Асимптотика разветвляющихся решений задачи о флотирующей границе раздела двух жидкостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2010. Т. 3, № 1. С. 2-18

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 517.988.67

Асимптотика и устойчивость разветвляющихся решений задачи о флотирующей границе раздела двух жидкостей *

А. Н. Андронов

Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева

Аннотация. Методами теории ветвления в условиях групповой инвариантности вычислена асимптотика разветвляющихся решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах на флотирующей границе раздела двух жидкостей в случае высоких вырождений линеаризованного оператора. Получены критерии их редуцированной устойчивости.

Ключевые слова: капиллярно-гравитационные волны; теория ветвления; групповая симметрия; редуцированная устойчивость.

В продолжение наших исследований [1, 2, 3] по капиллярно-гравитационным волнам в слоях жидкости со свободной границей рассматривается задача о флотирующей границе раздела двух жидкостей. Опреде-

2п 2п ,

ляются периодические с периодами — = а\ и — = Ь\ потенциальные

а Ь

течения двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей с плотностями р1 и р2 в пространственном слое со свободной флотирующей границей раздела, ответвляющиеся от основных течений с постоянными скоростями VI и У2 в направлении оси Ох в случае, когда нижняя жидкость занимает полупространство. Потенциалы скоростей имеют вид Фз-(х, у, г) = —Vх + (pj(х, у, г). В безразмерных переменных задача описывается системой дифференциальных уравнений ДФ1 = 0, —то < г < /(х, у),

* Полученные результаты поддержаны проектом № 2.1.1/6194 программы «Развитие научного потенциала высшей школы» Министерства образования и науки РФ

1. Постановка задачи

ДФ2 = 0, f (x, y) < z < 1,

д Ф2 dz д Ф,

dz д Фі

дх

+

= 0, z = 1,

д/ = дФ, /

дх дх дх

+

Vi + iv/!2

дФ, д/ ду ду ’ ко і 2

z = /(х,у), j = 1, 2;

їх2 + 2 !^Фі !2 - ^! ^Ф2 | 2 + (1 - ко)F2/+

2

F2 + i-V/ Vxy + |) + 1 I V<h2 1

= yF 2

А

дх

/х

д_

'1 + /х2 + /21 + ^

/у

1 + /х2 + /2

,z = / (х,у)

(1.1)

с убыванием функций Фз- и их первых производных на бесконечности. Здесь /(х, у) — граница раздела жидкостей, близкая к г = 0,

, Р2 „ а ~ У22

Ко = ----- — отношение плотностей жидкостей, К = —, К0 = 772ко,

Р1 Р1 V2

^2 = ^2 — величина, обратная квадрату числа Фруда, 7 =

V2

число Бонда.

Система (1.1) допускает двупараметрическую группу сдвигов

Pih2g

¿£0(х,У) = ^(х + ві,У + в2)

и отражения

Sx : х ^-х, Ф,(х, у, z) ^ -Ф,( х, у, z), /(х,у) ^ /(-х,у),

Sy: У ^ ^ Ф (x,У,z) ^ Ф,(x, -У,z), /(х,У) ^ /(x, -У)

к

2. Построение систем разветвления

При замене переменных

Z = 1 __ /(x,y,Z) = ф(х,У,С(1 - /(x,y)) + /(x,y)),F2 = F,L +

распрямляющей свободную границу раздела, возникает нелинейно возмущенная система двух уравнений Лапласа, принимающая при переходе величины F2 через критическое значение F^ вид

Auj = — 2(С — 1)(/xUjxz + fyUjyZ) — 2/ujCz — (Z — 1)(/xx + fyy)uj'z —

- 2(Z - 1)/(/xujxZ + .fyujyZ) - (Z - 1)2(/x2 + /^)uj'zc - 3/2uj'cc -

- (Z - 1)(2(/X + /y) + (/xx + /yy)/)ujc , j = 1, 2

Awj = -2(С - l)(/xuixC + fyj) - 2/uicc - (Z - !)(/xx + /yy)uic-

- 2(Z - 1)f (/®uixC + fyuJyC) - (Z - 1)2(/X + /y)u?cc - 3/ j -

- (Z - 1)(2(/X + /y) + (/xx + /yy)/)ujc I j = 1I 2

(dUz2). ©,=•

u

'J£ - /x = -/uiC + /xujx + УyUjy - (/x + /y + / )uj 1 Z = 01 j = 11 2;

uix- kou2x+kuixC+(1 - ko)Fmn/ - a/ =

1 fco ~ ~

= - 2 |Vui|2 + -2“ |Vu212 + (u.z - fcou2c )/x + (u.z - fcou2c )//x + + (uixu1c - fcou2xu2z)/ж + (u1yu1z - kou2yu2z)/y - (u1c - ^o-^)/-

-fc

Fmra ( 1 - / - /y ) - /®u1xx - /yu1xy + /u1xZ + /xu1z -

- /"xu1cc + u1x u1xZ + u1yu1yZ + u1zu1zz + (^9 + 2^ ) u1xZ +

Ixjxx“ 1Z I JxJyu- 1yZ I JyJxy^ 1Z I I / ^1xZ I ^./ ,/x1

2/2 + 2.

