течения система дифференттиапьных уравнений в безразмерных переменных
Ьонда, И - толщина слоя, сг - коэффициент поверхностного натяжения р - плотное гь несущей жидкости рс -поверхностная плотность флотируемого вещества, g - ускорение свободного падения) записывается в виде
величина, обрагная числу Фоуда, у =-г
figh
число
ДФ = 0, -\<z < f(x,y)\
дФ
-= 0 (условие нспот екания на дне z = -1);
д z
д<Ь д f дФд f дФд f
---— = (V/,V^<D)= — — + — — при z = f(x,jl);
д z дх сх дх дуду
+ ' |VO|2 + + (-V/V +^ )(^ + I|VO|2)j
^х 2 VHV/! д* 2
- yF2 Ь - (-= ==)+-" - (-¡==W-)] = прч *" /(*,у)
2 У
0х V1у№гЩ
(интеграл Бернулли для флитирующей жидкости [10]). Система инвариантна относительно двумерной группы сдвигов
и отоажени
е ■ г_— г СГ)( у \> у \ —ь —ф/ — г 1 {(* * Л —* /V—г г/У
Р ■ - - 1 > Ч > V -мл»/» / ' V ••*.'/»
Выполняя замену переменных
7
и полагая Р = ^ + £,
где - критическое значение числа Фруда,
получаем эквивалентную систему [11]
д и д и д /■
Аи=^\иЛ-\<с<0; - (х,у.-1)~0; — = при д = 0;
д д с д д х
3 Ы 2
'Л*: = при?=о, (1)
6 л и Хи ц
малыене.лшейносги, }=0,1,2.
Действительно, пусть Р = Ьт . Это равенство определяет значение
_ т| 5,(с/и, + Лз,)-т,'525Л52+ ^ >0 ^
ГП 5/15-, (с/15[ + ^Лл, )-/П^5, Л'/и! (С/и, + *5?5/152 )
и является условием существования восьмимерного по, .пространства . Полагая 5, = 52 = я, получаем у = - К, < 0.
СЛГДСТВИЕ. Не существует шестимерного подпространства нудей с правильной гексагонатьной симметрией
Сущес1в0ванис двух вырожденных решеток периодичности означает, что правая часть равенства (4) положительна лри Ь- 0. Следовательно, для достаточно малых Ь находим, что возможно существование двух невырожденных решеток периодичное га : у, определяемое формулой (4), остается положительным. Тем самым оооснована возможность существования шестимерного (одна вырожденная и одна поямоу1 ольная решетки - неправильная гексагональная симметрия) и восьмчмррного (две прямоугольные регаеткч) вырождений линеаризованного оператора.
В случае неправильной гексагональной симметрии асимптотика разветв-
_____________~__»Л___I. л -—-------- Г<1 /"1 -. ,—,------ -
л м т рсшьппЗ и[ 1 ■ \1 н|)пп1 цепа о . ч.-Оч1ЬСИ',в*Ш1цис вы чисЛси*)*
коэффициентов УР при и асимптотика того же вида здесь не приводятся ввиду громоздкости.
ТЕОРЕМА 2. Существует решение с симметрией двойного прямоугольника и, в частности, двойного квадрата.
Действительно, пусть 52 = . Исключая из двух дисперсионные соотношений Р{ , получаем
1 + Г/1 5, + 1 +
откуда при 51 > 0
г/15, =
2(1 + ^-)
Для существовагая таких решений до окно выполняться неравенство
л , л Зк + ^9к2 + 8;-
0 < !щ < 1, из которого сле дует 0 < 5, <-1- .
4 у
Используя методы группового анализа [7-9] и симметрии и группы квадрата. переходя к вещественному базису, выпишем УР с симметрией двойного квадрата. Пусть (т,,) = (т.т), {пи,п2) = (2т,2т),
¡1(т])е)=Лт}1£+\в(7^ + /д^2 + ^ + -2^714)+ + ^ + ^ -
4 4
- т^тЦ +2ъъг14)+ + + ^ + + "
4
-2/74^6^) + 7 Ц^з + ^6 + + =
4
12(Т),£) = 11и7],€) = О, 13(Т1,£) = 11(Р71,£) = 0, ¡А{Т],£)=~ф~ оРт1,£) = Ц,
15(Т],£)=РТ]5£+\С(Т]35 + Т^2 + Т/5^ + 3//57782 - +
4
+1 Я(Т753 + 775^62 + 775/7? ~ + 2Т76777^) + - + Т^Т?2 + 775^ + +
4 4
+ 277,77477Х - 2^77,%) + ^¿(7757712 + + 77577? + щт)\ - 2т^т]^ + 277,773%) = О,
*б(Ч>*)яШп.*) = Ь Ь(т],£) = 15(Рт],£) = 0, /8(77,£) = Г5(/ОР/7,£) = 0, где 7:77, т?2з т?3 <-> т/4; Ь Р щ т]2 т]4,
щ <->77?, т]с <-> 7]ь - элементы симметрии грутпы квадрата Д,. Групповая симмегрия УР позиоляег провести его ре хукцию (понижение порядка; [5] по числу переменных, полагая т]2 =0, щ = 0. Исследование редуцированной системы разветвления дает асимптотику семейств разветвляющихся решений.
