Собственные колебания двухпролетной балки Тимошенко с присоединенным осциллятором Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.98 Мижидон Арсалан Дугарович,

д. т. н., профессор, зав. кафедрой «Прикладная математика», Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления,

тел. (3012)43-14-15,e-mail: miarsdu@esstu.ru Баргуев Сергей Ганжурович (Гавриилович), к. ф.-м. н., доцент, зав. кафедрой «Высшая математика и общепрофессиональные дисциплины», Бурятский филиал, Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики,

тел. (3012)433526, e-mail:barguev@yandex.ru Цыцыренова Мария Жалсановна, преподаватель кафедры «Прикладная математика», Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления,

тел. (914)8318596, e-mail: miralira@mail.ru

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВУХПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ ТИМОШЕНКО С ПРИСОЕДИНЕННЫМ ОСЦИЛЛЯТОРОМ

A.D. Mizhidon, S.G. Barguev, M.J. Tsytsyrenova

FREE OSCILLATIONS OF THE DOUBLE-SPAN TIMOSHENKO BEAM WITH AN ATTACHED OSCILLATOR

Аннотация. В статье предлагается методика исследования собственных колебаний двух-пролетной балки Тимошенко с прикрепленным осциллятором. Методика основана на обобщении аналитико-численного метода, разработанного авторами для систем, представляющих собой упругий стержень с закрепленными краями и прикрепленной на нем с помощью упругих связей системой твердых тел.

Ключевые слова: балка Тимошенко, осциллятор, уравнения движения, обобщенное решение, краевая задача, частотное уравнение.

Abstract. In the paper, a methodology for the study of oscillations of double-span Timoshenko beam with an attached oscillator is proposed. The technique is based on the generalization of the analytic-numerical method developed by the authors for systems representing an elastic rod with fixed edges and attached with elastic links system of solid.

Keywords: Timoshenko beam, movement equation, generalized solution, boundary value problem , frequency equation.

Введение

При исследовании механических колебаний элементов различных конструкций часто расчетной схемой исследования является твердое тело (или любая система твердых тел), соединенное упругими связями со стержнем. В работах авторов [1-8] для различных расчетных схем таких систем развивался единый подход к построению частотных уравнений. В [9] предложена общая математическая модель механических систем, представ-

ляющих собой упругий стержень (балка Эйлера -Бернулли) с закрепленными краями и прикрепленной к нему с помощью упругих связей системой твердых тел, соединенных между собой упругими связями, для которой на основе единого подхода разработан аналитико-численный метод построения частотного уравнения.

В данной работе предлагается методика исследования собственных колебаний двухпролет-ной балки Тимошенко длины I с прикрепленным осциллятором, основанная на обобщении аналити-ко-численного метода построения частотного уравнения [9].

1. Постановка задачи

Движение механической системы (рис. 1), представляющей собой двухпролетную балку Тимошенко с прикрепленным осциллятором, описывается гибридной системой дифференциальных уравнений

d4u( x, t) д x4

yk д u(x, t) + у д u(x, t)

FG д x дt2 EJ дt2

(z(t) - u (x, tM x - a) + B(t)S(x - a), EJ EJ

(1)

d2 z(t) dt2

+ p2( z(t) - u(a, t)) = 0,

где p = —, с m

жесткость пружины, m - масса

груза в осцилляторе, и( х, t) - поперечные смещения точек балки с координатой х в момент времени t, 1(1) - смещение груза в осцилляторе, а -координата точки крепления осциллятора к балке,

с

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

al - координата шарнирной опоры, р - объемная плотность балки, у - масса единицы длины балки, E, G - модуль Юнга и модуль сдвига балки, J - момент инерции поперечного сечения балки, k - фактор сдвига, 5 - дельта-функция Дирака, Б^) - реакция в опоре.

Аи

к2

d¿ z(t) 2 ^

—Y- + p (z(t) - u(a, t)) y(t)dt +

о V dt

+ d4u(x,t) yk d4u(x,t) + y d2u(x,t)

"Я

dx4

FG dx2dt2

EJ dt1

(z(t) - u(x 0Жx - a) -

EJ

B(t)

EJ

S(x-al) |-v(x,t)dxdt = 0

a

Рис. 1

На функцию u(x, t) необходимо наложить граничные условия, соответствующие условиям, накладываемым на правый и левый конец стержня. В случае шарнирной заделки граничные условия имеют вид

u(0, t) = u(l, t) = 0, ^(0, t) ~(l, t) = 0. (2)

dx dx

Введем понятие обобщенного решения гибридной системы дифференциальных уравнений (1), удовлетворяющей краевым условиям (2) [9].