+ /x/xxu1c + /x/yu1yZ + Уy Уxyu1c + +^u1xC + 2//xu1c -

- 2//xu1CC - /xu1x u1xx - /yu1x u1xy + /xu1x u1C---------2/xu1xZ u1C -

- /xu1x u1CC - /xu1y u1xy - /yu1y u1yy + /yu1y u1C - 2/yu1yZ u1z -

-/yu1yu1cc - 3/u1Cu1cc - 7Fmra(/x/xx + 2/x/y/xy + /y/yy) +

+ e(-(1 - ko)/ + Y(/xx + /yy - /T/xx - 2/x/y/xy - /"y/yy))i С = •

(2.1)

где X = {u1,u2, /}, B = Bmn: C2+a(no x (-TO, •]) + C2+a(no x [•, 1]) + C2+a(no) ^ Ca(no x (-TO, •]) + Ca(no x [•, 1]) + Ca(no), • < a < 1, no — прямоугольник периодов в плоскости (ж,y).

Представляя функцию /(ж, у) рядом Фурье ^ (amn cos max cos nby +

m,n

bmn cos max sin nby + cmn sin max cos nby + dmn sin max sin nby) в однородном уравнении BX = • и решая первые шесть уравнений системы методом разделения переменных, находим

u1(x, y, Z) = ^------------(cmn cos max cos nby + dmn cos max sin nby-

-amn sin max cos nby - bmn sin max sin nby),

rma cosh(smn(Z - 1)) , , .

u2(x, y, Z) = - > --------------í-------------(cmn cos max cos nby+

Smn sinh Smn

+dmn cos max sin nby - amn sin max cos nby - bmn sin max sin nby),

= m2a2 + n262, Fm „ = Fo2.

Тогда последнее уравнение (2.1) дает дисперсионное соотношение

(ДС)

Fmn ( 1 ko + Ysmn )

22

m2a2

1 + fco coth Smn + kSm

(2.2)

(m, n — положительные целые, n может быть равным нулю), справедливое для некоторых пар (mj, nj), j = 1, 2,..., к таких, что базисные элементы подпространства нулей N (B) линеаризованного оператора B имеют вид

= {—vij (Z) sin mjаж cos njby, —v2j(Z) sin mjаж cos njby,

v3j cos mj аж cos nj by},

tp2j = {—v1j (Z) sin mj аж sin nj by, —v2j (Z) sin mj аж sin nj by,

v3j cos mj аж sin nj by},

03j = {vij (Z )cos mj аж cos nj by,v2j (Z )cos mj аж cos nj by,

v3j sin mj аж cos nj by},

04j = {v,j (Z ) cos mj ax sin nj by, v2j (Z ) cos mj ax sin nj by,

v3j sin mj ax sin nj by},

mjaVab Sm.n.f mjaVa5cosh(sm?.n.(Z — 1))

где vij (Z) = —---e z, V2j (Z) = — . .

v3j

л/ab

nsm. n.

sinh sm

nsm.n. sinh sm.n.

, и возможные порядки dim N(B) представляют собой суммы четверок (двумерная решетка периодичности) и двоек (одномерная решетка).

При переходе к комплексному базису уравнение разветвления (УР) i(n, є) в вещественных переменных переходит в УР в комплексных переменных [4] £і,2 = П1 ± ІП2, 6,4 = Пз ± ІП4

j(C,e) = (C lí)j(CC,e),j = 1,4-

(2.З)

Соответственно

—i i —i i i 11 i

1 1 1 —1 — 1 ,C-l = 1 —i 11 i

2 1 11 1 , 2 i —1 1 i

i —i —i i —i —1 1 —i

s

= 2 {“« (С ).»2; (С), -ОД, }е‘(т.“'+”.Ьу> = = 2 {»1, (С ), = 2 {»1,(С),»2,(С), -!»3, К<”‘.”-”.« = — 2 К (С),

'2; = = 2 {*1, (С )"®2, (С ),*»3У }е-,(‘‘>' ’»>,

'Л; = = 2 {»1> )■'!) К }в-('« -5>,

{»1, (С ).«2, (С), ->«3, }е’(‘1Л ',1,

{»1;(С),»2,(С), -№«К««'»1,

¿2; — —¿1; 1 ¿4; — - ¿3; •

Симметричность оператора В доказывается стандартными методами [6]. Те же методы, примененные к неоднородной системе (2.1), приводят к условиям ее разрешимости, на основе которых вычисляются коэффициенты уравнения разветвления (УР). Формулы для коэффициентов первого уравнения разветвления, отвечающего двумерной ]-ой решетке периодичности, имеют вид:

где — коэффициенты при £аек правых частей системы (2.1) в их разложении по £ — (£1,..., £п) и е при применении метода неопределенных коэффициентов Некрасова-Назарова.

