CC BY
10
Б.В. ЛОГИНОВ, Ю.Б. РУСАК, М.Ю. МАКАРОВ
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРИ СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ
В развитие результатов работы (РЖ МАТ 1992 7Б916) получены критерии устойчивости разветвляющихся стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при старшей производной.
Исследуется устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при старшей производной. Установленные результаты обобщают полученные нами ранее [1,2] для уравнений первого порядка и их приложений к устойчивости
разветвляющихся решений. Систематически используются наши ранние результаты [3-5] о жордановой структуре оператор-функции спектрального
гтопои^Л'гп^ ллнлоошттм но Утрпт1лмгйиилиг ТТЛЛПРГГ1^ ТТПП ТТП ТГИГ ения
неполных обобщённых жордановых наборов (ОЖН). Свойства биортогональности ОЖН-ов линейной оператор-функции спектрального параметра [3-51 позволяют определить проекторы на корневые подпространства и выписать уравнение разветвления (УР) в корневом подпространстве [1,2,7]. Они использовались при построении и исследовании УР бифурквции Андронова-Хопфа. УР в кооневом подпространстве явилось основой исследования устойчивости разветвляющихся решений [1,2], теории дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при старшем дифференциальном выражении [13] и доказательств новых теорем существования точек бифуркации [14,15].
Установленные результаты поддержаны грантом № 23 - 98 по первому автору.
1. Критерий устойчивости
В вещественных банаховых пространствах , £2 рассматривается уравнение
= Дс+ /<*>'), !1/(х,ОМ*ШИЬ>о , (1)
ш и( ш
где лк - иА Ех Е^.О л-Е, - замкнутые линейные операторы (ЦЕ^Ег)); В, А;— фредгольмовы: / — нелинейный оператор достаточно гладкий по х и ( в некоторой окрестности нуля в £, при всех г г 0, Предполагается_ что в
4 Вестник УлГТУ. 2/2000
обозначениях х\>х2 ~~л~>хз ~ '•••' Xs ~ ¿¡^ привести к эквивалентному уравнению
О О О О
уравнение (1) можно (2)
'С 0 ... 'о с ...
0 с ... 0 0 0 ...
А0= ... ... ...... , А = ... ...
0 0 ... о 0 0 ...
,0 0 ... - А, ...
С А,
\ © £i —> ф Е-)
(3)
лжс-1 /
где С е ¿(^¿^-произвольный оператор, имеющий ограниченный обратный. Согласно переходу от (I) к (2) и [1,2] вводим
Определение 1. Определённое для / > 0 решение х0 (0 уравнения (1) устойчиво по Ляпунову, если для любого в > 0 существует 8 > 0 такое, что для любого
»-i
решения x(t) с ¿>"(0) = ]Г||х(1)(0)-х(йк)(0)||<S для í >0 выполнено неравенство
к=0
<т(0 < е, и асимптотически устойчиво, если a(t) 0, t ~> да.
Следуя [6] , для фредгольмова оператора В обозначим ЩВ) = span{ç„..,ç>r], N(S*)-= span{i¡/, } подпространства нулей, а {/,>" е
соответствующие биортогональные системы
<г,>=<?,,.
А'. Ч'П 1 О! ^ , ,3 — 1,..,,^ , » - 1,.„,Н УЩЛЦ« ГЧ I ичлпшн
канонический обобщенный жорданов набор ( а -жорданов набор г ОЖК)
Фредгольмова опетторз н относительно достаточно гладкой
N
(аналитической) оператор-функции В - А(А) = В - £ + если
1=1
= < >=0. = 2 ,...,Рк
= деЦ^^^ V,)] * О, к,1 = >1
Этот ОЖН биканонический, если ОЖН сопряженной оператор-функции, соответствующий элементам {ц/,)1 , также канонический 3 и три-канонический. если, кроме того,
i-/ i-» ■ J
rï
Согласно результатам [3-5] ОЖН линейной оператор-функции В-ХА может быть всегда выбран каноническим (теорема существования канонической пары )и даже триканоническим.
