К исследованию краевой задачи для балки Тимошенко с упруго прикрепленным телом с двумя степенями свободы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.62, 519

doi: 10.18101/2304-5728-2016-1-88-101

© А. Д. Мижидон, А.В. Харахинов

К исследованию краевой задачи для балки Тимошенко с упруго прикрепленным телом с двумя степенями свободы 1

В работе рассматривается механическая система, состоящая из твердого тела с двумя степенями свободы, прикрепленного с помощью двух пружин к балке Тимошенко. Для вывода уравнений динамики используется вариационный принцип Гамильтона. Для полученной в виде гибридной системы дифференциальных уравнений математической модели обсуждается подход к исследованию свободных колебаний.

Ключевые слова: вариационный принцип Гамильтона, твердое тело, балка Тимошенко, математическая модель, гибридная система дифференциальных уравнений.

A. D. Mizhidon, А. V. Kharakhinov

The research of boundary value problem for a Timoshenko beam having elastically attached solid with two degrees of freedom

The article deals with the mechanical system consisting of solid attached to a Timoshenko beam by two springs. The Hamilton's variational principle was used for derivation of dynamic equations. We discussed the approach to research free vibrations for the mathematical model, obtained as a hybrid system of differential equations.

Keywords: Hamilton's variational principle, solid, a Timoshenko beam, mathematical model, hybrid system of differential equations.

Введение

Исследованиям систем взаимосвязанных твердых тел, прикрепленных к упругому стержню (балке Эйлера-Бернулли), посвящены следующие работы [1-17]. В работах [1-4] для построения математических моделей использовался вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, который справедлив, как для систем с сосредоточенными, так и для систем с распределенными параметрами. Полученные на основании принципа Гамильтона, уравнения движений таких механических систем являются гибридными системами дифференциальных уравнений (ГСДУ). Под ГСДУ понимается система дифференциальных уравнений, состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 15-08-00973-а

производных. В работе [6] была предложена обобщенная математическая модель системы твердых тел, прикрепленных к балке Эйлера-Бернулли в виде ГСДУ, заданной структуры, и на ее основе разработан единый метод построения частотного уравнения для данного класса механических систем. Отметим, в приведенных выше работах основой описания стержня являлась теория Эйлера-Бернулли. В дальнейшем Релей предложил улучшение классической теории Эйлера-Бернулли, вводя в уравнение движения инерцию вращательного движения. В первой половине прошлого столетия Тимошенко развил теорию, добавив влияние поперечного сдвига. В работах [18,19] рассматривался стержень, с прикрепленным осциллятором, для которого уравнения движения учитывали инерцию вращательного движения стержня.

В данной работе на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского строится математическая модель балки Тимошенко, с прикрепленным с помощью двух упругих элементов твердым телом, с двумя степенями свободы. Под балкой Тимошенко понимается стержень, при описании которой учитываются поперечные сдвиги и инерция поворота сечений. Для построенной модели исследуется возможность обобщения подхода к построению частотного уравнения, развиваемого в рабо-тах[1-7].

1. Постановка задачи

Рассмотрим механическую систему, состоящую из массы т, установленной с помощью двух пружин на упругом стержне. Пружины жёсткости с и с2 присоединены к стержню в точке х = а1 и х = а2, соответственно.

Введем две системы координат: неподвижную систему координат 0 хг, центр которой совпадает с левым концом стержня, а ось 0х направлена вдоль оси балки; подвижную систему координат 0'х'г', связанную с твердым телом. В состоянии равновесия соответствующие оси координат 0хг и 0 'х г ' параллельны. Масса т может перемещаться поступательно в направлении оси 0г и совершать угловые отклонения р. Перемещение точек балки в направлении оси 0г описывается функцией и(х,t).

Для вывода уравнений движения данной механической системы используется вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, который, как было сказано выше, справедлив, как для систем с сосредоточенными, так и для систем с распределенными параметрами. Принцип Гамильтона-Остроградского для консервативной системы принимает вид (вариация интеграла действия обращается в нуль):

(Т - и ^ = 0. (1)

'0

где Т — кинетическая энергия системы, и - потенциальная энергия системы.