Система разветвления

строится стандартными методами, использующими ее групповую симметрию (инвариантов и инвариантных многообразий С.Ли-Л.В.Овсян-никова). В принятой нумерации базисных элементов подпространства

По

(£,е) = а0*>(е)£в +53 а?>(е)6(£1 £2)91 (£3£4)92 — о, 5 — 1, 4,

N и соответствующих вершин прямоугольника По в обратной решетке действие группы С1 в переменных £ в ^ -ой решетке периодичности выражается подстановками

: р1 = (І.;, 2і)(3,-, 4;),р2 = (1і, 3і)(2;, 4;),рз = (1і, 4і)(2;, 3;),

в то время как групповая симметрия УР в комплексных переменных — равенствами

(Рк¿)г(£,є) = ¿г(Рк£,є), к = 1, 2, 3. (2.4)

Действительно, преобразования элементов базиса векторов ^ = {и;, /; } в N (В) при действии группы С1 определяются формулами

Р1^7 = {Р1иі, -Р1/;}, Р2^і = {Р2иі ,Р2/; }, Рз^' = {Р3иі, -Р3/; }

где р1 #(ж, у) = #(-ж, -у), Р2#(ж, у) = #(ж, -у), Рз#(ж, у) = #(-ж, у). УР также наследует симметрию (2.1) относительно операции .] комплексного сопряжения. Симметрия относительно двупараметрической группы сдвигов наследуется УР как инвариантность относительно двупараметрической группы вращений А^) = 50(2) х 50(2)

еі(1г,в)іг(£,є) = ¿г(..., £1іег(1Ь',в),..., ег(І4?',в),...; є), г = 1,п.

В случае четырехмерного вырождения линеаризованного оператора В (п = ёт N (В) = 4):

(£,є) = ^ аі5)(є)£5(£1 £2)91 (£з£4)92 = 0, 5 =!Д

9

где отношения между коэффициентами и уравнениями определяются равенствами (2.4). Эти равенства позволяют выразить все УР через первое

¿1(£, є) = Абе + В£2£2 + С66Є4 + ''' = 0,

А = ¿І1І1, В = ¿21е)1+в2;0, С = ¿Є1і)+е2+ез, Є1 = (1,0, 0, 0),..., Є4 = (0,0,0,1), ¿к(£, є) = №-1*1 (£, є) = 0, к = 2, 3, 4.

Последовательно находим

/Є1+Є2;0 =

= аЬ5тга /(ко(со1Ь2 5тга - 1) - 4Ьтга)(1 - ко + 7^») + к5 ^ 4п2(1 - ко) у 1 + £о еоЛ8тга + к8тга тга/ ’

и1в1+в2;0 = СОп^,и2Є1+Є2;о = СОШ^

Л З г ~ 1 + e4-™" ÄQ . 2

a2el = 1 + ÄQ + 2kq-----г-------coth Smn - — coth2 Smn+

V 2 1 - e4-™" 2

k-mn(1 + kQ coth -mn + k-mn) j

+2k-mn +

2(1 - kQ+7smra)

2 \ (Л I \ 1 I /О4- rn." \

X , -2 + (1 - kQ + 17sT,)(:1^2fa coth smn> + 2ÄQi+i— - 4kSmn

1 - kQ + 7smn 1 - e4-™"

ab-

„ ■^~-mn 2i(ma,æ+nby)

/2el;Q = ^2~“2el ,

Ul2el;0 = !!тПа? ((Z - 1) e-™"Z + («2el + 1) e2-™"Z) e2i(max+nby),

ima2b / sinh(smn(Z - 1)) ,

^•l» = ^ l-(Z - 4 Sinh S„, +

e2-™"C + e4-mn e 2-rn"C \

+------------+—Г--(«2el - coth -mn) e2i(m“X+nby),

1 e mn f

ma2b

----- ~ „2ima,x

/е1+вз;0 = 2п2 “ізЄ

i m2a2 -n2b2 / ~ , 2 \ ma / ~ , r , \

“із = ----4-2------(1-ko coth SmJ +---------------------------(1+ko coth[2ma] coth smJ -

\ 4-mn -mn

З,. , 4 , , m2a2 - n2b2 /1 + k-mn + ko coth -mn , Л\

-ï(1 - kQ) +k -m„ ( 1 - kQ +7-m„ + V jx

xL1-ko coth[2ma] +ma(1 -ko1 +kof1* -"^-~) -2ктЛ —i

У 2-mn(1 - kQ +7-mn) )

иіе1+ез;0 = ((Z - 1) e-™”( + (аіз + -^e2maZ)) e2imax,

ima2b / sinh(-mn (Z - 1)) ,

м2.,+.з;0 = (- (Z -1) —sinh-mn—+

e2maZ + e4mae—2ma( \

-^ma-(ае1з - coth -_)] e2imax,

ab

1 - e4m

02mby

a14 =

/el+e4;0 = 7^2 a14e in y , u1el+e4;0 = ° u2el+e4;0 = О,

2n2b2+fco ((m2a2-n2b2) coth —mn--mn) -4k-mn(m2a2-n2b2)j

2-mn (1-ko+4Yn2b2)