0
Предложенный в [6] процесс продолжения неполного ОЖН позволяет доказать, что аналитическая оператор-функция и её линеаризация с помощью бесконечных матриц типа (3) имеют одинаковую жорданову структуру, а корневое число (сумма длин обобщённых жордановых цепочек (ОЖЦ)) не зависит от выбора пары . Однако для общего случая
аналитической оператор-функции в [3-5] даны примеры несуществования канонической пары. Этот факт не противоречит результатам для линейной оператор-функции А-/хА0, т.к., хотя линеаризованная оператор-функция обязательно имеет каноническую пару {Ф,,Г,.}, Г, может не иметь вида О,,0,...,0). Элементы, полного ОЖН нелинейной оператор-функции спектрального параметра могут не быть линейно независимыми.
Тем не менее результаты [1,2] об устойчивости решений переносятся на уравнения вида (1) с помощью линеаризации (2),(3) согласно следующему утверждению.
Лемма. ОЖЦ элементов <=N(A) относительно оператор-функции
А-Мо имеют вид Фск'> -(р®,0,...,0),Ф<а) =(^2),^Д...,0)3...где <p£\<plt2).....
к = \,...,п, ОЖН соответствующий базисным элементам {^р}" е N(B) полиномиальной оператор-функции В-уЛ, - и1 ÀL -...-ц'As.
Доказательство выполняется непосредственной проверкой. Теорема 1. Пусть операторы S и As фредгольмовы, оператор л, имеет полный ОЖН } 7 jотносительно оператор-функция Аг -h.14^, + ... +Л*~1Л1 -Вл и спектр аА{В) обобщённой задачи на собственные значения
{В-А{гфр~(В-рА, ~us ' А^ -и'Аз)<р = 0 (4)
лежит в левой полуплоскости Rpî и ! и <= г* <п\\ < о (хотя бы од^а точ^а cr Jïï) попадает в правую полуплоскость). Тогда тривиальное решение линейного однородного уравнения (1) асимптотически устойчиво (неустойчиво). Теорема 2. Пусть оператор FîXj) в (2) непрерывно дифференцируем по X к
t для t > 0 и X из некоторой окрестности Ое Ф...Ш£, до порядка L
--»-'
I
включительно, где L - максимальная длина ОЖЦ базисных элементов {Фк ) f е N{A,) относительно оператор-функции А. + AAf, + .,. + Я*~''А,- ВЛ1, причём j|DJF(AV)|j= o(j|X!!) при ||ДГ||->о,/ = 1,...,! равномерно по />о (в автономном случае F(X) непрерывно дифференцируем по X до порядка L ). Если фредгольмов оператор в имеет полный ОЖН относительно оператор-функции В-АА,_., -X5AS и спектр <тА(В) обобщённой задачи на
wODCTBvHHUw ЗПЗЧСНИЯ (4) ЛСЖ1ГГ В ЛвБОИ ПОЛУПЛОСКОСТИ Г А ОТ Я бы Одни е7Ч#
■ У \
точка попадает в ггоавую полуплоскогттЛ тп тпивняпьнгм» пршрнир ^авнечия
i ' - .----------f} - ~ --------------jr
( 1 ) асимптотически устойчиво (неустойчиво).
Так как уравнение (1) имеет решение не для любых начальных данных, асимптотическая устойчивость нулевого решения в теореме 2 подразумевается относительно класса решений с допустимыми начальными данными.
