Вынужденные колебания консольной балки с массой и упруго закрепленным концом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

© С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ С МАССОЙ И УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННЫМ КОНЦОМ

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 12-08-00309 а

В статье рассматриваются вынужденные колебания консольной балки с массой и упруго закрепленным концом. Уравнение движения балки записывается в безразмерном виде. Решение уравнения понимается в обобщенном смысле и опирается на решение краевой задачи с дельта-функцией Дирака в правой части.

Ключевые слова: консольная балка, вынужденные колебания, масса, упруго-закрепленный конец, краевая задача, обобщенное решение.

S.G. Barguev, A.D. Mizhidon FORCED OSCILLATIONS OF CANTILEVER BEAM WITH A MASS AND ELASTICALLY FIXED END

The article deals with the forced vibrations of cantilever beam with a mass and elastically fixed end. The equation of the motion of the beam is written in dimensionless form. The solution of the equation is understood in the generalized sense and is based on the solution of the boundary value problem with the Dirac delta function on the right side.

Keywords: cantilever beam, forced oscillations, mass, elastically fixed end, boundary value problem, generalized solution.

Введение

В работе исследуются вынужденные колебания консольной балки Эйлера-Бернулли с массой и с упруго закрепленным концом с применением техники обобщенных функций. Данная модель рассматривалась в работе [1], где применялся подход, связанный с разложением решения задачи в ряд Фурье по собственным функциям консольной балки без нагрузки и ограничений в виде упругого закрепления, то есть один из концов балки закреплен жестко, а другой свободен.

Модель

Рассмотрим консольную балку (рис.1) с массой и упруго закрепленным концом. Левый конец стержня жестко закреплен, а правый — упруго. Перемещения точек балки описываются функцией

u ( x, t) .

u f ZTZ/

M

k

'/ о а ■ 1 х

Рис.1. Консольная балка с массой и упругим закреплением на конце

В точке а действует вынуждающая сила f (/) = т0ею2 + ф), где т0 - масса несбалансиро-

ванного тела, вращающегося относительно некоторой оси, а е -эксцентриситет этой массы, то есть расстояние от центра масс тела до оси вращения. Балка имеет объемную плотность р , площадь поперечного сечения F , модуль упругости первого рода Е, момент инерции J поперечного сечения относительно нейтральной оси, перпендикулярной плоскости колебаний балки, масса на конце балки М, коэффициент жесткости пружины на конце k .

(1)

Можно показать, что дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее движение рассматриваемой механической системы, имеет вид: Я 2 и

(рГ + Мд( х - а)) ^ (х, t) + Ы (х, t) =

= / ()5( х - а ) .

На и (х, t) наложены краевые условия:

и ( 0, t ) = 0, Iй ( 0, t ) = 0

Я2и /, ч Л д3и ,, ,

1X2 (',t ) = 0 Е |Х3 (1,t) = ки(х,t> . (2)

Положим: и (х, t) = V (х) + р)

Я2и д4и IV

Тогда —- = -а V (х) + р), —- = —— sm(аt + р) •

дt дх дх

Подставив в (1), получим:

д4V

(pF + М5( х - а))(-а2 V(х)) + Ы — (х) = т0еа 2д( х - а) или

д V

-а2pFV(х) + Е^^^г (х) = а2МУ(х)5 (х - а) + т0еа28(х - а)

Разделим обе части последнего уравнения на рЯ и, обозначив и Ы М ^

ь=—, , — = ря ,

рг рг1

получим

д4^ ^ 2 ч „/ \ те дх4

-а^(х)+Ь^ (х) = а2ц№(х)5( х - а)+¡а28( х - а) •

Запишем (3) в безразмерном виде. Для этого в качестве нормировки для амплитуды V (х) примем длину —— , а для координаты х и дельта-функции Дирака д(х - а) примем длину I.

(3)

—

Тогда V (х) = —°—Г(х), х = ¡х, х) = —0—К 4( х), 8(х - а) = -8 (х - ~а),

тъ дх ть I I

где V(х), х, 8 (х - а) - безразмерные амплитуда, координата и дельта-функция Дирака соответст-

2 _ а2тъ 3 _ а2рЯ 4 _ а2Р и _ а2Р

венно. Введем безразмерную частоту [ по формуле [ =-1 =-1 =-, Ъ = 2

Е1 Ъ [

Подставив в (3), получим:

9 л ''''

2 т0е ví~8\ , а I —0— V (х)

) 2 ,„ 74

-а2—^V (х) +

тъ [ тъ 1

=а2ц¡——v (х )-8 (х - а)+—°—1а2-8 (х - а) .

тъ I тъ I

Сократив на а2 ——, получим уравнение движения в безразмерном виде:

тъ

-V(x) + —-^ = /V(x)S(x - a) + S(x - a) (6)

1 34К(Х) ------ ~~~

-V(х) +—= ^ V(х)5 (х - а) + 5 (х - а) (4)

Р дх

В силу краевых условий (2) также в безразмерном виде справедливо

V (о) = о, V1 ( 0) = 0,

V" (1) = 0, ЕЛ^'" (1) = IV(1) , (5)

где Е = ^Е, 3 = 14 V / .