1 - kQ + 7-mn , k(m2a2 - n2b2)

X - +

1 + ko coth -mn + k-mn 2(1 - ko + 4Yn2b2) ’

X

ab

/вз+в4;0 = 2П2 “34, ul

e3+e4 ;0

О, U2£3+e4;0 = О,

smn (fco (coth S^n - 1 — 4ksmn) (1 - k° + Ys2J ksi„

a34 = --------------------T----=-------------------4-------- +

2(1 - k°) (l + fc0 coth sm„ + fcsm^ 2(1 k°)

Ненулевые коэффициенты УР имеют вид:

А = —(1 — k° + < °> m2a3b /sm„(1 — k°)(1 + k° coth sm„ + ksm„)

B — /I 2/1 i А I 1 ii 2 (Ysmn 2ka2ei) +

4n2(1 — k°) ^ 1 — k° + YS^n

+ k°Smn(coth2 Smn — 1)(1 — k° + Ysmj(—4ksmn + k°(coth2 Smn — 1)) +

1 + k° coth smn

1

2

+smn(coth2 smn — 1)(ksmn — 2a2e1 — a2e1 cosh[2smn] + 2 coth smn —

—2 sinh[2smn] + (a2e1 cosh[2smn] + 2(a2e1 — coth smn + sinh[2smn]))k°)k°

m2a3 b 2n2 sm

+smn ^—2 + 2a2ei + k(9 + — Smn + 12smna2ei ^ (1 — k°) +

C — 2?m2 a2 (—(5m2a2 + 2n2b2 )smn + 3m2 a2 + n2b2+

"mn

2 2 2 2

+2ma(smn — n b )a13 + 2n b a14+

2ma(ma +2Smng13) T(smn + 2ma)(4ma — 5m2a2 —n2b2) — 5m2a2—n2b2} ( S mn + 2 ma ) 2

+ Y(m2a2 — n2b2)(1 + k°cothsmn + ksmn) + ^ " ma

1 — k° + Ysmn Lsinh smn sinh[2ma]

^8ma(2macoshsmn sinh[2ma] — smncosh[2ma] sinhsmn) |

4 4m2a2 — smn +

2 2 2z,2\ ((smn + 2ma) cosh[smn + 2ma] — sinh[smn + 2ma]

(smn + 2ma)2

(smn — 2ma) cosh[smn — 2ma] — sinh[smn — 2ma^ 2

2smn

(smn — 2ma)2 У

—Smn coth smn(5m2a2 + n2b2) + smn(coth2 smn — 1)(maai3+

s2

+ai4 + 034 — 1------m^ — cosh2 smn) + 2maai3 (smn coth smn—

3

—m a coth smn + smn) + k smn(4m a + 9m a + 5n b ) —

— 3 m4a4 + 2 n4b4 — 3m2 a2n2b2 + 4m2a2smn(smn + 2ma)a13+

22

+п2028тгаа14 -

2зтга(1 + ко соЛ ¿тп + к8тга)(ш3а3«1з - п2Ь2«14)

1 - ко + 75!

2

тп

Симметрия задачи относительно ¿д позволяет выполнить редукцию УР ¿(п, є) = 0, полагая п2 = П4 = 0. Тогда главная часть редуцированной системы принимает вид

АП1Є + Вп3 + СП1П3 = 0,

Ап3є + Сп2П3 + Вп3 = 0.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Задача (1.1) в окрестности точки бифуркации

- 4-кратного собственного значения, определяемого условием (2.2), имеет с точностью до преобразования у ^ -у два двупараметрических семейства периодических решений

{ф11), ф21), /(1)} =

-А(^2 - р2 )

В \ тп/

2 | ша\/а5 „ а г , ^ ^ ,

2 <--------е3тпС ео8[ша(ж + в1)+ пЬ(у + в2)],

ша\/а5 со8Ь(§тп(( - 1))

сов[ша(ж + в1) + пЬ(у + в2)],

л/аЬ

7Г

8Іп[ша(ж + в1) + пЬ(у + в2)] г + О

¿г#п(Р2 - Р^п) = вадпВ, С =

г - /(1)(ж,у); 1 - /(1)(ж,у);

(2.5)

{ф12), ф22),/ (2)} =

А

В + С

(р2 _ р2 ) V-1- х тпУ

е5“"^ сов[ша(ж + в1)]х сов[пЬ(у + в2)],

2ша\/аЬсо8Ь(зтп(( - 1))

сов[ша(ж + в1)] сов[пЬ(у + в2)],

2Л'^аЬ 8Іп[ша(ж + в1)] сов[пЬ(у + в2)] 1 + О

7Г

5г#п(р2 - р^п) = 5ї#п(В + С), С =

г - /(2)(ж,у)

1 - /(2)(ж,у) ‘

(2.6)