2.3. В [6] при к=0 доказана возможность существование решений с тремя решетами периодичноеги. Используя непрерывность дисперсионного соог-ношения по параметру к и теорему о неявной функции, можно установить утч возможность при к* 0, т.е. для флотирующей жидкости ТЕОРЕМА 3. Существует решение с симметрией 3-кратного прямоугольника и, в частности, 3 кратного квадрата.
Действите.шно пусть 52 = /ю,, £3 = , р и - целые числа. Исключая Т^2
из первого и второго дисперсионных соотношении (2), а затем из первого и фегьего. определим к
_ (1 + р2у5{ )гьр5^ - р( 1 + _ (1 + д2^ - д(1 + уэ\
А, ~~~ " _ у
(р -1)5, (Ирз^(д - 1)5-, 1\Щ8Х^
откуда
(,р2 - = + + (5) (¿72 - (1 + д V,2)0щз1 -+ )/Лу,
/ 2 _ > \
Отметим, что при 5, —> 0 пределы левой и правой частей (5) равны ^-г——
(<7 -1>7
Надо показать, что для некоторых целых р и ^ при фиксированном у найдется интервал изменения 5,, в котором числитель и знаменатель левой части (5) положительны, и в тгом интервале найти корень 5* > 0 равенства (5). Установлено, что для р = 2, q = 3 такой окрестности нуля не существует, т. е. нет симметрии тройного прямоугольника, а при р = 2, д = 4 определена малая окрестность нуля, содержащая корень , и дана оценка снизу соответствующих значений у. При этом выполняется неравенство
л. ^----————, необходимое для эллиптичности интеграла Бернулли.
та у
к <----
+ ^ V)
Более широкие возможности доказательства предоставляет предположение
^ = р50, 52 = и 53 - Г50, р, <7, г - целые числа.
Рассмотрим вопрос о существовании двух кратных ячеек с неправильной гексагональной симметрией (четыре решетки периодичности, из которых две - вырожденные). Оно возможно в случае
= р2{т{а2 + п2Ь2), = рща, 52 = </2(т,2а2 + п2Ь2), = дпъа,
»
где р,£7 - целые числа. Определяя уи по формуле (4), из равенства У\,-\ - У7,л найдем к = к(а,Ь,тх,/?,<?). Подставим найденное значение к в выражение для у12, полученное согласно (4). При достаточно широкой сетке значений параметров а и Ъ и целых р,т1,п1,т2,д удается найти интервалы а и Ь, при которых к положительно, но при этом у1к оказывается отрицательным. Поэтому имеются основания считать, что кратные ячейки с неправильной гексагональной симметрией отсутствуют. Исследования поддержаны грантовым центром НГУ (грант N 23-98).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Некрасов А.И. О волнах установившегося вида //Известия Ивановского политехнического института. 1922. № 6. С. 155-171.
2. Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1951. 96 с.
3. Lwi-Givila T. Determination hgoureuse des ondes permanentes d ampleur finie //Math. Annallen. 1925. № 93. S. 264-324.
4 Struik D.J. Determination rigoureuse des ondes irrotauonelles périodiques //Math Annallen. 1926. № 9. S. 595-634.
5. Логинов Б.В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент: Фан. 1985. 184 с.
6 Loginov В.V., Kuznetsov А.О. Cauiliary-gravity waves over the flat surface //European Journal of Mechanics /В Fluids. 1996. № 2(15). P 259-280.
7. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференииальных уравнений M : Наука, 1978. 400 с. (Engl.transi. Academic Press, NY'. 1982;. "
8. Логинов Б.В., Рахматова Х.Р., Юлдашев H.H. О построении УР по его группе симметрии (коисталло1рашические группы) // Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. Ташкент: Фан. 1987. С.183-195,
9. Loginov B.V Group analysis methods for construction and 'nvestigat'on of the bifurcation equation //Applications of Mathematics. 1992. № 4(37). P. 241-248.
10. Габов C A. О существовании установившихся волн конечной амплитуды на повеохносги флотирующей жидкости //ЖВМ и МФ. 1988. №10(28). С. 1507-1519.
11. Логинов Б.В., Карпова С.А. Вычисление периодических решений задачи о капилляпно-гпавитапионнктх кольях к ппоеггпангтиенцом слое
л * * •
флотирующей жидкости //Весгник Самарского ун-та. 1997. № 4(6). С.69-80.
12. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 19ь9. 524 с.
13. Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях //Совр. пробл. мит-ки. Фу идам, направления. M ВИНИТИ, Í99U. ]№ 63. С. 5-129
Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наик, профессор кафедры «Высшая математики» Ульяновского госуоарственного технического университета, окончил механико-математический факультет Ташкентского
г осу дар ст осин ого университета. Имеет монографии и статьи е области нелинейного функционального шяпиэа и его приложений.
Карпова Светлана Александоовиа. ассистент кафеоры «Алгебра и геометрия» Ульяновского государственного педагогичеекго университета, окончша физико-математический факультет Ульяновского педагогического инстшмта. Имеет статьи в области при/шжений нелинейного анализа.