Для этого рассмотрим множество вектор-функций

K = {(y(-),v(v)): y(-)eC v(v)eC^|,

где D = {( x, t) e R 2:0 < x < l, 0 < t < T} -

прямоугольник.

Потребуем, чтобы любая вектор-функция из множества функций K удовлетворяла условиям y(0) = y(T) = 0, v( x,0) = v( x,T) = 0,

v(0, t) = v(l, t) = 0, £ (0, t) =J(l, t) = 0,

dx dx

д 2v dv2

--2(0, t) = — (l, t) = 0.

dx dx

Введенные вектор-функции назовем основными.

Определение

1. Вектор-функцию z(-) e C2 [o T], скалярную функцию u (-,-)e C22D назовем обобщенным

решением краевой задачи (1)-(2), если для любой основной вектор-функции (y(-),v(-,-))e K имеет место тождество

2. Вспомогательная краевая задача

Подставив в систему (1) решения г(V), u (х, V) и реакцию в опоре соответственно в виде

г^) = Лът^, и(х,?) = V(x)sinюf, Б(?) = Б^тО, где V(х) - амплитудная функция (амплитуда точек балки), А - амплитуда груза, Б1 - амплитуда реакции в опоре, О - частота, получим систему

ЗУ (х) 2 Yk сС V (х) 2 V

-+ о---2Н- - О — V (х) =

сх4 FG ск2 Ы

= -С-(А - V(х))5(х - а) + Б5(х - аг), (3) Ы Ю

-о2А + р2 (А - V(а)) = 0.

В силу граничных условий (2) функция V(х) должна удовлетворять условиям

V (0) = V (l) = 0,

d 2V

dx2

d 2V

(0) =—T(l) = 0. (4)

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу

-4V(x) 2 yk d 2V(x) 2 y

dx4

- со

FG dx2

-rn2^ V (x) = EJ

= -C-(A - V(x))S(x - a) + S(x - a), (5) EJ EJ

V (0) = V (l) = 0,

d 2V

dx2

d 2V

(0) =—T(l) = 0.

Определение 2. Скалярную функцию V()е С

4,[0, Т ] назовем обобщенным решением

краевой задачи (5), если для любой компоненты у(-,-) основной вектор-функции (у(-),у(-,-)) е К,

имеет место тождество при любом V е [0,Т]

1 р4?(х) +о2 £ссШ-(2 ^ (х) -

dx4

FG

EJ

-С (A-V(x))fi(x - a) -A S( x - a) v(x, t)dx = 0. EJ EJ

Утверждение. Для решения краевой задачи (5) имеет место представление

V (х) = е 5 (х - а)( А - V (а))+Н1 х - а), (6)

D

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

С В

где е = —, Н1 = —7; функции 5(х), 5^х) -ЕЗ ЕЗ

решения краевых задач 'д 4 5 ( х)

ах4

+ а

ук й2 5 ( х)

-а2 Е- 5 (х) = 8{ х),

ЕЗ

5(-а) = 0, 5(/ - а) = 0, 5"(-а) = 0,5"(/ - а) = 0 д4 51( х) +^2 Г к й2 51( х)

(7)

дх 4

Ев йх

-а2 -|-51( х) = 3( х),

ЕЗ

(8)

V (0) = V (/) = 0,

й V

й V

(0) = —т(1) = 0

йх2 йх2 непосредственно следует из краевых условий задач (7) и (8) для функций 5(х), 51 (х).

В том, что (6) является решением уравнения

дГ(х) 2 ук й V(х) 2 V

-^ + а ---И--а — V(х) =

дх4 Ев йх2 ЕЗ

= -С-(А - V(х))ё(х - а) + А8(х - а), ЕЗ ЕЗ

(9)

убедимся непосредственной подстановкой (6) в исходное уравнение (9).

Для этого представим (6) в виде

V (х) = | [е5 (х - Ж А - V (£)Ш - а) +

0

+ НД( х-£Ш-О.Ш.