Потенциальная энергия системы складывается из суммы энергии пружины и стержня, а кинетическая энергия из суммы энергии тела и стержня

Т = т + Т2, и = и1 + и2, где и1,Т — соответственно потенциальная и кинетическая энергия стержня, и2,Т2 — соответственно потенциальная энергия пружин и кинетическая энергия твёрдого тела.

\ * -Ч 9

0 \

Л

-+■ х

а1

а2

0

75

л;

Рис. 2. Механическая система «упругая балка с телом, установленным на двух пружинах»

Выражения для потенциальной и кинетической энергии балки Тимошенко, в соответствии с технической теорией стержней имеют вид [20]

1 1

т.= 11 рг

0

и = I ^^_№>) А + 21 %СГР(х,,)2ёх,

V

сх2

дх

ди(х, 0 У х + 1 г (д2и(х, 0 др(х, 21 I дГ ) х + 21 Р

(2)

дхд1

дх

ёх.

2

где и1, Т - соответственно потенциальная и кинетическая энергии балки; Е - модуль Юнга; I - момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения; и(х,^) - поперечное смещение точек балки с координатой х в момент времени; % - фактор сдвига; G -модуль сдвига балки; Г - площадь поперечного сечения, перпендикулярной к плоскости колебаний; Р(х,^) - угол сдвига: р- плотность материала стержня.

Заметим, согласно теории плоского движения твердого тела, движение любой точки тела с координатами х', z' в системе координат 0'х'г' в общем случае удовлетворяет системе

Г X = x0 + x' COS® — z' sinffl,

\ 0 , (3)

[z = z0 + X Sin p + z cos p, где x0, z0 — перемещение в неподвижной системе координат 0xz начала координат системы 0 ' x' z'.

Принимая во внимание, что перемещение тела в направлении оси 0x отсутствует, а также предполагая малым угол поворота (заменяя синус его аргументом, а косинус единицей), можем перемещение в направлении оси Oz любой точки тела с координатами x', z' записать в виде

z = z0 + z' + x' p. (4)

Таким образом, в соответствии с (3) перемещения в направлении оси Oz точек крепления упругих элементов к телу zt, z2 запишутся в виде

zj = z + z' — dp, z2 = z + z2 + d2p, где z — перемещение в неподвижной системе координат в направлении оси 0z начала координат системы 0 'x' z'; z', z2 — компоненты координат точек крепления упругих элементов к телу; dx, d2 — соответственно расстояния от оси 0 z до осей пружин прикрепленных к стержню в точке a' и точке a2.

Учитывая, что потенциальная энергия пружины пропорциональна квадрату ее линейной деформации запишем потенциальную энергию пружин следующим образом

C'(z + z' — dpp — u(aj, t))2 c2( z + z2 + d2p — u(a2, t))2 U 2 — + , \5 /

2 2 2

где С', c2 — жесткость упругих элементов.

Кинетическую энергию твердого тела можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движений:

• 2 7-2

т =—+Ipp-, (6)

2 2 2

где I — момент инерции твердого тела относительно центра масс, при повороте на угол p.

Построим математическую модель рассматриваемой механической системы.

2. Математическая модель.

Для вывода уравнений движения воспользуемся вариационным принципом Гамильтона-Остроградского (1).

Составим интеграл действия.

• 2 7-2

+1<<р

2

2

с1(г + г/ -¿<р-и(а1,t))2 с2(г + ¿2 + ¿2р-и(а2,t))2

2

+-Г I2 dx+11Р1 (

2

+

1г

■2 г р^

8?

а2и (х, ?) 8в

(7)

8x8?

а?

-1[£1 2

82и( х, ?) 8в

8х2

8х

dx---

2

1 г

2 Г Х^ Р2

Вариацию 83 функционала (6) можно найти, как производную от функции

ф(а) = 3 (г (•) + а8г()),р() + а8р(0), и(, •) + а8и((-),(-)), £(•, •) + а80(О,(О)) по параметру а при значении а= 0. Отметим, здесь допустимые вариации 8^(-)), 8р(^)), 8и((-),(-)), 8/3 ((•),(•)) в граничных точках временного интервала ?0 < ? < обращаются в нуль. Составим функцию ф(а):

Ф(а) = {

т( г + а8г)2 1р(<Ь + а8р>)

2

+ -

2

с1(г + а8г + г/ - d1(р + а8р) - и(а1,?) -а8и(а1,?))2

2

с2 (г + а8г + г2 + d2 (р - а8р) - и (а2, ?) - а8и (а2, ?))2

2

1 Г р1 (8 2(и(х, ?) + а8и( х, ?)) 8(в(х, ?) + а8в(х, ?))