2. Устойчивость стационарных решений
Так же, как в работах [1,2], теоремы 1,2 позволяют исследовать устойчивость стационарных и периодических разветвляющихся решений уравнения
+ ^ = Bx-R(x,e), R(Q,e) = О, Ä,(0,0) = 0 (5)
Рассмотрим здесь общую схему для соответствующей задачи о точке бифуркации, т.е. вопрос об устойчивости стационарных решений (5), ответвляющихся от тривиального х = 0. Пусть фредгольмов оператор В имеет подпространство нулей N(B) = span{<pl,...,<pn}, <<p],Yk>=öjk, j,k = \,...,n и
дефектное подпространство N* (As) = span{y/^..,у/п}, <zk,y/j >= S^, j,k = , и *о00 стационарное решение (5) . Полагая у = х-х0(е), сводим (5) к виду
A,yw +- + А\У(Х) = Я,(у,£), где В{с)у = Ву - Rx(xü(e\s)y, =
+ -Кх(хй(е),£)у, и проверим выполнение условий теоремы 2. Если
лгтлпотлп-/Кт?1п/ттт1ст А i ^А л. А __ J? тп/р#»т ПАпиоЙ Г"УЫГТ-Г та TAtJtCP V — П
Vll^^u 4 V|/' ^^ iUU^XlA I Mlj^ I • . .1 fr l> IUUVV X tAVV41iui|l -l м »V i*vv * - v j
то для малых s. А. будет также иметь полный ОЖН относительно оператор-фикции Аг + zAs_x +...+ T,'iAi - tsB(s) . Действительно, в силу необходимого и достаточною условия цолниты иЖН [6, gj L j, [3-5] оператор As + zä^ + ... + ri_1J41 -г*В обратим для малых т. Тогда для малых е оператор Л, + тАг_, +■... и- г'т ЛА} -tsB(s) также обратим, и наше утверждение справедливо. Поэтому из теоремы 2 следует принцип линеаризованной устойчивости : ответвляющееся от тривиального х = 0 решение х0(£) уравнения
О.'чЛ .Л — fi
и l^A J IV^Aj О J ~~~ V J
устойчиво, если спектр <тл(В -Ях(ха(€),£)) оператор-функции
(7>
(т.е. спектр <ул(В-(я,,(е),£)) производной Фреше оператора (6) на решении х0 (а)) лежит в левой полуплоскости, и неустойчиво, если
существует хотя бы одна точка ц{е) е аА(В- (х0 (г), £)) в правой
полуплоскости.
Поэтому доказано следующее утверждение Теорема 3. Пусть корневые числа к(А1-А1_1,...-А1,В) = д, + + и к(В:А. а ! + « Тот-тта метол диаграммы Ньютона,
применённый к равнению разветвления в корневом подпространстве
оператор-функции (7) позволяет вычислить главные члены асимптотики
л
P-^Pt собственных значений м(£) задачи *=i
(В-Rx(х0{е),*) - /Ц 4-. - Г'4УР = 0, (8)
ответвляющихся от собственного значения /<0) = 0,и, тем самым, определить устойчивость (неустойчивость) стационарного решения (е).
Теорема 3 служит основой получения критериев устойчивости разветвляющихся решений, связанных с соответствующим УР. Теорема 4. Пусть ОЖЦ базисных элементов относительно оператор-функции 5-/¿4, -ц'А; имеют единичные длины, т.е. p¡= 1,
i~\,...,n и корневое число k(As-As_1,...,-AvB) = q1+... + qn оператора А, конечно. Пусть далее элементам е N(B) отвечает полный канонический ОЖН оператор-функции B~Rx{x{e),£) с длинами ОЖЦ г, <г2 <>...<,гп. Тогда стационарное решение jc(í) уравнения (5) устойчиво, если для соответствующего решения £(¿0 х-УР (9) главные члены асимптотики собственных значений v^s), j = \,...,n, определяемые главной частью матрицы Якоби 3 = t( .
/ J„*r _ п /„/_\ _Чгг Г-Т» /-./_\ _Ч1-1 -..... : ..Г ~1 _ Л sr¡\
TT* f ЛТЛ'Р ЛТНМПГУТЛ ТЛ Tí Г ТТГ УЛ г»ЛТТ*Л-Л««ЛАТТГТТ ?Л ТГЛЛ»Г»Т TI 1ТЛ1 ?ÍWT»AtíttirínA a/»T»Tf VIV!*ft
fimwiui и i uri ца i VJ ■ пп di l> nwuj\vbiDunnmL nav 1 ri y f< nL.j ь i iíidu, wujin ли ал vui
один из них положителен.