1

2

3. Высокие вырождения

A. т = n2 = 0, n = dim N(B) = 4. Докажем возможность существования физических параметров, при которых существует решение с симметрией двух вырожденных решеток. Пусть ДС выполнено для двух пар (m1, 0) и (m2,0): ^„(l — k0 + Ym2a2) = ma(1 + k0 cothma + kma). Разделив первое уравнение на второе, получим выражение для k:

(1 — k0 + Ymia2 )(1 — k0 + Ym|a2)

(m2a2 — m2a2)(1 — k0) X

m1a(1 + k0 coth m1a) m2a(1 + k0 coth m2a)

1 — k0 + Ymia2 1 — k0 + Ym2a2

x(1 + fc0 coth x)

Положим m2 > m1 и f (x) =----------------------------- -, где x = ma. Тогда

1 — k0 + Yx2

, sinh2 x(1 + k0 coth x)(1 — k0 — yx2) — fc0 x(1 — k0 + yx2)

sinh2 x(1 — k0 + yx2)2

и f' < 0 при yx2 > 1 — k0 — условие существования двух вырожденных решеток периодичности.

Группе сдвигов по координате x отвечает однопараметрическая группа вращений-отражений в пространстве векторов £ = (£ь£2, £3,£4) с диагональной матрицей А(в) = diag{eimi“ß, e-imiaß, eim2aß, e-im2aß}.

Здесь (m1, 0) и (m2, 0) удовлетворяют дисперсионному соотношению

(2.2). Группе А(в) отвечает базисный инфинитезимальный оператор

(%1 = д//д£к0 X = {X(£),X(t)}, Х(£) = m1a (—£1d|i1 + £2%Л +

m2a (—£з% / + £4 % /).

Дифференциальное уравнение X/(£,t) = 0 определяет полную систему семи функционально независимых инвариантов /s(£,t) = |s, s =

1, 4,/5(£) = £1£2,/б(£) = £з£4,/7(£) = £f/mi£^/т2, где N - наименьшее общее кратное (НОК) чисел m1 и m2.

Согласно теореме Л.В. Овсянникова получаем общий вид УР рассматриваемой задачи. Мы предполагаем УР аналитическим или достаточно гладким, поэтому при использовании построенной полной системы функционально независимых инвариантов некоторые мономиальные слагаемые в УР могут отсутствовать. Необходимо привлечь

N N

дополнительный инвариант /8 = £2"1 £3"2. Тогда в УР возникают повторяющиеся слагаемые и нужно провести факторизацию по связи между

N N

инвариантами /7(£)/8(£) = /5m 1 (£)/бт2 (£). Эта факторизация обозначается символом [...]oui. Таким образом, УР принимает вид

ífc (e,e) =

/ N N \ q3/ N N \ q41 0ut

s a<‘>(e)ík +£ o‘ (ШАГ «;АГ

q

Cfc er er2 U2"1 Csm2

:Q,

k = 1, 4, где символ [...]out означает, что в выражении внутри скобки сомножители вида £2fc-l£2fc должны быть опущены.

В частности, для взаимно простых mi и m2 главная часть УР принимает вид

A£ie + ££Г-1езт1 + ■ ■ ■ = 0, A£2 г + ££Г-ЧГ + • • • = Q,

cese + Dem2eri-i + ■ ■ ■ = Q, ^ + De2m2e3mi-i + ■ ■ ■ = 0,

и определяет при конкретных mi, m2 асимптотику малых однопараметрических семейств решений.

B. n = dim N(B) = 6. Существование трех вырожденных решеток периодичности (ni = П2 = П3 = 0) невозможно. Действительно, пусть m1 < m2 < m3 и omk = sk. Тогда

si(1+fco coth s1+ksi) s2(1 +fco coth s2+ks2) s3(1 +fco coth s3+ks3)

(1 —ko+7s!) (1 — ko+7s2) (1 — ko + 7s2)

1 - ko

откуда 7 =-------2— < 0, что противоречит положительности 7. Пра-

si

вильная гексагональная решетка периодичности также невозможна. Мы можем записать два последовательных поворота на угол п/3 в виде miox+mi^\/3y ^ —miox + \/3m1oy ^ —mio( 1 ж + y^v^m^—^ +

i y) = —2miox, и предположение si = mio2 + 3mio2 = 4mio2 = s2 неверно.

Существование неправильной гексагональной, а также двух 4-мерных решеток периодичности следует из непрерывной зависимости ДС относительно k.