+

+—

8x8?

8?

(8)

¿х +

+— 2

1Г рF Г8и (х, ?) + а8и( х, ?) V ¿х -1Г ХGF (в( х, ?) + а8/3(х, ? ))2 ¿х

2 о V 8? / 2 о

1 1 2 Г

' Г Я2

— I Е1 2

82 (и (х, ?) + а8и( х, ?)) 8(в(х, ?) + а8в( х, ?))

Продифференцировав (8) по параметру а и вычислив найденную производную при а= 0, получим вариацию интеграла действия (6), которая согласно принципу Гамильтона-Остроградского (1) должна равняться нулю:

2

2

2

2

83 =

дф(а)

да

а=0 л0

1

: 1^mZ8Z + 1фф8ф -с1( z + z1' - ёф- и (а1,Л ))8z +

+с1ё1(z + Z'' - ёфф- и(а1,Л))8ф + с1 (z + ё1ф- и(а1, Л))8и(а1, Л) --с2 (z + z2 + ё2ф- и (а2, t))8z - с2ё2 (z + z2 + ё2ф- и (а2, t))8ф +

+с2 (z + z'2 + ё2ф- и (а2, t ))8и (а2, t) + 1 рЦ

д2и( х, t) / х, t) ^ д 28и (х, t)

дxдt

дл

дxдt

-ёх -

-1 р1|

д2и(х,л) /х,л) ]58//(х,л)

дхдл

дл

-1 %ОГ (/(х, Л)8//( х, л )ёх -1Е1

дл

' ^ Я2.

)ёх + 1 р¥

ди( х, Л)) \д8и( х, л)

дЛ

дл

ёх -

д2и( х, Л) д/( х, Л)

2

дх2

дх

д 8и (х, Л)

дх2

ёх +

+$Е1 fд2u(x, Л) д/(х, Л) ^ д8//( х, Л)

дх2

дх

дх

= 0.

Входящие, в полученное выражение, интегралы проинтегрируем по частям:

д8и( х, Л)

1) интегралы, содержащие вариации производных 8Z, 8ф,

дл

д8//( х, Л)

дл

по переменной л;

д8//( х, Л)

2) интегралы, содержащие - по переменной х;

3) интегралы, содержащие

4) интегралы, содержащие

дх

д28и( х, Л)

дхдл д28и( х, Л) дх2

, дважды по переменным х и Л;

, дважды по переменной х.

При этом все слагаемые, выносимые из-под интеграла, обращаются в нуль так, как на концах временного отрезка обобщенные координаты не варьируются, и кроме того в силу имеющихся условий прикрепления стержня на концах и введения естественных граничных условий. Пусть в соответствии с этим на функции и(х,Л) и /(х,Л) наложены некоторые граничные условия

Г1(и(0, Л),/(0, Л)) = 0, Г 2(и(1, Л),/(1, Л)) = 0. (9)

В данной статье имеющие здесь место краевые условия (9), вызванные конкретным прикреплением стержня на концах, и в зависимости от них введенные естественные граничные условия, не обсуждаются.

|[тг" + с1(г - 11 р - и(а1, t)) + с2(г + +d2р - и(а2, t)]5zdt +

Г0

|[ 1р,Ч) - Сг - d1 р - и(а1, t)) - c2d2(г + d2р - u(а2,t)) ^ 5р1г +

Г0

41 +11

Г> 0

& 2

Е1

( д 2и( х, t) д/( х, t

+ р^

дх2 \

д2и( х, 0 дГ2

дх

дхдГ2

р/|ди^) - /х,г)

дх

+

- с1(г - 1рр-и(х,Г))5(х - а1) +

(10)

+ с2 (г + 12р - и( х, Г ))5 (х - а2)]5и 1х1Г +

+

Г1 / 11

дх

2

Е1

д 2и( х, Г) д/( х, Г)

дх2

дх

- Р1^

дГ2

д2 | ди(х, Г)

дх

- /( х, Г) 1 + х, Г

5/? 1х1Г = 0.