действительно, согласно методу ляпунова-шмидта. стационарное уравнение (6) записывается в виде системы
Rr=R( í.s<t*.>. ¿ = 1 и. П0>
" 'V ч - / X . 3 j ' j J - С - í i- » ' 4
y-l
где + j >Zj , Г = B~]. Подставляя решение x-x(^e) первого
уравнения (10) во второе и используя равенства Т'ук =у/к, к = , получаем х -УР стационарных решений
s< >= - < >= 0 . * = I--.» • С10
i vía.; pililo. ЛКООп a-ja i ; iímmi опд
Опять применяя лемму Шмидта [6], сводим задачу на собственные значения (8) (см.[6,§32] к эквивалентному /¿-УР
Uu.é\ = Yl У и* sdetífl .fí/,*YI = detf< иЛ +... (12)
. i »
+
Так как р1 -1, без ограничения общности можем принять, что
<Ах<р},ц/к >= . Применяя метод диаграммы Ньютона, находим, что задача
на собственные значения (8) имеет точно п А -собственных значений. Из линейного свойства определителя следует, что главные части асимптотики собственных значений ц^е) , / = 1,...,и (определяемые из (12)) и главные
части и,(е) (определяемые из (9)) совпадают.
Следствие . В условиях теоремы 4 устойчивость стационарного решения х(е) уравнения (5) определяется принципом линеаризованной устойчивости для системы обыкновенных дифференциальных уравнений ^ = где /(£,£)-правая часть х-УР (11).
3. Устойчивость периодических решений
Здесь рассматривается устойчивость периодических решений (5) бифуркации Андронова-Хопфа [8-12], когда спектр <гА(В) пересекает мнимую ось в конечном множестве собственных значений ±/кга, г = \,...,т, кратности пг, где натуральные числа, не имеющие нетривиальных общих делителей.
Мы строим [8-12] УР -периодических решений, где 0 при
Следуя АЛуанкаре [16] на основе замены переменных ? - ^хтг , - у(гХзадача о периодических решениях сводится к нахождению 2п •
И "Л
и^рпчудгп^^лйЛ рчи!.ш1Г1 у^хпцяОпарЬиш ЗгроспСппЛ'/ I * •'-1
и }\Г) = ау- & Ак — = ¿И',, —щ - к\у,а} = 4-=! (*т i-1 /=о
1
= (Г'г1 гг\')\гт\~- ¡Л — Р {!; V— V-'? )УЖ} - - 'О' ■> - } }
з пространствах ¥(¿3 1п -периодических Б-раз непрерывно дифференцируемых (непрерывных) функций т со значениями в Е^Е^+гЕ^
! §? ™ Г ■ • Т7 Л Тлт»*¥п т* 11.ЛТТЛПЛ.ПЛ ЛГТА1ТЛ.?.Л*?Я Л 1ГТТ
11)' Л'1 о ла-и/к/юь 1/льдью11л -т шш ич^х^
следующий результат.
Теорема 5. Пусть спектр о-А(В) на мнимой оси состоит только из
собственных значений ±¿кга, г-1.....т, кратности пг {кг натуральные числа
без нетривиальных общих делителей), изолированных от остальных частей стл(В), лежащих в левой полуплоскости, оператор В.Чфредгольмов и выполнены предположения теоремы 4 (с единственной цепочкой
бесконечной длины). Тогда устойчивость "^-периодических решений уравнения (5) определяется принципом линеаризованной устойчивости для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в правой части которой стоит выражение соответствующего УР.
Для доказательства этой теоремы используется факт, что экспоненты Флоке к в этой ситуации могут быть определены [17] как собственные
значения 2л-периодической задачи Bu-Rу(у,и,Е)и = А(к)и, А(к) = Л,лг+Агк2 +
... + А,к\ и(0) = «(2/г).
Замечания
10 .Использование мультипликаторов Флоке для полугрупп операторов с ядрами (см.серию известных работ Г.А.Свиридюка [18,19]) явится предметом нашей дальнейшей работы. 2°.Результаты устойчивости для уравнения (5) в условиях групповой инвариантности могут быть получены на основе работы [2].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Логинов Б.В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с вырожденным , оператором при производной// Известия Акад. н$ук УзССР. Физ.-мат. 1988. №1.С. 29-32 ; Письмо в редакцию. 1988. №2. С.78.
2. Loginov B.V., Rousak Yu.B. Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions/ZNonlinear Analysis. TMA. 1991.V.17. ХаЗ.Р. 219-232 .
3. Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Обобщённая жорданова структура в теории ветвления. Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными / Ред. М.С.Салахитдинов. : Ташкент, 1978. С. 133-148.
4. Русак Ю.Б. Об обобщённой жордановой структуре оператор-функции и сопряжённой к ней// Известия Акад. j наук УзССР, Физ.-матД;978,№2. С. 15-19 .
5. Русак Ю.Б. О роли обобщённой жордановой структуры в теории ветвления: Кандидатская диссертация / Инст. мат. АН УзССР. Ташкент, 1979.
6. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М.: Наука, 1969. С. 524; English translation, Wolters-Noordhoff, Ley den. 1974.
7. Loginov B.V. Branching equation in the root subspace// Nonlinear Analysis. TMA.1998.V.32 . №3. P. 439-448.
8. Loginov B.V. On the determination of branching equation in nonstationary
hrancbifwr Hv its mrum «vmrrsAtrv wfnHprn Г.глпп AnqivQt ч anrj РгпЫртч nf
Math. Modelling. Proc. XI Russian Coloq., Samara University. 1993. P. 112-124.
9. Loginov B.V. Bifurcation equation of nonstationary branching induced by spatial variables// Uzbek Math. J. 1995. №1. P. 58-67.
10. Lofiipov В V TVfermin-attnn nf fhff hranr.hina Amiatinn bv its oroim
symmetry-Andronov-Hopf bifurcation// Nonlinear Analysis. TMA. 1997. 28. №12.P. 2033-2047.
11. Loginov В.V., Trenogin V.A. Branching equation of Andronov-Hopf bifurcation under group symmetry conditions// CHAOS, Amer. Inst. Phys.. 1997. 7 (2). P. 225-238.
12. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. О роли обобщённой жордановой структуры при построении и исследовании уравнения разветвления бифуркации Андронова-Хопфа// Вестник Самарской эконом, акад. 1999. №1. С. 224-233.
13. Сидоров Н.А., Благодатская Е.Б. Дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшем дифференциальном выражении// ДАН СССР.1991. С. 1087-1090; Engl. transl.Soviet Dokl.Math.V.36 (1991).
14. Loginov B.V.,Sidorov N. A. .Trenogin V.A. Existence of bifurcation at the presence of one Jordan chain of an odd length// Uzbek Math. J. 1993. №3. C. 64-68.
15. Логинов Б.В.,Сидоров H.A.,Русак Ю.Б. Теорема существования точки бифурации в присутствии одной обобщённой жордановой цепочки нечётной длины // Математ. моделирование. Росс. Акад. Наук, 1997. Т.9,№10.С.30-31.
16. Poincare Н. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste. Paris, Gauthier-Viliars, 1892.
17. CrandailM.G., Rabinowitz P.H. The Hopf bifurcation theorem in infinite dimensions // Archive for Rat. Mech. Anal. 1997. V.67. 1. P. 53-72.
IX r^ISlTiMiI"1 Д X/" ллтттлтт тдл1»г1ггу ПАТппчпчттг ЛТТЙЛОФЛПЛП/А/лпауи ИЖСП"1
Ю. ^РИ^яДдуд 1 IV. uvij^vn LVVf'n.rj uujiVrpVuu UUW^uTOpGu/V J WilVAfl "uul.
наук. 1994. Т. 49, №4. С. 47-74; Engl, trans!. Russian Math. Surveys ( i VV4).
19. Свиридюк Г.А. Фазовое пространство нелинейных уравнений типа Соболева с относительно сильным секторналышм оператором// Алгебра и анализ. 1994. Т.6, № 5 . С.252-271. Engl, transl. V.6 (1995).
Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механико-математический факультет Ташкентского государственного университета, Имеет монографии и статьи в области нелинейного ■функционального анализа и его приложении.
Русак Юрий Борисович, кандидат физико-математических наук, окончил механико-математический факультет Ташкентского государственного университета. Имеет статьи в области нелинейного функционального анализа и его приложений.
та капая [ЗгЛиД ягОлпгкиц шикмМ /и н икО-м шОеМСИП И ЧССКО^О фаКуЛ Ъгпс ¡¡¡¿л
Ульяновского государственного университета. Имеет работы в области нелинейного функционального анализа.