(10)

Подставив (10) в левую часть уравнения (9), умножив на у(х, t) из класса основных функций, проинтегрируем полученное выражение по х в пределах от 0 до /. Далее, меняя порядок интегрирования и учитывая, что для функций 5(х), 51 (х) соответственно справедливы тождества

д45(х) 2 ук й25(х) 2 У а, л с*/ \

-+ а ---И--а — 5(х) = 5{х),

дх4 Ев йх2 ЕЗ

+а у^^Ш-а?^х)=5(х), дх Ев йх2 ЕЗ 1

получим

М ((

д45(х-Ж) 2 ук й25(х-Ж) 1 а

дх4

Ев

,2 У

-а 5(х - Ж))е( А - V- а) + ЕЗ

д45,(х-Ж) , 2 Ук й251(х-Ж)

дх4

а

Ев

,2 У

-а 51 (х - Ж)Нхб(Ж - а )Щ]У(х, t)йх = ЕЗ

К ' Я4

д 5(х_=!) +а2К5■(х-Ж)-

дх4

Ев

-а2^- 5(х - £))у(х, t)йх]е(А - V- аЩ -ЕЗ

5^-а!) = 0, 51(1 -ах) = 0,

51"(-а1) = 0,5Ц/ - а,) = 0.

Доказательство. Для функции, удовлетворяющей (6), справедливость выполнения краевых условий

М ((

д4Х.(х-Ж + 2 К й251(х-Ж)

+ а

дх4

Ев йх2

,2 У

-а2^- 51 (х - £))у( х, №№№ - «1Ш = ЕЗ

/ /

= |[|>( х - ¿¡)у(х, 0йх]е(А - V(Ж))S(Ж - аЩ +

0 0 / /

-£)у(х, t )йх]Н13(£ - а1 )Щ =

0 0

/

= \у{$, t)е(А - V(;)S;-аЩ +

0

/

+\у{4, t) Н,8(4- а$14 =

0

= у (а, t )е( А - V (а)) + к(а1, t) Н1 Аналогично, подставив (10) в правую часть уравнения (9), после преобразований получим

/

|[е(А - V(х)Жх - а) + Нх5( х - ах)]у( х, t )йх =

|[е(А - V(х))£(х - ау{х, t)йх

0

/

+| Нх5( х - а1У( х, t )йх =

+

= у(а, t)е(А - V(а)) + у(а1, t)Н1,

то есть в результате проделанных преобразований левая и правая части исходного уравнения тождественно совпадают. Таким образом, решение уравнения (9) в обобщенном смысле удовлетворяет представлению (6). Утверждение доказано. 3. Замечание

Для нахождения функций 5(х), 51 (х), входящих в представление (6), имеем краевые задачи

(7), (8).

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

Рассмотрим уравнение d4G(x) 2 ук d2G(x) 2 у

ex4

-+a

+c3e ¡x + c4eMX,

где л =

-а +

4D

2

s =

а +

4D

2

С1 = 0 С2 = -

s(s +Л)

2 ч ' 3

С = --

2¡(s + л )

1

С4 ='

0( X) =

Í^—X^JGX = S(X). (11) FG dx EJ

Общее решение G( x) уравнения (11) можно найти в виде суммы общего обобщенного решения G0 (x) однородного уравнения

d4G(x) rt^-02lG(x) = 0 (12)

dx4 FG dx2 EJ

и некоторого обобщенного решения G (x) неоднородного уравнения (11), то есть

G (x) = G0( x) + G (x). (13)

Общее решение G0(x) однородного уравнения (12) можно записать в виде

G0 (x) = c1 cos sx + c2 sin sx +

(14)

* = = ^ +4^, в2 =(2 Р,

G Ы

с1, с2, с3, с4 - постоянные.

С целью получения общего решения дифференциального уравнения (11) постоянные интегрирования с1, с2, с3, с4 найдем из условий [10]

0>(0) = 0, §(0) = 0, С*(0) = 0, ^(0) = 1.

ах ах ах

Таким образом, решив систему линейных алгебраических уравнений

с1 + с3 + с4 = 0,

ес2 - /ис3 + /с4 = 0, -е2сх + /и2с3 + /и2 с4 = 0, -еъс2 - /Зс3 + /Зс4 = 1,

найдем постоянные интегрирования

1 1

) 1, х > 0, [0, х < 0.

4. Частотное уравнение

Для нахождения функций 5(х), 51(х) , согласно представлению (13), определим произвольные константы с1, с2, с3, с4 из условий выполнения соответствующих граничных условий.

Далее, принимая в (11) последовательно значения х = а, х = а1, получим соотношения

V (а) = е 5 (0)(А - V(а)) + Н1 51(а - а1),

V(а1) = е 5 (а1 - а)(А - V(а)) + Н1 (0) .