В силу независимости и произвольности вариаций обобщенных координат 5г(Г),5р(Г),5и(х,Г) и 5//(х,Г) в силу (8) имеем ГСДУ

тг + с1(г - 11р - и(а1, Г)) + с2(г + +12 р- и(а2, Г)) = 0,

I рр - с111(г -11 р - и(а1,Г)) + с212(г +12 р - и(а2, Г)) = 0,

д2

дх2

2

Е1

д 2и( х, Г) д/( х, Г)

дх2

дх

д3

дхдГ2

р1 |ди|Г) -/(х,Г)

+

+рF

д 2и( х, Г)

дГ

2 = с1(г -11 р - и (х, Г))5(х - а1) +

+ с2 (г +12 р - и( х, Г ))5 (х - а2),

(11)

_д_ дх

2

Е1

д 2и( х, Г) д/( х, Г)

дх2

дх

д | ди(х,Г) дх

- р1 д^| —/(х,Г) | + %GFp(х,Г) = 0.

Решение ГСДУ (11) следует понимать в обобщенном смысле. В связи с этим при исследовании следует ввести понятие обобщенного решения гибридной системы дифференциальных уравнений (11), удовлетворяющей граничным условиям (9).

Отметим, в качестве определения обобщенного решения дифференциальных уравнений (11) можно принять соотношение (10), соответствующее вариационному принципу, и при этом класс основных функций трактовать как множество допустимых вариаций обобщенных координат в

принципе Гамильтона-Остроградского. Таким образом, при исследовании краевой задачи для ГСДУ (11) под ее обобщенным решением понимаем функции z(t), (p(t), u(x,t) и P(x,t), удовлетворяющие некоторым краевым условиям (9), и для которых при любых допустимых вариациях обобщенных координат Sz(t ),Sp(t), Su( x, t), SP( x, t) имеет место тождество (10).

3. Собственные значения краевой задачи.

В случае стержня постоянного поперечного сечения система (11) примет вид

mz + c1(z - dpp- u(a1,t)) + c2(z + d2p- u(a2, t)) = 0,

Ip(p - c1d1 (z - dpp - u(a1, t)) + c2d2 (z + d2p - u(a2, t)) = 0,

^4u(x, t) ^тдър( x, t) Td 4u( x, t) тдър( x, t)

EI-- EI - pI—ir^r + pI 2 +

dx4 dx3 dx dt2 dxdt

J7d2u( x, t) , , , . (12)

+pF-2— = c1(z - dpp-u(x,t))S (x - a1) +

dt

+ c2 (z + d2p - u( x, t))S (x - a2),

ei d^tl - ei дрЛ - pi d^+pi mxA+xGmx,t)=o.

dx3 dx2 dxdt2 dt2

Подставив в систему (12) функции z(t), p(t), u(x, t), P(x, t), в виде z(t) = A sin Xt, p(t) = Ap sin Xt, u(x, t) = V(x)sin Xt, P(x, t) = B(x)sin Xt, получим алгебраическо-дифференциальную систему уравнений:

mAX2 + c1( A - d1 Ap - VЦ)) + c2(A + d2 Ap - V (a2)) = 0, IpApX2 - c1(A - dxAp - V(a,)) + C2(A + d2Ap - V(a2)) = 0, d V(x) d3B(x) + pXX_ d2V(x) - pX_ dB(x) - pFX2 y(x) = (13)

dx Сх Е Сх Е Сх Е1

с с

= Е1 (А - с Ар - V(х)Щх - а1) + Е1 (А + С2Ар - V(х)Щх - а2),

С^КСх) - СВх) + сСУЮ - Р^В(Х) + Х^ых) = 0. Сх Сх Е Сх Е Е1

Отметим, функции V(х) и В(х) удовлетворяют граничным условиям соответствующим граничным условиям, накладываемым на функции и( х, t) и Р( х, t) (9):