При dim N(B) = 6 один из прямоугольников периодов вырождается в отрезок. Базис {^¿}1 подпространства нулей нумеруется векторами

I(m¿,n¿) = mj(1) + nj(2) обратной решетки: (¿(1) = oei,

¿(2)_= be2), 1i = ¿i (mi, ni) = mili + niÍ2, I3 = mili — ni¡2, ¿5 = ¿5(m2,0) = m2¿i, ¿2j = —¿2j-i. В такой нумерации базисных элементов и отвечающих им вершин (±mi, ±ni) и (±m2, 0) соответствующих прямоугольников noi и no2 в обратной решетке действие группы G1 симметрии прямоугольника выражается подстановкой индексов переменных е&, а групповая инвариантность УР относительно G1 — равенствами типа (2.4). Эти равенства вместе с инвариантностью относительно операции

.] комплексного сопряжения позволяют выразить уравнения системы через первое и пятое. Для построения этих уравнений используем инвариантность УР относительно двумерной группы сдвигов бг(1к(£, е) = (£1ег(1ьв),...,^6ег(1б,в),е). Тогда коэффициент ¿0^ при £а в к-ом уравнении может быть отличен от нуля, если выполнено равенство 1ь = «1^1 + ■ ■ ■ + «6^6, |а| = г.

Рассмотрим такой случай шестимерного ветвления, когда взаимодействие решеток происходит на первом шаге, т.е. имеют место соотношения: ¿1 = ¿4 + ¿5, 7з = ¿2 + ¿5, ¿5 = ¿1 + ¿з ,¿2 = ¿з + 1б, ¿4 = ¿1 + ¿6, ¿6 = 12 +14, т2 = 2т1.

Аналогично предыдущему пункту определяем систему функционально независимых инвариантов, получаем УР, главная часть которого имеет вид

+ ¿££46 = 0, А£зе + ¿^{2^5 = 0, С£5£ + Ш&£з = 0,

А{2£ - ¿££з£6 = 0, А{4е - ¿££1^6 = 0, С{6е - ¿^{2^4 = 0,

где А = йд1, С = а21, = а(111), Ш = ад2^, А, £, С, ^ — вещественны.

Главная часть УР в вещественных переменных принимает вид

Ап1е + £(П1П5 + ПзП6) = 0, Ап2е + В(П2П5 + П4П6) = 0,

Апзе + £(П1П6 - ПзП5) = 0, Ап4е + В(П2П6 - П4П5) = 0,

Сп5е + 1Д-^2 - п2 + Пз + п4) = 0, Сп6е + 1 ^(-^1 Пз - П2П4) = 0.

Выполняя редукцию УР, положив П2 = 0 = Пз, приходим к системе разветвления, имеющей 4 решения. Комбинации сдвигов по коорди-

_ п п _ _ _ п п _

нате х на , — и по координате у на ^, индуцированные группой сдвигов при соответствующих значениях в = (във2), индуцируют преобразования {п1 “ П4, П4 “ Пъ П5 “ -П5}, {п1 “ -Пъ ??5 “ П5}, {п4 “ -П4, П5 “ П5}, которые оставляют только одно решение

2\/ГЖе, 0, 0, 0 -4е, ^ .

Принимая во внимание знаки А и С и неравенство §гдпББ < 0, получаем теорему.

Теорема 2. Задача (1.1) в случае двух взаимодействующих решеток

периодичности в окрестности точки бифуркации ^0 = 1П1 = ^20

шестимерного вырождения линеаризованного оператора имеет одно

двупараметрическое семейство периодических решений

1

АС1 2 (^2 - ^02)х

Ф21},/(1)} = 2

ББ

х Г ШіаЛ/аЬе^тіпіС 8Іп[ш1а(ж + в1)] х 008[п16(у + в2)],

mia\/ab cosh (s.

smmi (С---sinima(x + в )] cosin b(y + во)],

’mini

sin[m2 a(x + в1)],

_ z - / (1)(x,y) 0),Z 1 - /(1)(x,y) •

em2«C x

C. n _ dim N(B) _ 4 + 4. Находим систему функционально независимых инвариантов, выписываем общий вид УР. Симметрия группы прямоугольника выражается подстановками индексов переменных

&: pi _ (12)(34)(56)(78), р2 _ (13)(24)(57)(68), рз _ (14)(23)(58)(67), а

соответствующая групповая симметрия УР — равенствами типа (2.4). Эти равенства позволяют выразить все уравнения через первое и пятое и дают симметрию коэффициентов УР.

Переходя к вещественному базису в N(B), выполняя редукцию соответствующего УР (^2 _ Пз _ 0), получаем решения.

D. n _ dim N(B) _ 4 + 2 + 2. Предположим, что взаимодействие решеток периодичности осуществляется на первом шаге. Это возможно, например, если векторы обратной решетки удовлетворяют соотношениям li _ ¿4 + ¿5, ¿2 _ ¿3 + ¿б, ¿3 _ ¿2 + ¿5, ¿4 _ ¿1 + ¿б, ¿7 _ 2I5, ¿8 _

21б. Существование такой ситуации можно доказать, используя ДС для решеток (m1,n1), (2m1, 0), (4m1, 0). Симметрия относительно дискретной группы позволяет выразить уравнения системы разветвления через первое, пятое и седьмое и, тем самым, устанавливает связи между коэффициентами aiqfc)(e) УР. Переходя к вещественному базису в N(B) по формулам типа (2.3), выполняя редукцию соответствующего УР, получаем систему:

А^1е + Вп1п5 _ 0, Вп4пб _ 0, Вп1пб _ 0, А^4е — В^4п5 _ 0,

СП5£ + ^(п! — П2) + E(П5П7 + П6П8) _ 0, Спб£ + E(^5^8 — ПбП7) _ 0,

F^7£ + G(n2 — П2) _ 0, F^8£ + 2С^5Пб _ 0,

которая имеет 5 решений, из которых существенными являются только три.