Учитывая, что V (а1) = 0 из-за неподвижности опоры, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных величин V (а), Н1

Г (1 + е 5(0)) V(а) - 51(а - а1 )Н1 = е 5(0)А, [е 5(а1 - а)V(а)) - (0)Н1 = е 5(а1 - а)А.

Ее решение имеет вид

Ае (-5(0)^(0) + 5(а1 - а) 51(а - а1))

V (a) = ■

D

H =

Ae ((1 + e S(0))S(a1 - a) - eS(a1 - a) S(0))

D

где

В = -(1 + е 5 (0))51 (0) + е 5 (а1 - а)51 (а - а1). Подставив найденное выражение для V (а) во второе уравнение из (3), получим

(

2 2 epp (-S(0)S,(0)+S(a - a)S,(a- 01))

p -a--

D

Л

A=0.

Из условия нетривиальности амплитуды A получим частотное уравнение

p2 -a2 = e(-S(0)S1 (0) + S(a1 -a)S1 (a-a1)) p2 " D '

(15)

2¡u(s2 + ¡U2)' Отсюда получим общее решение дифференциального уравнения (11) [10]:

я, ч ч 1 ,shax sin sx.

G(x) = 6(x) 2-т(---),

s + ¡U ¡ s

где 0(x) - функция, определяемая следующим

образом:

Заключение

Для проведения сравнительного анализа с целью проверки адекватности предлагаемой методики получения собственных частот был произведен расчет собственных частот согласно уравнению (15). Для этого были взяты данные из работы [11], в которой для получения собственных частот многопролетной балки Тимошенко с прикрепленными осцилляторами был использован секант-метод.

Данные для расчета:

I = 1 м, EJ = 6,3 4761-104 нм2, у = 15,3875 кг/м, с = 3 • 6,34761 н/м,

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

т = 0,2-15,3875 кг , а = 0,75м, ах = 0,4м,

к = 4/3, = 1,5 6 2 4 8 9 231 -108 н.

Численный расчет согласно уравнению был произведен в среде МаШСа^ Результаты расчета частот приведены в табл. 1. Из таблицы видно хорошее совпадение полученных результатов.

Т а б л и ц а 1

Частоты Секант-метод Предлагаемый подход

а>1 247,60 247,64

®2 2131,61 2139,00

0)3 4804,89 4849,50

а>4 7860,14 7980,05

а>ъ 14884,47 14884,40

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 12-08-00309а.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мижидон А. Д., Баргуев С.Г. О вынужденных колебаниях механической системы установленной на упругом стержне // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2004. № 1. С. 32-34.

2. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Способы расчета собственных колебаний одной механической системы и их сравнительный анализ. // Вестн. Бурят. ун-та. Сер. 13. Математика и информатика. Вып. 2. 2005. С. 192-200.

3. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. К исследованию вынужденных колебаний упругой механической системой каскадного типа. // Вестн. Бурят. ун-та. Сер.: Математика и информатика. 2008. Вып. 9. С. 151-155

4. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Лебедева Н.В. К исследованию виброзащитной системы с упругим основанием. // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, 2009. № 2 (22). С. 13-20.

5. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Определение собственных частот простейшей механической системы на упругом основании // Вестн. Бурят. ун-та. Сер.. Математика и информатика. 2009. Вып. 9. С. 58-66.

6. Баргуев С.Г., Елтошкина Е.В., Мижидон А.Д., Цыцыренова М.Ж. Исследование возможности гашения колебаний масс, установленных на упругом стержне // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 4 (28). С. 78-84.

7. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д., Цыцыренова М.Ж. О пределах применимости классической схемы расчета собственных частот в виброзащитной системе с двумя защищаемыми объектами // Вестн. Бурят. ун-та. Сер. Математика и информатика. 2010. Вып. 9. С. 135-144.

8. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. О собственных колебаниях механической системы каскадного типа, установленной на упругом стержне // Вестн. Вост.-Сиб. гос. ун-та технологий. 2010. № 1.С. 26-33.

9. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. Краевая задача для одной гибридной системы дифференциальных уравнений // Вестн. Бурят. ун-та. Сер. Математика и информатика. 2013. Вып. 9. С. 130-137.

10. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М. : Наука. 1976.

11. Yusuf Yesilce, Oktay Demirdag and Seval Catal, Free vibrations of a multi-span Timoshenko beam carrying multiple spring-mass systems. Sadhana. Vol. 33,Part 4, August 2008, pp. 385-401.