ух(У (0), В(0)) = 0, у2(У(1), В(1)) = 0. (14)

Вектора А, Ар , функции V(х) и В(х) назовём обобщённым решением краевой задачи системы (13)-(14), если они удовлетворяют алгебраиче-

ским уравнениям из системы (13), краевым условиям (14) и при любых допустимых вариациях обобщенных координат 6и(х,t), 8(3(х,t) имеют

место тождества при любом t е [0, Т ]:

г( dV(х) d3В(х) + рХ1 d'V(х) рХ СВ(х) pFХ¿ „ I сЬ? ёхг Е Сх2 Е Сх Е1

С „ с.

—А - СА - V(х))5(х - а,) --¿-(А + йгА„ - V(х))<5(х - а2) П

Е1 19 - " - 1 Е! 2 9 ^ " ^ 2') (15)

05ы( х, t )Сх = 0,

ил-(х) + х су«, -рХ!в(х)+^-ех^т = о.

о ^ Сх Сх Е Сх Е Е1 )

Действительные значения Х, при котором существует решение краевой задачи системы (13)-(14) назовем собственным значением краевой задачи.

Теорема. Если вектора А, А,, функции V(х) и В(х) удовлетворяют алгебраическо-дифференциальной системе уравнений (13), функции V (х) и В(х) граничным условиям (14), то для функций V(х) и В(х) справедливо представление

с с

V (х) = х - ¿0-4 А - С А, - V (а)) + V2( х - а^)—!-(А + С 2 А,, - V (а!)),

Е1 Е1 (16)

сс В(х) = В1(х - ¿1) Е^ (А - С А9 -V (¿1)) + В2(х - ¿2) е1 (А + йА - V (¿2)),

где функции Vi (х), В {(х), (, = 1,2) являются обобщенными решениям системы

с V (х) - с 3 В, (х) + рх2 с V (х) - рх2 Щ (х) - pFХ! ^ (х) = х)

С<х С<х Е С<х Е С<х ^Е! (17)

d-У¿:Xl - ССВх)+рх: СИх) - г*1 В, (х)+(х)=0,

Сх Сх Е Сх Е Е1

с краевыми условиями

у^ (-а,), В, (-а,)) = 0, ^ С - а,), В, (I - а,)) = 0 . (18)

Доказательство. Для функций V(х) и В(х), удовлетворяющих представлению (16), справедливость выполнения краевых условий (14) непосредственно следует из краевых условий (18) для функций Vi (х), В{ (х), (, = 1,2), в силу линейности представления (16) и краевых условий.

Если вектора А, А, , функции V(х) и В(х) удовлетворяют алгебраиче-

ско-дифференциальной системе уравнений (13), то при любых допустимых вариациях обобщенных координат 6и(х,t), 8(3(х,t), они удовлетворяют соотношениям (15). Отметим, из первого выражения из (15) следует

Г ( С4V(х) С3В(х) рЛ2 СV(х) рЛ2 СВ(х) Р^Л2, \ , ч,

II-Н--^ + ~--^-----V(х) 5и(х,ОСх =

„ ^ Сх Сх Е Сх Е Сх Е1 у

с с

= Т^(А-САр -V(al))SuЦ,t) + +~^(А + С2Ар - V(a2))Su(a2,ОСх. Е1 Е1

В силу (16) функции V(х) и В(х) можем представить в виде

г

V (х) = х - 4) Е~ (А - С, Ар - V (4Ж4- +

(19)

0

1

(20)

+ |V2(х-£,)-2-(А + С2Ар -V(4Ж4 -а2Ж

0 Е

В(х) = 1 д(х -4) Е~ (а - с Ар - V- а ¥4 +

0

1

(21)

+ 1В2(х -4)Е~(А + С2Ар - V(4Ж4 - а2)С4

0 Е

В том, что для обобщенного решения V(х) и В(х) справедливо представление (16) убедимся непосредственной подстановкой (20) и (21) в левую часть (19) и во второе соотношение из системы (15).