Для удобства перепишем дифференциальное уравнение (4) и краевые условия (5) в виде

дТ(х) Р2 дх'

V (0) = 0, V1 (0) = 0,

V" (1) = 0, EJV111 (1) = kV(1)

где будем считать все величины безразмерными.

Можно доказать, что обобщенное решение дифференциального уравнения (6) имеет вид V(х) = ¡иО(х - а^(а) + G(х - а) , (8)

где функция G( х) является решением краевой задачи

до х)

Р2 дх4

О (-а) = 0,0'(-а) = 0, (9)

О' (1 - а) = 0, Е3О (1 - а) = к0(1 - а) .

Краевая задача (9) решается путем представления О (х) в виде суммы обобщенного решения О0 (х) однородного уравнения

-О( х) + -1 х) = 0

Р2 дх4

и фундаментального решения О„ (х) неоднородного уравнения:

дО Р2 дх

-G( x) + = S( x),

-G( x) + —x) = S( x),

то есть

где

G ( x ) = G0 ( x) + G.( x),

G0 ( x) = c1S1 ( qx) + c2 S2 ( qx) + c3 S3 ( qx) + c4 S4 ( qx ) . , , cosh ( qx ) + cos ( qx ) , ч sinh ( qx ) + sin ( qx )

Si (qx)=—^2—, S2 (qx ) = —^—,

, , cosh ( qx )- cos ( qx ) , ч sinh ( qx )- sin ( qx )

S3 (qx) = —^2— , S4 (qx) = —^—

- функции Крылова, Ci, C3, С 4 - неизвестные постоянные. Частное решение G* (x) можно представить в следующем виде: G* ( x )= в( x ) qS4(qx),

где в ( х ) - функция Хэвисайда, q = ^[p .

Следует заметить, что величины G(х — a), V(a) зависят от безразмерной частоты ¡¡ .

Поэтому безразмерная амплитуда V (х)в выражении (8) также зависит от безразмерной частоты ¡ .

Заключение

Таким образом, в работе описана математическая модель вынужденных колебаний консольной балки с массой и упруго закрепленным концом. Для анализа полученного дифференциального уравнения с участием дельта-функции был применена техника обобщенных функций, подразумевающая решение этого уравнения в обобщенном смысле. Обобщенное решение полученного дифференциального уравнения опирается на обобщенное решение соответствующей краевой задачи. Выписано выражение для амплитуд точек балки, зависящее от частоты приложенной вынуждающей силы.

Литература

1. Hamdan M.N. and Jurban B.A. Free and Forced Vibrations of Restrained Cantilever Beam Carrying a Concentrated Mass // JKAU: Eng.Sci. Vol. 3. P. 71-83 (1411 A.H./1991 a.D.)

2. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. О вынужденных колебаниях механической системы установленной на упругом стержне // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2004. №1. С. 32-34.

3. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Способы расчета собственных колебаний одной механической системы и их сравнительный анализ // Вестник Бурятского государственного университета. 2005. Вып. 9. С. 192-200.

4. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. К исследованию вынужденных колебаний упругой механической системой каскадного типа // Вестник Бурятского государственного университета. 2008. Вып. 9. С. 151-155.

5. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Лебедева Н.В. К исследованию виброзащитной системы с упругим основанием // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009. №2(22). С. 13-20.

6. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Определение собственных частот простейшей механической системы на упругом основании // Вестник Бурятского государственного университета. 2009. Вып. 9. С. 58-66.

7. Баргуев С.Г., Елтошкина Е.В., Мижидон А.Д., Цыцыренова М.Ж. Исследование возможности гашения колебаний масс, установленных на упругом стержне // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. №4(28). С.78-84.

8. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д., Цыцыренова М.Ж. О пределах применимости классической схемы расчета собственных частот в виброзащитной системе с двумя защищаемыми объектами // Вестник Бурятского государственного университета. 2010. Вып. 9. С. 135-144.

9. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. О собственных колебаниях механической системы каскадного типа, установленной на упругом стержне // Вестник Восточно-Сибирского государственного технологического университета. 2010. № 1. С. 26-33

10. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. Краевая задача для одной гибридной системы дифференциальных уравнений // Вестник Бурятского государственного университета. 2013. Вып. 9. С. 130-137.

Баргуев Сергей Ганжурович (Гавриилович), кандидат физико-математических наук, доцент Бурятского филиала Сибирского университета телекоммуникаций и информатики, е-mail barguev@yandex.ru

Мижидон Арсалан Дугарович, доктор технических наук, профессор Восточно-Сибирского университета технологии и управления, е-mail miarsdu@esstu.ru

Barguev Sergey Ganzhurovich(Gavriilovich), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Buryat branch of Siberian University of Telecommunication and Information.

Mizhidon Arsalan Dugarovich, doctor of technical sciences, professor, East-Siberian State University of Technology and Management.