^1(С,е) _ + BC2C2 + C66^4 + ^бМб + _ 0

t5(e, е) _ F{5£ + Сб + _ 0.

4. Критерии устойчивости решений задачи о волнах на флотирующей границе раздела двух жидкостей

A. 4-мерное вырождение. Редуцированная устойчивость семейств разветвляющихся решений соответствующей (1.1) нестационарной задачи определяется [5] устойчивостью стационарных решений уравнения dn

— = t(n, е), где t(n, е) — левая часть системы разветвления, е = F2 — F^n. Устойчивость же последних определяется знаками собственных

значений матрицы Якоби J =

на этих решениях.

Теорема 3. Для того, чтобы семейство решений (2.5) было устойчивым необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

signe = signB = sign(B + C) = —1

ÍB + C < 0 n |C | 1

{c — B > 0 <=> 0 < ¡b¡ < 1 (41)

Действие оператора на произвольный элемент N(Bmn) равно-

сильно преобразованию его координат в разложении по базису подпространства нулей с помощью матрицы Ag (fі(ві, в2) = cosшаві cosпЬв2, /2(в1, в2) = cos шав1 sinпЬв2, /з(във2) = sinшав1 cosпДв2, /4(във2) = sin шав1 sin пЬв2)

/ /1(в1,в2) /2(в1,в2) f3(в1, в2) /4(в1,в2)\

—/2(в1,в2) /1(в1,в2) —/4(в1 ,в2) /з(в1,в2)

—/з(в1,в2) —/4(в1,в2) /1(в1,в2 ) /2(в1,в2)

V /4(в1,в2) —/з(в1,в2) —/2(в1 ,в2) /1(в1,в2)У

С помощью матрицы —й определяется семейство решений

П = —по(е) = -?= (/1(01,02), -/2(01,02), -/з(в1,в2),/4(в1,в2))Т■ уао

/ А \ 1/2 / А \ 1/2

■ (-+ о(|^|1/2),по(е) = (1,0,0,0)Т + о(|е|1/2),

где П0(е) — решение редуцированного УР.

В соответствии с определением линейного касательного многообразия должны быть выполнены соотношения

¿п(По(е),е) [ЛгПо(е)] = 0,г = 1,2 (4.2)

где Лг — инфинитезимальные операторы алгебры Ли в Н4.

tn(По(е),е) = diag |Ае - 3Ае, 0,0, Ае - , Л^е) = 1вх=в2=о

, . п , .т ( A \1/2 дАд.

По(е) = Tâb -ma’0) V IV ’ Л2По(е) = 0^2|д1=в2=о ' По(е) =

п _nT ( А \1/2

т / А \ (0, -nb, 0,0)т (-i^j

л/ab ’ ’ ’ V i

Соотношения (4.2) выполнены и устойчивость ответвляющихся решений АдЩо(е) определяется знаками главных членов по е собственных

значений матрицы Якоби J на этом решении, которые имеют вид (I =

2Ае

I + С, С = 3I - С) V1 2 = 0, V3 = -2Ае, V4 = ------- (С - I).

’ I + С

Рассмотрим вторую группу решений.

Теорема 4. Для того, чтобы семейство решений (2.6) было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

signe = sign(I + С ) = signI = -1

1I1

0 < Щ < 1 (4.3)

|С| ' '

Для второй группы решений выполняются равенства (4.2), где

А

in (По(е),е) =

/ -2I 0 -2С 0

0 0 0 0

-2С 0 -2I 0

V 0 0 0 0

I + С ’

. , . дАя п , ,т ( А \1/2

Л1%(е) = -Qfo |в1=в2=о ■ Ые) = ^âb (ma’0 -ma’ 0) ^-в + С V ,

. . дАя. . . п , ,.т ( А \1/2

Л2По(е) = |в1=в2=о ■ По(е) = = ÿâb (0, -nb0 -nb) (v-

I + С

/ а \ 1//

^о(е) = (1, 0,1, 0)Т ( — в + се) + °(1^11/2) (^о(е) — решение редуциро-

ванного УР), и главные части собственных значений матрицы Якоби .]

2Ае

на этих решениях имеют вид: VI , 2 = 0, = —2Ае, ^4 = ——— (С — В).

В + С

Замечание 1. При выполнении неравенства (4.1) ((4.3)) семейство решений (2.5)((2.6)), будет устойчиво относительно возмущений с той же симметрией, а неустойчивость относительно возмущений с той же симметрией означает неустойчивость вообще.