Подставим (20) и (21) в левую часть (19), Далее, меняя порядок интегрирования и учитывая (17), получим

11

СХ(х-4) С3В1(х-4) + рЛ2 С^(х-4) рЛ2 СВ1(х-4)

0 0,, Сх Сх Е Сх Е Сх

р^ V (х - 4) Н ( а - С Ар - V(4М4 - а )С4 ^ Е1 Е1

J -

Su( х, t )Сх +

г (( с 4V2( х - 4) - с 3 В2( х - 4) + рлЛ_ с %( х - 4) - Л св2( х - 4) Ц Сх4 Сх3 Е Сх2 Е Сх

2 > „ >

Е1 2У

1

V2(х - 4) —мА + с2Ар - V(4)S(4-ах)С4

ЕГ 2

Su (х, t )Сх =

: |Su(х,t)Сх|Е1 (А - С Ар - V(4))S(4 - а^(х - 4)С4 +

0 0 Е-1

1 1

х,t)сх|Е;(А + с, Ар - V(4)Ж4 - а2Жх - 4)С4 =

0 0 Е

с с

= -ч А - С Ар - V (а1 ))Su (а1, t) + -Ч А + С2 Ар - V ЮЖ^, t), Е1 Е1

что совпадает с правой частью (19).

и

Аналогично, подставив (20)-(21) во второе соотношение из системы (15) можем показать выполнение равенства. Теорема доказана.

Заключение

В статье для механической системы, состоящей из твердого тела с двумя степенями свободы, прикрепленного с помощью двух пружин к балке Тимошенко построена математическая модель в виде гибридной системы дифференциальных уравнений. Для построения был использован вариационный принцип Гамильтона-Остроградского. Была сформулирована и доказана теорема, о представлении решения вспомогательной ал-гебраическо-дифференциальной системы уравнений, на основе которой строится уравнение частот, аналогично [5,6].

Литература

1. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Определение собственных частот простейшей механической системы на упругом основании //Вестник Бурятского государственного университета. — 2009. — № 9. — С. 58-66.

2. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Лебедева Н.В. К исследованию виброзащитной системы с упругим основанием // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — 2009. — №2(22). — С. 13-203.

3. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. О собственных колебаниях механической системы каскадного типа, установленной на упругом стержне //Вестник ВСГТУ. — 2010. — № 1. — С. 26-32.

4. Баргуев С.Г., Елтошкина Е.В., Мижидон А.Д., Дабаева М.Ж.(Цыцыренова М.Ж.) Исследование возможности гашения n масс, установленных на упругом стержне // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — 2010. — №4(28). — C. 78-84.

5. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. Краевая задача для одной гибридной системы дифференциальных уравнений // Вестник Бурятского государственного университета. — 2013. — № 9. — С. 130-137.

6. Мижидон А.Д., Дабаева М.Ж.(Цыцыренова М.Ж.) Обобщенная математическая модель системы твердых тел, установленных на упругом стержне // Вестник ВСГТУ. — 2013. — № 6. — С. 5-128.

7. Мижидон А.Д., Дабаева М.Ж. Математическое моделирование, учет демпфирующих свойств упругих связей в обобщенной математической модели системы твердых тел, установленных на упругом стержне // Вестник ВСГУТУ. — 2015. — № 2. — С. 10-17.

8. Cha P.D. Free vibrations of a uniform beam with multiple elastically mounted two-degree-of-freedom systems // Journal of Sound and Vibration. -2007. — № 307. — P. 386-392.

9. Wu J.-J., Whittaker A.R. The natural frequencies and mode shapes of a uniform cantilever beam with multiple two-DOF spring-mass systems // Journal of Sound and Vibration. — 1999. — № 227. — P. 361-381.

10.Wu J.S., Chou H.M. A new approach for determining the natural frequencies and mode shape of a uniform beam carrying any number of spring

masses // Journal of Sound and Vibration. — 1999. — № 220. — P. 451-468.

11.Wu J.S. Alternative approach for free vibration of beams carrying a number of two-degree of freedom spring-mass systems // Journal Structural Engineering. — 2002. — № 128. — P. 1604-1616.

12.Naguleswaran S. Transverse vibration of an Euler-Bernoulli uniform beam carrying several particles // International Journal of Mechanical Sciences.— 2002. — № 44. — P. 2463-2478.

13.Naguleswaran S. Transverse vibration of an Euler-Bernoulli uniform beam on up a five resilient supports including end //Journal of Sound and Vibration. — 2003.— № 261. — P. 372-384.

14.Kukla S., Posiadala B. Free vibrations of beams with elastically mounted masses // Journal of Sound and Vibration. — 1994. — № 175(4). — P. 557564.

15.Su H., Banerjee J.R. Exact natural frequencies of structures consisting of two part beam-mass systems // Structural Engineering and Mechanics.— 2005.— № 19(5). — P. 551-566.

16.Lin H.Y., Tsai Y.C. Free vibration analysis of a uniform multi-span beam carrying multiple spring-mass systems // Journal of Sound and Vibration.— 2007. — № 302. — P. 442-456.

17.Wu J.S., Chen D.W. Dynamic analysis of uniform cantilever Beam carrying a number of elastically mounted point masses with dampers // Journal of Sound and Vibration. — 2000. — №. 229(3). — P. 549-578.

18.Yesilce Y., Demirdag O., Catal S. Free vibrations of a multi-span Timo-shenko beam carrying multiple spring-mass systems // Sadhana. — 2008. — № 33(4). — P.385-401.

19.Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Дабаева М.Ж. (Цыцыренова М.Ж.) Собственные колебания двухпролётной балки Тимошенко с присоединённым осциллятором // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — 2013. — № 4 (40). — C. 34-38.

20.Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Чело-мей (пред.). Т.1. Колебания линейных систем. /Под редакцией В.В. Болотина.— М.: Машиностроение, 1978. — 136 с.

21.Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике.— М.: Наука, 1976. — 280 с.

References

1. Barguev S. G., Mizhidon A. D. Opredelenie sobstvennykh chastot pros-teishei mekhanicheskoi sistemy na uprugom osnovanii [Determination of Natural Frequencies of the Simplest Mechanical System on an Elastic Foundation]. Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta - Bulletin of Buryat State University. 2009. No. 9. Pp. 58-66.

2. Mizhidon A. D., Barguev S. G., Lebedeva N. V. K issledovaniyu vibro-zashchitnoi sistemy s uprugim osnovaniem [To the Research of Vibration Isolation System on an Elastic Foundation]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie - Modern Technologies. System Analysis. Modeling.

2009. No. 2(22). Pp. 13-203.

3. Mizhidon A. D., Barguev S. G. O sobstvennykh kolebaniyakh mekhani-cheskoi sistemy kaskadnogo tipa, ustanovlennoi na uprugom sterzhne [About Natural Vibrations of the Mechanical Cascade-Type System Mounted on an Elastic Rod]. Vestnik VSGTU- Bulletin of ESSTU. 2010. No. 1. Pp. 26-32.

4. Barguev S. G., Eltoshkina E. V., Mizhidon A. D., Dabaeva M. Zh. (Tsyt-syrenova M. Zh.) Issledovanie vozmozhnosti gasheniya n mass, ustanovlen-nykh na uprugom sterzhne [Studies in Possibility of Suppression of n Masses Mounted on an Elastic Rod]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Mod-elirovanie - Modern Technologies. System Analysis. Modeling. 2010. No. 4(28). Pp. 78-84.

5. Mizhidon A. D., Barguev S. G. Kraevaya zadacha dlya odnoi gibridnoi sistemy differentsial'nykh uravnenii [A Boundary Value Problem for the Hybrid System of Differential Equations]. Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta - Bulletin of Buryat State University. 2013. No. 9. Pp. 130-137.

6. Mizhidon A. D., Dabaeva M. Zh. (Tsytsyrenova M. Zh.). Obobshchen-naya matematicheskaya model' sistemy tverdykh tel, ustanovlennykh na uprugom sterzhne [Generalized Mathematical Model of the System of Solids Mounted on Elastic Rod]. Vestnik VSGUTU- Bulletin of ESSUTM. 2013. No. 6. Pp. 5-12.