\С\

Придавая значения параметрам пЬ, та, мы определяем —^. Резуль-

\В \

таты для первой группы решений представлены в таблице 1 (для 7 =

0.3, к = 0.9, к0 = 0.8, ?0 = 0.85), где решения (2.5) неустойчивы, а решения (2.6) — неустойчивы:

Таблица 1.

пЬ та \с?\/\в \ пЬ та \с\/\в \ пЬ та \ С \ / \ В \

0,1 1,1 0,999 0,3 1,2 0,496 0,5 1,2 0,014

0,1 1,2 0,722 0,3 1,3 0,125 0,5 1,3 0,319

0,1 1,3 0,348 0,3 1,4 0,217 0,5 1,4 0,584

0,1 1,4 0,027 0,3 1,5 0,531 0,5 1,5 0,822

0,1 1,5 0,387 0,3 1,6 0,818 0,5 1,6 0,496

0,1 1,6 0,726 0,4 1,1 0,682 0,6 1,0 0,392

0,2 1,1 0,970 0,4 1,2 0,277 0,6 1,1 0,060

0,2 1,2 0,642 0,4 1,3 0,072 0,6 1,2 0,362

0,2 1,3 0,265 0,4 1,4 0,381 0,6 1,3 0,604

0,2 1,4 0,098 0,4 1,5 0,660 0,6 1,4 0,815

0,2 1,5 0,440 0,4 1,6 0,913 0,7 1,0 0,235

0,2 1,6 0,757 0,5 1,0 0,892 0,7 1,1 0,531

0,3 1,1 0,878 0,5 1,1 0,362 0,7 1,2 0,734

Результаты для второй группы решений содержатся в таблице 2, где решения (2.6) устойчивы, в то время как решения (2.5) неустойчивы:

Таблица 2.

пЬ та \ в \ / \ С? \ пЬ та \ в \ / \ с \ пЬ та \ в \ / \ С? \

0,1 0,1 0,333 0,2 0,4 0,332 0,4 0,3 0,344

0,1 0,2 0,329 0,2 0,5 0,355 0,4 0,4 0,355

0,1 0,3 0,325 0,2 0,6 0,540 0,4 0,5 0,463

0,1 0,4 0,326 0,2 0,7 0,282 0,4 0,6 0,237

0,1 0,5 0,345 0,3 0,1 0,341 0,5 0,3 0,394

0,1 0,6 0,467 0,3 0,2 0,337 0,5 0,4 0,405

0,1 0,7 0,767 0,3 0,3 0,336 0,5 0,6 0,902

0,1 0,8 0,017 0,3 0,4 0,340 0,5 0,8 0,232

0,2 0,1 0,335 0,3 0,5 0,377 0,6 0,8 0,155

0,2 0,2 0,334 0,3 0,7 0,042 0,6 0,9 0,731

0,2 0,3 0,331 0,4 0,2 0,350 0,7 0,8 0,369

В. 6-мерное вырождение. Собственные значения матрицы Якоби главной части УР имеют вид v1 , 2 , э , 4 = 0, vэ , 4 = е^+^Се2 и, поскольку

одно из собственных значений положительно, ответвившееся семейство решений является неустойчивым.

C. dim N(I) = 4 + 2 + 2. Исследование выражений для собственных значений матрицы Якоби на решениях в случае трех решеток периодичности показывает, что два семейства решений исходной задачи неустойчивы и одно устойчиво.

Список литературы

1. Андронов, А. Н. Об устойчивости разветвляющихся решений задачи о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство / А.Н. Андронов // Известия вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. - 2009. - №3(11). - С. 11-20.

2. Андронов, А. Н. Об устойчивости разветвляющихся семейств решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах в глубоком пространственном слое флотирующей жидкости / А.Н. Андронов // Вестник Самарского государственного университета. - 2009. - №2(68). - С. 10-26.

3. Логинов, Б. В. Бифуркация и симметрия в задачах о капиллярногравитационных волнах / Б.В. Логинов // Сибирский математический журнал. - 2001. - Т. 42. №4. - С. 868-887.

4. Логинов, Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б. В. Логинов. - Ташкент: Фан, 1985.

5. Loginov, B.V. Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions / B. V. Loginov, Yu. B. Roussak // Nonlinear Analysis. -1991. - TMA, 17, № 3. - P. 219-231.

6. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк.

- М.: Наука, 1969.

A. N. Andronov

Asymptotics and stability of bifurcating solutions to the problem about the floating interface of two fluids

Abstract. The asymptotics of bifurcating solutions in the case higher degenerations of linearized operator in the problem on capillary-gravity waves at the interface between two fluids is obtained. Group analysis methods in bifurcation theory under the group invariance conditions are applied. Criteria to the reduced stability of the bifurcating solutions are found.

Keywords: bifurcation theory; group invariance; capillary-gravity waves; reduced stability

Андронов Артем Николаевич, Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева, 430005, Саранск, ул. Большевистская, 68. ([email protected])

Artyom Andronov, Mordovian State University, 68, Bolshevistskaya St., Saransk, 430005 ([email protected])