7. Mizhidon A. D., Dabaeva M. Zh. Matematicheskoe modelirovanie, uchet dempfiruyushchikh svoistv uprugikh svyazei v obobshchennoi matemati-cheskoi modeli sistemy tverdykh tel, ustanovlennykh na uprugom sterzhne [Mathematical Modeling, ^^idemt^ of Elastic Links Damping Properties in Generalized Mathematical Model of the System of Solids Mounted on Elastic Rod]. Vestnik VSGUTU - Bulletin of ESSUTM. 2015. No. 2. Pp. 10-17.

8. Cha F. D. Free Vibrations of a Uniform Beam with Multiple Elastically Mounted Two-Degree-of-Freedom Systems. Journal of Sound and Vibration. 2007. No. 307. Pp. 386-392.

9. Wu J. J., Whittaker A. R. The Natural Frequencies and Mode Shapes of a Uniform Cantilever Beam with Multiple Two-DOF Spring-Mass Systems. Journal of Sound and Vibration. 1999. No. 227. Pp. 361-381.

10. Wu J. S., Chou H. M. A New Approach for Determining the Natural Frequencies and Mode Shape of a Uniform Beam Carrying Any Number of Spring Masses. Journal of Sound and Vibration. 1999. No. 220. Pp. 451-468.

11.Wu J. S. Alternative Approach for Free Vibration of Beams Carrying a Number of Two-Degree-of-Freedom Spring-Mass Systems. Journal of Structural Engineering. 2002. No. 128. Pp. 1604-1616.

12. Naguleswaran S. Transverse Vibration of an Euler-Bernoulli Uniform Beam Carrying Several Particles. Int. J. Mech. Sci. 2002. No. 44. Pp. 24632478.

13. Naguleswaran S. Transverse Vibration of an Euler-Bernoulli Uniform Beam on up a Five Resilient Supports Including End. Journal of Sound Vibration. 2003. No. 261. Pp. 372-384.

14. Kukla S., Posiadala B. Free Vibrations of Beams with Elastically

Mounted Masses. Journal of Sound and Vibration. 1994. No. 175(4). Pp. 557564.

15. Su H., Banerjee J. R. Exact Natural Frequencies of Structures Consisting of Two Part Beam-Mass Systems. Structural Engineering and Mechanics. 2005. No. 19 (5). Pp. 551-566.

16. Lin H. Y., Tsai Y. C. Free Vibration Analysis of a Uniform Multi-Span Beam Carrying Multiple Spring-Mass Systems. Journal of Sound Vibration. 2007. No. 302. Pp. 442-456.

17. Wu J. S., Chen D. W. Dynamic Analysis of Uniform Cantilever Beam Carrying a Number of Elastically Mounted Point Masses with Dampers. Journal of Sound and Vibration. 2000. No. 229(3). Pp. 549-578.

18. Yesilce Y., Demirdag O., Catal S. Free Vibrations of a Multi-Span Ti-moshenko Beam Carrying Multiple Spring-Mass Systems. Sadhana. 2008. No. 33(4). Pp. 385-401.

19. Mizhidon A. D., Barguev S. G., Dabaeva M. Zh. (Tsytsyrenova M. Zh.) Sobstvennye kolebaniya dvukhproletnoi balki Timoshenko s prisoedinennym ostsillyatorom [Free Vibrations of Two-Span Timoshenko Beams with Adjoint Oscillator]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie - Modern technologies. System analysis. Modeling. 2013. No. 4 (40). Pp. 34-38.

20. Vibratsii v tekhnike. T. 1. Kolebaniya lineinykh sistem [Vibrations in Technics. V. 1. Vibrations of Linear Systems]. In 6 v. Moscow: Mashinostroe-nie Publ., 1978. 136 p.

21. Vladimirov V. S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoi fizike [Generalized Functions in Mathematical Physics]. Moscow: Nauka Publ., 1976. 280 p.

Мижидон Арсалан Дугарович, доктор технических наук, профессор, Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, e-mail: miarsdu@mail. ru.

Харахинов Алдар Владиславович, аспирант, Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, e-mail: comma967@gmail.com.

Mizhidon Arsalan Dugarovich, DSc in Engineering, Professor, East Siberian State University of Technology and Management.

Kharakhinov Aldar Vladislavovich, Postgraduate, East Siberian State University of Technology and Management.